英國理論物理學(xué)家保羅·狄拉克，量子力學(xué)的奠基人之一，曾寫道：

將牛頓萬有引力理論及其力的瞬時傳播與狹義相對論的要求相調(diào)和是有困難的，而愛因斯坦致力于解決這一困難導(dǎo)致了對他相對論的誕生——這可能是有史以來最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)。

廣義相對論被普遍認(rèn)為是一種異常美麗的理論。多年來的幾次試驗(yàn)證實(shí)了這一理論的正確性。我將描述其中一個測試，它正確地解釋了水星近日點(diǎn)的“異常”進(jìn)動，這是牛頓的萬有引力理論未能預(yù)測到的。

• 圖1：圖中為水星近日點(diǎn)進(jìn)動。

01牛頓理論的問題

近日點(diǎn)（離太陽最近的行星軌道上的一點(diǎn)）的進(jìn)動有多種原因。其中兩個是：

• 其他行星的存在引起彼此軌道的擾動，這是主要原因

• 太陽的扁率(見圖)明顯不相關(guān)

• 圖2：該圖顯示了一個壓縮成扁橢球的球體。

水星進(jìn)動的近日點(diǎn)速率與牛頓引力理論的預(yù)測不一致。法國天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家勒維耶發(fā)現(xiàn)了這一異?，F(xiàn)象。1882年，由西蒙·紐科姆進(jìn)行的最后一次測量估計(jì)，實(shí)際進(jìn)動率與牛頓的預(yù)測相差43度。提出了許多特別的解決辦法，但沒有一個奏效。

正如下一節(jié)在廣義相對論中討論的那樣，這種額外的進(jìn)動完全可以用愛因斯坦的廣義相對論來解釋。

02用廣義相對論計(jì)算水星近日點(diǎn)進(jìn)動

史瓦西解是愛因斯坦場方程的解，該場方程描述了圍繞太陽的真空時空的幾何形狀。換句話說，史瓦西度規(guī)是由太陽產(chǎn)生的時空曲率引起的太陽系度規(guī)。但是需要作以下的假設(shè)

1. 把太陽當(dāng)作一個不旋轉(zhuǎn)的物體。

2. 忽略來自太陽系其他行星的引力場。

史瓦西解有以下線元：

• 方程1：史瓦西解的線元，它描述了圍繞太陽的真空時空的幾何結(jié)構(gòu)。

參數(shù)R = 2M稱為史瓦西半徑。坐標(biāo)r，θ，φ是球面坐標(biāo)，如圖3中所示。

• 圖3：球坐標(biāo)。

根據(jù)度規(guī)的各項(xiàng)同性，我們總是有θ=π/ 2。事實(shí)上，根據(jù)兩體問題（在我們的例子中，兩體是太陽和行星），一個受中心力支配的物體的運(yùn)動總是在一個平面上。圖4和圖5顯示了兩種類型的軌道雙體系統(tǒng)。約束在平面上的運(yùn)動在牛頓引力理論和愛因斯坦引力理論中都是有效的。因此，在我們的分析中，只考慮平面上的測地線就足夠了。

• 圖4：兩顆質(zhì)量相同的星體圍繞著兩顆星體外部的一個共同的重心（例如雙星）運(yùn)行。

• 圖5：兩個質(zhì)量不同的物體圍繞一個共同的重心旋轉(zhuǎn)。

這個分析的有效性的第三個條件是，徑向坐標(biāo)r必須比太陽的半徑大得多。這不是一個問題，因?yàn)樘柕氖吠呶靼霃奖忍柕陌霃叫〉枚?。更具體地說，是太陽的史瓦西半徑大約2.95×10 m^3m，而太陽的半徑接近6.96×10^8m。

• 圖6：德國物理學(xué)家和天文學(xué)家卡爾·施瓦茨希爾德

給定時空中的對稱性與粒子和光子在其中運(yùn)動的守恒量有關(guān)。由于史瓦西解的度規(guī)g既與時間無關(guān)又與球?qū)ΨQ，所以大質(zhì)量粒子的能量和光子的能量都是守恒的。我們可以從數(shù)學(xué)上理解這點(diǎn)。

在度規(guī)為g的時空中，自由下落的物質(zhì)粒子或光子遵循與該時空相關(guān)的測地線方程（將“直線”推廣到彎曲時空），該方程表示為：

• 方程2：由自由下落的物質(zhì)粒子或光子服從的測地線方程。

注意，由于還將考慮光子，測地線方程也可表示為：

• 方程3：測地線方程的另一種形式。

現(xiàn)在請注意：

• 方程4：恒定度規(guī)的組件在時間和協(xié)調(diào)?。

方程3和4暗示：

然后我們做出以下定義：

• 方程6：一個大質(zhì)量粒子的單位質(zhì)量能量和光子的能量。

符號~被使用在大質(zhì)量粒子的能量上，表示這個能量是單位質(zhì)量。由于角動量是守恒的，我們定義:

• 方程7：一個大質(zhì)量粒子的單位質(zhì)量角動量和光子的角動量。

左邊的項(xiàng)是每單位質(zhì)量粒子的角動量，右邊的項(xiàng)是光子的角動量。我們現(xiàn)在需要軌道方程。大質(zhì)量粒子動量的三個分量為：

• 方程8：大質(zhì)量粒子的三個動量分量

光子的動量為：

• 方程：光子動量的三個分量。

現(xiàn)在我們用剛導(dǎo)出的動量分量，把它們代入方程|p|=-m2，對于粒子和光子，然后求解dr/dλ，得到：

• 方程10：dr/ dλ的平方

現(xiàn)在直覺告訴我們用有效勢重寫這些方程，即

• 方程11：質(zhì)量粒子和光子的有效勢的定義。

電勢圖如圖7所示。注意，由于兩個方程的左邊都是正的，所以有效勢能一定小于能量。圖7顯示了大質(zhì)量和無質(zhì)量粒子的有效勢。圖中還表明dr/ dλ= 0的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，禁止區(qū)域（E < V）和圓形軌道，dV2/dr= 0。

• 圖7：大質(zhì)量和無質(zhì)量粒子(光子)的有效勢。圖中顯示了轉(zhuǎn)折點(diǎn)、禁區(qū)和圓形軌道，它們都是穩(wěn)定的（極小值）和不穩(wěn)定的（極大值）。

03水星近日點(diǎn)的歲差

從現(xiàn)在開始，讓我們只考慮大質(zhì)量物體的運(yùn)動，因?yàn)槲覀兊哪繕?biāo)是計(jì)算水星近日點(diǎn)的進(jìn)動。

穩(wěn)定的圓軌道出現(xiàn)在有效勢的最小值處。設(shè)M是太陽的質(zhì)量。微分有效勢，將結(jié)果設(shè)為零，求解r，得到穩(wěn)定圓軌道半徑：

• 方程12：一個繞太陽振蕩的大質(zhì)量粒子穩(wěn)定圓形軌道的半徑。

在牛頓力學(xué)中，一個完整的圓形軌道的行星軌道返回其初始φ?，F(xiàn)在使用圓形軌道的事實(shí)有E^2= V^2，使用到目前為止得到的表達(dá)式，我們得到了一顆行星所需要的時間Δφ=2π，也就是周期P：

• 方程13：行星繞太陽旋轉(zhuǎn)周期的牛頓結(jié)果

• 圖8：該圖顯示了一個測試粒子遵循牛頓萬有引力定律或愛因斯坦方程的軌道之間的差異。

在廣義相對論中，一個旋轉(zhuǎn)的行星不會回到它的初始點(diǎn)。如果相對論效應(yīng)很小，我們應(yīng)該有一個橢圓，它繞著它的中心慢慢旋轉(zhuǎn)。我們所能做的就是研究軌道近日點(diǎn)的運(yùn)動。為此，我們執(zhí)行三個快速計(jì)算：

• 推導(dǎo)出的表達(dá)式dφ/ dλ角動量

• 推導(dǎo)出的表達(dá)式dt / dλ每單位質(zhì)量的能量

• 定義新變量u≡1/r

代入方程10得到：

• 方程14：相對論對du / dφ表達(dá)式

我們現(xiàn)在定義y，圓度的偏差如下:

• 方程15：變量y的定義，圓度的偏差。
  

對于牛頓軌道，y=0。為了得到相對論表達(dá)式，我們把方程 15代入方程14，我們得到了近似圓形軌道的方程：

• 方程16：相對論對dy / dφ表達(dá)式
  

解為：

• 方程17：方程16的解

B取決于初始條件。根據(jù)余弦的論點(diǎn)，我們得出結(jié)論，當(dāng)Δ（kφ）=2π 時，軌道返回相同的半徑。k不同于1 的存在是它與牛頓結(jié)果的不同之處！如果相對論效應(yīng)很小，我們可以得出一些其他簡單的近似值：

特別是水星，我們可以得到每年0.43”的位移，正如文章開頭所提到的，這是通過實(shí)驗(yàn)確定的值。

似乎連愛因斯坦都被這個結(jié)果驚呆了。找到計(jì)算結(jié)果后，他幾天都不能工作。用他自己的話來說，他變得“欣喜若狂”。