分數(shù)拆分大致包括下面幾個方面的內容：

1、把1拆分成幾個不同的分數(shù)單位的和；

如1＝……

2、把一個分數(shù)單位拆分成幾個不同的分數(shù)單位的和；

如＝＋＋；

3、把一個分數(shù)拆分成幾個不同的分數(shù)單位的和。

如＝＋＋。

教材中沒有相關的教學內容，練習中卻時常出現(xiàn)這種題型。在與學生多年的交流中，我發(fā)現(xiàn)學生遇上這種題型，除了亂湊，并無系統(tǒng)的數(shù)學方法。早就想寫一篇相關的教學心得，介紹幾種解答這類問題的方法，近日得閑，寫下這些文字，向方家求教。

分數(shù)拆分的方法大略有裂項相消法、公式法、直接拆分法、“擴、拆、約分”三步法等。下面結合具體的例子，分別細說。

一、運用裂項相消法拆分分數(shù)

裂項相消本是數(shù)列求和的一種方法，用在這里就是把一個數(shù)通過減去或加上另一個數(shù)（裂項），再加上或減去同一個數(shù)（相消），使原數(shù)在保持值不變的條件下拆分成兩個數(shù)的和或差。

例1、已知＋＋＋，求A=（），B=（），C=（），D=（）。（答案不唯一）

分析與解：本題就是要把1拆分成4個不同的分數(shù)單位的和。運用一次裂項相消法可以把1變成兩個分數(shù)單位的和，1＝1－＋＝（1－）＋＝＋；連續(xù)運用三次就能把1變成4個不同分數(shù)單位的和。

1＝1－＋－＋－＋

＝（1－＋－）＋－）＋

＝＋＋＋

對照原式得A＝2，B＝6，C＝12，D＝4。

特別注意：①裂項時減去一個數(shù)后，要使得到的差是分子為1的分數(shù)(分數(shù)單位)；②連續(xù)幾次運用裂項相消后要合理進行分組，使得每組計算結果都是一個分子為1的分數(shù)。

例2、＝＋＋。

分析與解：本題要把拆分成3個不同的分數(shù)單位的和，只要連續(xù)兩次運用裂項相消就能達到目的?！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?/p>

＝－＋－＋

＝（－）＋－）＋

＝＋＋

反復多次運用裂項相消能把拆分成4個、5個、更多個不同的分數(shù)單位的和。

例3、＝＋＋＋。

分析與解：本題要把拆分成4個分數(shù)單位的和，可先把拆分成＋，再運用裂項相消法把其中一個拆分成3個不同分數(shù)單位的和。

＝＋－＋－＋

＝＋－）＋（－）＋

＝＋＋＋

仔細琢磨還能發(fā)現(xiàn)裂項時分母的變化規(guī)律。

二、運用公式法拆分分數(shù)

分數(shù)單位拆分的公式有：

公式一、＝＋。（ｎ是正整數(shù)）

公式二、 ＝＝＋＝＋（ｎ、ｍ是Ｋ的約數(shù)）

例4、＝＋。

分析與解：由公式＝＋（ｎ是正整數(shù)）得

＝＋

＝＋

連續(xù)多次運用公式，可以把一個分數(shù)單位拆分成多個不同分數(shù)單位的和。

例5、已知＋＋＋，求A=（），B=（），C=（），D=（）。（答案不唯一）

分析與解：本題要把1拆分成4個不同分數(shù)單位的和，可先把1看成，再連續(xù)三次運用公式＝＋把拆分成四個不同分數(shù)單位的和。

1＝

＝＋

＝＋

＝＋（＋）

＝＋＋

＝＋＋＋］

＝＋＋＋

對照原式得，Ａ＝2，Ｂ＝3，Ｃ＝7，Ｄ＝42。

在第三次拆分時，也可以選擇把拆分成兩個不同分數(shù)單位的和。那么，就得到這樣的一組解：

1＝＋＋

＝＋［＋

＝＋＋＋

例6、＝＋＋＋。

分析與解：本題要把拆分成4個不同分數(shù)單位的和，運用公式 ＝＝＋＝＋

可以一次完成。18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18，從中任選4個約數(shù)代入上面公式即可。

＝

＝＋＋＋

＝＋＋＋

本題有多種答案，因為4個約數(shù)的選擇組合有多種，選取的約數(shù)不同，得出的答案就不同。

公式 ＝＝＋＝＋（m、n是K的約數(shù)），在運用過程中，并不局限于兩項，可以根據(jù)題意把一個分數(shù)單位一次性地拆分成多項的和。

三、運用直接拆分法拆分分數(shù)

直接拆分法：就是先按題意把分數(shù)拆分成幾個與原分數(shù)同分母的分數(shù)的和，再約分成分子是1的分數(shù)。

例7、＝＋＋。

分析與解：本題要把拆分成3個不同分數(shù)單位的和，可以先把拆分成3個分母是24的分數(shù)的和。要使拆得的這3個分數(shù)約分后分子都是1，3個分數(shù)的分子就必須都是24的約數(shù)。因此，這個問題就轉化成了把13拆分成24的3個約數(shù)的和。24的約數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、24，其中能組成和是13的3個約數(shù)有這樣幾組：①1＋4＋8＝13，②2＋3＋8＝13，③3＋4＋6＝13。所以，有三個解。

