sin對(duì) cos說：“世界上最遙遠(yuǎn)的距離，不是生與死的距離，而是在π/2那里！”“三角學(xué)”，陌生或不陌生，它就在那里！英文trigonometry，法文trigonométrie，德文 Trigonometria，都來自拉丁文trigonometria。原意是三角形的測(cè)量，目的是研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系，達(dá)到測(cè)量的目的。早期的三角學(xué)僅僅是天文學(xué)的一部分，后來研究范圍逐漸擴(kuò)大，經(jīng)過幾代人的努力，變成獨(dú)立的數(shù)學(xué)科目?，F(xiàn)在，三角學(xué)的研究范圍已不限于三角形，成為數(shù)理分析的基礎(chǔ)和研究實(shí)用科學(xué)的必備工具。 為研究天文學(xué)，創(chuàng)立了三角學(xué)眾所周知，古希臘時(shí)期的數(shù)學(xué)家多投身于平面幾何的研究，數(shù)學(xué)的靈魂是其美妙的邏輯性，比如以歐幾里得一派最為典型。而天文學(xué)家更需要的是測(cè)量和算學(xué)，當(dāng)時(shí)“天球”的理論比較盛行，也就是說宇宙中地球是中心，天上的太陽(yáng)，月亮，星星，在地球的外面，它們都鑲嵌在巨大的球面上，而地球的就理所應(yīng)當(dāng)?shù)某洚?dāng)了“球心”的位置。  地心說示意圖 地球或者其他天體總是會(huì)周期性的轉(zhuǎn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，總是需要知道天體相對(duì)于地球的弧長(zhǎng)和角度的問題，在眾多天文學(xué)家之中，始終占據(jù)C位的，就是我們今天的主角之一，因?yàn)樗某霈F(xiàn)，“三角學(xué)”應(yīng)運(yùn)而生！ 喜帕恰斯--三角學(xué)之父Hipparchus（約公元前180年-公元前125年），希臘天文學(xué)家，數(shù)學(xué)家。此人名字甚多，據(jù)我所知，有希帕霍斯，喜帕恰斯，希巴克斯、依巴谷、伊巴谷等，一般來說在天文上多稱之為依巴谷，而數(shù)學(xué)上稱為喜帕恰斯。 身為天文學(xué)家，例行工作便是要仰望星空，那么有一套好裝備是很必要的，咱們喜帕恰斯定是一個(gè)“強(qiáng)迫癥”患者，觀象臺(tái)的建造必須完美，結(jié)果是“強(qiáng)迫癥”勝利了，他在愛琴海的羅得建立了觀象臺(tái)，并且這些儀器沿用了1700多年，因?yàn)楹?jiǎn)直太好用了！喜帕恰斯在這個(gè)觀象臺(tái)做了一件后人難以望其項(xiàng)背的事情，就是測(cè)量地球和月亮的距離。測(cè)量方法是視差法。 我們先了解一下什么是視差法？視差法是一種利用不同視點(diǎn)對(duì)同一物體的視差來測(cè)定距離的方法。  右眼觀察物體的視覺效果  左眼觀察物體的視覺效果 大家應(yīng)該看過抗戰(zhàn)電視劇中的狙擊手測(cè)距離的方法，經(jīng)常對(duì)著敵人點(diǎn)個(gè)贊（伸出一只大拇指），然后距離就算出來了，狙擊手就準(zhǔn)備射擊了。事實(shí)上，這就是利用了視差的計(jì)算方法。  電視劇中的視差法截圖
