 期末考試的數(shù)學(xué) 又涉及到距離之和的最值問(wèn)題了 同學(xué)們依然 有束手無(wú)策的感覺(jué) 今天 我想著重講講 有關(guān)這個(gè)題 一個(gè)古老的傳說(shuō) “胡不歸問(wèn)題”的由來(lái) 從前 有一個(gè)小伙子在外地當(dāng)學(xué)徒 當(dāng)他獲悉在家鄉(xiāng)的父親年老病危的消息后 便立即啟程趕路 由于思念心切 他選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A→B 當(dāng)他氣喘吁吁地跑到父親眼前時(shí) 老人剛剛咽了氣…… 小伙子不覺(jué)失聲痛哭 鄰舍勸慰小伙子時(shí)告訴他 老人在彌留之際 還不斷喃喃地叨念“胡不歸？胡不歸？……” 這個(gè)古老的傳說(shuō) 引起了人們的思索 小伙子要提前到家是否有可能呢？ 倘有可能 他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線呢？ 這就是風(fēng)靡千年的“胡不歸問(wèn)題” “胡不歸問(wèn)題”示意圖 早期的科學(xué)家 曾為這則古老傳說(shuō)中的小伙子 設(shè)想了一條路線 A是出發(fā)地，B是目的地 AC是一條驛道 而驛道靠目的地的一側(cè)全是沙礫地 為了急切回家 小伙子選擇了直線路程A→B 但是 他忽略了在驛道上行走 要比在砂土地帶行走快的這一因素 如果他能選擇一條合適的路線 盡管這條路線長(zhǎng)一些 但是速度卻可以加快 是完全可以提前抵達(dá)家門(mén)的 當(dāng)然 他們同時(shí)也表示 小伙子慌急之中亂了方寸 那種急切的心情是完全可以理解的 早期數(shù)學(xué)家的設(shè)想 其實(shí) 這個(gè)問(wèn)題 用現(xiàn)代科學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述 可以是這個(gè)樣子的 問(wèn)題抽象 已知在驛道和沙礫上行走的速度分別為V1和V2 （V1>V2)，在AC上找出一定點(diǎn)D， 使得A→D→B行走時(shí)間最短， 于是問(wèn)題在于如何尋找點(diǎn)D.  其實(shí)，在高中 問(wèn)題已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)比這個(gè)要難了 但也因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題 現(xiàn)在已經(jīng)形成了固定的 也確實(shí)有意思的題型
例1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,4)， B(4,2)。若點(diǎn)P為 x 軸上一動(dòng)點(diǎn)， 求 |PA| +|PB| 的最小值。
變式1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,4)， B(4,2)。若點(diǎn)P為直線 l：x+y+1=0上 一動(dòng)點(diǎn)， 求 |PA| +|PB| 的最小值。
評(píng)析：此題在例1的基礎(chǔ)上， 僅對(duì)條件中動(dòng)點(diǎn)P的位置做了調(diào)整， 題型未變，思路也不變（同側(cè)變異側(cè)） 但因增加了一般對(duì)稱點(diǎn)的求法， 也加大了此題求解的難度。
變式2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,4)， B(4,2)。在x軸和y軸上分別求一點(diǎn)P 和Q，使得|BP|+|PQ|+|QA|取得最小值， 并求出最小值。
評(píng)析：此題中兩定元素也在動(dòng)點(diǎn)所在直線的同一側(cè)。 此題在例1基礎(chǔ)上，將一個(gè)動(dòng)點(diǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)動(dòng)點(diǎn)， 但題型仍未改變，所以方法上仍然大同小異。 由對(duì)稱性知： |AN|+|NM|+|MB|=|A'N|+|NM|+|MB'|， 由兩點(diǎn)之間線段最短知， 最小值為|A'B| 結(jié)合物理學(xué)中光反射的特點(diǎn)， 此能也可將其情境更改為： 若一束光線從B點(diǎn)射出， 先后經(jīng)x軸和y軸反射后， 恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A， 求光線從B點(diǎn)射到A點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的距離。
看來(lái)， 光線所走的路徑應(yīng)該都是最短路徑了。
變式3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,4)和 點(diǎn)B(4,-2)。若點(diǎn)P為 x 軸上一動(dòng)點(diǎn)， 求|PA|-|PB|的最大值。
分析：此題中兩定元素分別在動(dòng)點(diǎn)所在直線異側(cè)， |PA|+|PB|的最小值易得， 但差值|PA|-|PB|則需要重新改造。 可考慮利用對(duì)稱性， 將異側(cè)兩點(diǎn)改變?yōu)橥瑐?cè)。
思路：做點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B‘，則總有|PB|=|PB'| 作射線AB'與x軸的交點(diǎn)P1。 當(dāng)則P與點(diǎn)P1不重合時(shí)， 在三角形PAB‘中， 總有|PA|-|PB|=|PA|-|PB’|<|AB'| 當(dāng)點(diǎn)P與P1重合時(shí)， |PA|-|PB|=|PA|-|PB’|=|AB'| 故|PA|-|PB|最小值即為|AB'|
分析：此題在例1的基礎(chǔ)上， 將動(dòng)點(diǎn)所在的直線變?yōu)榍€， 但兩個(gè)定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)所在的曲線位置關(guān)系不變（同一側(cè)）。 所以，從本質(zhì)上說(shuō)，題型是相同的， 只是直線具有對(duì)稱性的特殊性質(zhì)， 而一般曲線是不具備的。 因此，本題想從位置關(guān)系的改變上（同側(cè)變異側(cè)）著手， 有難度。 故可參考變式3，考慮改變運(yùn)算， 將距離之和改變?yōu)榫嚯x之差。 根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P為橢圓上的點(diǎn)， 可考慮用橢圓的性質(zhì)。 思路：由橢圓定義，可知|PF1|+|PF2|=6， 故|PA|+|PF1| = |PA| - |PF2|+6 因此只要求出 |PA| - |PF2|的最小值即可。 而定點(diǎn)在線的同側(cè)時(shí)（定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部）， 差的最值可通過(guò)三角形性質(zhì)直接得出。
由圖可知： 依據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊， 點(diǎn)P與點(diǎn)M和點(diǎn)N分別重合時(shí)， |PA| - |PF2|分別取得最大值(|AM|) 和最小值(-|AM|)。
分析：此題僅在例2的基礎(chǔ)上， 將其中一個(gè)線段的系數(shù)改為非1常數(shù)。 若其中一個(gè)系數(shù)不為1時(shí)， 按照“胡不歸問(wèn)題”的處理， 可以先考慮這個(gè)系數(shù)的幾何意義， 或為它構(gòu)造幾何意義。 因涉及焦半徑，可考慮第二定義， 看是否與離心率有關(guān)。
如果兩個(gè)系數(shù)都不為1時(shí)， 你能處理嗎？
（此為紅旗中學(xué)期末考試題，思路略……）
其實(shí)，關(guān)于這一類最值問(wèn)題的處理， 主要有兩種思路。 一是改變位置， 即同側(cè)不能處理，則改為異側(cè)； 二是改變運(yùn)算， 加法不能處理時(shí)，則改為減法。 具體問(wèn)題中，需要考慮的， 只是依據(jù)怎樣的工具進(jìn)行轉(zhuǎn)化的問(wèn)題。 在直線、橢圓、雙曲線及拋物線中 均有類似題型 大家不妨找來(lái)練習(xí)練習(xí)吧。
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