①＝＋＋＝＋＋

②＝＋＋＝＋＋

③＝＋＋＝＋＋

要注意的是：直接拆分時，拆得的分數(shù)的分子一定要是分母的約數(shù)。

四、運用“擴、拆、約分”三步法拆分分數(shù)

“擴、拆、約分”三步法：“擴”就是依據(jù)分數(shù)的基本性質，把原分數(shù)的分子和分母同時擴大相同倍數(shù)；“拆”就是把擴倍后的分數(shù)，按題中要求直接拆分成幾個同分母分數(shù)的和；“約分”就是把拆分成的幾個分數(shù)通過約分，得到分子是1的分數(shù)。

例8、＝＋＋。

分析與解：不能直接拆分成3個同分母分數(shù)的和，那就得依據(jù)分數(shù)的基本性質把的分子分母擴大相同倍數(shù)。“擴”后分數(shù)的分子要能拆分成3個整數(shù)的和，“拆”得的3個整數(shù)都必須是分母的約數(shù)才能“約分”成分子是1的分數(shù)。由此推來，擴大2、3、4、5倍都不行，最小擴大6倍才行。

＝＝＝＝＋＋＝＋＋

“擴、拆、約分”三個步驟環(huán)環(huán)相扣，關聯(lián)密，“擴”是為了利于“拆”，“拆”要符合“約分”的具體要求。

分數(shù)拆分的方法不止于這些，掌握方法不求多和全，運用之妙，存乎一心，關鍵還在于靈活運用。下面這幾種解法就別開生面，令人耳目一新。

＝＋。你能寫出幾種答案？

分析與解：本題要寫出幾個答案不難，但要把答案寫全不漏，沒有點技巧還真不行。由公式＝＝＋＝＋（ｎ、ｍ是Ｋ的約數(shù)）知，本題的關鍵就是要把18的約數(shù)兩個兩個地進行合理分組，不能重復，也不能遺漏。

18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18；

從18的約數(shù)中任取兩個數(shù)一組，可組成

（1，2）、（1，3）、（1，6）、（1，9）、（1，18）、（2，3）、（2，9）共7種不同的組合。（2，6）可由（1，3）擴大2倍得到，故舍去；同理舍去的還有（2，18）、（3，6）、（3，9）、（3，18）、（6，9）、（6，18）、（9，18）。

于是得到7種答案如下：

＝＝＋＝＋，

＝＝＋，

＝＝＋，

＝＝＋，

＝＝＋，

＝＝＋，

＝＝＋。

例10、已知＝，求A＝（），B＝（），

C＝（），D＝（）。（答案不唯一）

分析與解：本題若從用裂項相消法或公式法來求解，因為分母數(shù)字較大，計算繁難，易于出錯，若用另起爐灶之法，卻有巧解。

因為1=（1－）+（）+（）+

即1 =

等式兩邊同乘得

×1 =()×

就是＝＋＋＋

所以，A＝4040，B＝12120，C＝24240，D＝8080。

凡遇上分母較大的分數(shù)單位拆分時，可參考本題解法。

例11、在下面的括號里填入四個不同的自然數(shù)，使等式成立。

＝＋＋

分析與解：本題要把拆分成4個不同分數(shù)單位的和，可把公式＝＝＋＝＋（ｎ、ｍ是Ｋ的約數(shù)），連用三次得出答案。

＝

＝

＝＋

＝＋

＝＋＋＋

＝＋＋＋

若是分數(shù)拆分的方法都忘記了，怎么辦？還可用分數(shù)的基本性質來求解。

例12、＝＋。

分析與解：根據(jù)分數(shù)的基本性質，把的分子分母同時乘以Ｋ（Ｋ是不為0的自然數(shù)）得，

＝＝＋

要使約分后，分子為1，那么，必然有Ｋ－1＝11，

所以，Ｋ＝11＋1＝12

把Ｋ＝12代入　＝＋得，

＝＋＝＋＝＋

例13、在＝－的括號里填上適當?shù)淖匀粩?shù)，使等式成立。你有幾種方法？

分析與解：本題要把拆分成兩個分數(shù)單位的差。從公式＝＝＋＝＋（ｎ、ｍ是Ｋ的約數(shù)）可得到啟發(fā)，其實本題就是要先把寫成兩個分母是24的分數(shù)的差，最后這兩個分數(shù)都要能約簡成分子是1的分數(shù)，那就要求分子一定要是24的約數(shù)。于是本題就轉化成了從24的約數(shù)中找出兩個差是5的約數(shù)來。24的約數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、24，其中能組成差是5的兩個數(shù)有6和1、8和3兩組，所以，本題有兩種解。分別是

＝－＝－

＝－＝－

在分數(shù)拆分的過程中，要靈活運用拆分方法，不可拘泥于形式，每種拆分方法都不是孤立的，彼此可以相互結合，這樣解題才能更加便捷。