當(dāng)然喜帕恰斯的觀測(cè)和計(jì)算方法要精準(zhǔn)很多，他利用月亮視差測(cè)量地月距離，認(rèn)為地月距離是地球直徑的三十倍，而之后的一千九百年間，月亮就是人們所知離地球有多遠(yuǎn)的唯一天體，直到天文望遠(yuǎn)鏡的發(fā)明，人們才直到第二顆星球與地球的距離。  有人會(huì)有疑問，視差法觀測(cè)人的時(shí)候總是其他的參照物（我們剛才說的一扇窗），那么觀測(cè)月亮的時(shí)候如何找到“那扇窗”呢？當(dāng)然有了，喜帕恰斯找的參照物是天上的星星。在適當(dāng)?shù)淖兓瘲l件下，通過測(cè)量月亮相對(duì)于星星的位置，就能測(cè)定月亮的視差，并算出其距離，喜帕恰斯就是抓住了一次月食的機(jī)會(huì)，搞定了地月之間的距離。 我們?cè)隗@嘆喜帕恰斯的驚人計(jì)算力的時(shí)候，不得不佩服他的好視力，沒有錯(cuò)，喜帕恰斯的視力非常好，他認(rèn)為《夜空中最亮的星》的歌詞是有問題的，因?yàn)橐箍罩凶盍恋男遣皇且活w，而一共有20顆，它們叫一等星，亮度次之的叫二等星，然后是三等星，四等星，五等星，肉眼剛剛可見的是六等星。這種星體的排列體系一直沿用到今天！  無(wú)論是計(jì)算距離時(shí)，還是計(jì)算“天球”運(yùn)動(dòng)時(shí)，球面上的圓心角對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)是十分必要的，喜帕恰斯對(duì)球面上的角度和距離進(jìn)行計(jì)算，制作了一個(gè)和現(xiàn)今三角函數(shù)表相仿的“弦表”，即在固定的圓內(nèi)，不同的圓心角所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)（相當(dāng)于現(xiàn)在圓心角一半的正弦線的兩倍）的表。對(duì)于一定度數(shù)的圓弧，可以得到相應(yīng)弦的長(zhǎng)度。雖然目前還沒有直接的文獻(xiàn)載有喜帕恰斯的“弦表”，但通過后人的資料記載，他已經(jīng)算出了0°到90°之間，每隔半度的正弦值，并且傳說中在他的計(jì)算方法中，有三角函數(shù)半角公式的影子。 “三角學(xué)之父”的著作現(xiàn)如今均已失傳，但是在喜帕恰斯之后的300年，另一個(gè)人的出現(xiàn)，完美繼承和發(fā)揚(yáng)了三角學(xué)，并且著作保留至今！他就是勞蒂烏斯·托勒密！ 托勒密--發(fā)揚(yáng)光大希臘天文學(xué)家，數(shù)學(xué)家克勞蒂烏斯·托勒密（約100-170年），相信很多小朋友是由于“托勒密定理”才知曉這個(gè)人的，事實(shí)上，托勒密最享盛名的著作是《大成》，該書是古希臘天文學(xué)的光輝頂點(diǎn)，對(duì)宇宙模型給出了完整的數(shù)學(xué)描述，包括有太陽(yáng)，月亮和行星的各種運(yùn)動(dòng)參數(shù)，它取代了這一課題的所有早期的著作。換句話說，如果我們穿越到古希臘時(shí)期，要想研究天文學(xué)，一本《大成》就夠了！ 在三角函數(shù)上，托勒密繼承了喜帕恰斯的思路，創(chuàng)造出比喜帕恰斯的更完整的“弦表”。列出了從(1/2)°到180°，且以半度為間隔的弦表，并且找出了一種能在已算好的兩個(gè)值之間的插值方法。  擁有更科學(xué)，更詳盡的“弦表”，就可以在一定已知的條件下來解任意三角形。同時(shí)，托勒密創(chuàng)新的應(yīng)用“托勒密定理”，應(yīng)用該定理在解圓的內(nèi)接四邊形的時(shí)候，能夠推出正弦和余弦的和差角公式。 三角學(xué)的發(fā)展越來越豐富，三角形中的奧秘被挖掘的越來越深入，縱觀世界，由于信息不發(fā)達(dá)，全世界各地的對(duì)三角學(xué)都有所貢獻(xiàn)，比如印度地區(qū)的《阿耶波多歷數(shù)書》、《太陽(yáng)的知識(shí)》；阿拉伯地區(qū)的巴塔尼與《星的科學(xué)》、比魯尼和《測(cè)影通論》、艾布·瓦法與《天文學(xué)大全》等等。 文藝復(fù)興以后，人類擺脫了中世紀(jì)束縛思想的精神枷鎖，一個(gè)新時(shí)代的到來，各方面科學(xué)文化都取得突破性進(jìn)展，三角學(xué)也不例外，發(fā)展成相當(dāng)成熟的獨(dú)立科目。