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◆ ◆ ◆ 故事背景 德國數(shù)學家施瓦爾茲（1843—1921）第一個用完全初等的方法對下面命題給出了一個漂亮的證明。在銳角三角形 ABC 中，若 D、E、F 分別是三條高 AD、BE、CF 的垂足，則在三角形 ABC 的所有內(nèi)接三角形中，以垂足為頂點的三角形 DEF 的周長最短。 模型證明 在銳角三角形中，D，E，F(xiàn)分別為三邊上的動點，三角形DEF周長最小值如何求解？ 2、分別做D關于線段AB與AC的對稱點；D`和D`1此時D`D`1為周長最小值   5、 當CD⊥AB時，CD最小。 6、連接BE與AF，若把F，E分別當作定點構造可得垂直時E，F(xiàn)為也為垂足時滿足，所以最小值為三垂足連線。 模型練習 A．4 B．8 C．4 D．4 2． （1）如圖l，Rt△ABD和Rt△ABC的斜邊為AB，直角頂點D、C在AB的同側，求證：A、B、C、D四個點在同一個圓上． （2）如圖2，△ABC為銳角三角形，AD⊥BC于點D，CF⊥AB于點F，AD與CF交于點G，連結BG并延長交AC于點E，作點D關于AB的對稱點P，連結PF．求證：點P、F、E三點在一條直線上． （3）如圖3，△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝2，點D、E、F分別為BC、CA、AB邊上任意一點，△DEF的周長有最小值，請你直接寫出這個最小 【解答】 解：（1）如圖1，取AB的中點O，連結OD，OC， ∵Rt△ABD和Rt△ABC的斜邊為AB， ∴OD＝?AB，OC＝?AB， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴A、B、C、D四個點在同一個圓上． （2）如圖2，連結DF， ∵點D、P關于AB對稱， ∴∠1＝∠2， ∵AD⊥BC于點D，CF⊥AB于點F， ∴∠2+∠3＝90°，∠4+∠BCE＝90°，BE⊥AC，點A、C、D、F四點共圓， ∴點B、F、E、C四點共圓，∠3＝∠4， ∴∠2＝∠BCE，∠BFE+∠BCE＝180°， ∴∠2+∠BFE＝180°， ∴∠1+∠BFE＝180°， ∴點P、F、E三點在一條直線上． （3）如圖3，作點D關于AB的對稱點G，作點D關于AC的對稱點H，連接GF，HE，則DF＝GF，DE＝HE， ∴當點G，F，E，H在同一直線上時，GF+FE+EH＝GH（最短）， 此時，DF+FE+DE最短，即△DEF的周長有最小值， 由軸對稱的性質，可得∠GAH＝2∠BAC＝60°，AG＝AD＝AH， ∴△AGH是等邊三角形， ∴△DEF的周長最小值＝GH＝AD， ∵當AD⊥BC時，AD有最小值， ∴當AD⊥BC時，△DEF的周長有最小值， 連接BE，  |
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