但是三角函數(shù)公式卻是雜亂無(wú)章的，這時(shí)候我們期待下一個(gè)天才的出現(xiàn)，16世紀(jì)中葉，他出生了，他的名字在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂上翻來覆去被提到，是學(xué)霸心中的“神器”，是學(xué)渣心中的“魔鬼”，他就是韋達(dá)！ 韋達(dá)--三角公式集大成者弗朗索瓦·韋達(dá)（1540-1603年），法國(guó)數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“代數(shù)學(xué)之父”。在我國(guó)，無(wú)論您的數(shù)學(xué)考多少分，您都必須要知道“韋達(dá)定理”，這簡(jiǎn)直是二次方程的神器。韋達(dá)就是這樣在我國(guó)被家喻戶曉的，韋達(dá)簡(jiǎn)直要成了“方程”的代言人。 相傳，在比利時(shí)有位數(shù)學(xué)家叫羅芒烏斯，他在《數(shù)學(xué)思想》一書中有一個(gè)變態(tài)的方程求根問題，用現(xiàn)代的符號(hào)寫出來就是：  比利時(shí)的大使曾向法國(guó)國(guó)王亨利四世“嘚瑟”，這么難的問題你們國(guó)家有能能解么？ 于是亨利四世召來了韋達(dá)，讓他解決這個(gè)問題，滅對(duì)方之威風(fēng)！韋達(dá)看出該方程的解依賴sin45θ和sinθ之間的關(guān)系，心想：“在方程的背景音樂下，我還沒輸過”，憑著優(yōu)秀的數(shù)學(xué)直覺，2分鐘后解出了2個(gè)根，之后又解出了21個(gè)根。導(dǎo)致比利時(shí)大使裝X失敗！ 韋達(dá)在代數(shù)上最偉大的成就應(yīng)該是引進(jìn)了系統(tǒng)的“符號(hào)”，也可以被稱為“符號(hào)大師”，今天我們不談韋達(dá)其他方面的貢獻(xiàn)，只談三角學(xué)。 韋達(dá)第一個(gè)在平面三角和球面三角中使用了 6 個(gè)三角函數(shù)，即我們今天的sin，cos，tan，cot，sec，csc。除了總前人的成果外，還補(bǔ)充了自己發(fā)現(xiàn)的新公式。  他將這些公式總結(jié)在一個(gè)總表中，記錄在《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定理》的第二部分。對(duì)于斜三角形，韋達(dá)效仿古人，將其化為直角三角形解決。對(duì)于球面三角形，韋達(dá)給出計(jì)算公式及記憶法則，比如著名的余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA。之后韋達(dá)又得到多倍角公式。韋達(dá)堅(jiān)信：“沒有解決不了的問題”，這句話永遠(yuǎn)激勵(lì)著人們奮發(fā)向上，去探索數(shù)學(xué)未知的高峰。 至此，三角學(xué)從天文學(xué)中徹底分離出來，成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，并獨(dú)立發(fā)展。 歐拉--三角學(xué)分析化每每提到數(shù)學(xué)的大事件，永遠(yuǎn)都有歐拉的身影。這一次，不僅歐拉，近代數(shù)學(xué)的大牛們紛紛登場(chǎng)。17世紀(jì)，一個(gè)響亮的數(shù)學(xué)名詞登上歷史舞臺(tái)，并在之后的二百年里，它在幾乎所有的數(shù)學(xué)問題中均占中心位置，無(wú)出其右，它就是“函數(shù)”。 各種三角函數(shù)是起源于圓周運(yùn)動(dòng)，相互之間密切配合的周期函數(shù)，它們是解析幾何學(xué)和周期函數(shù)的分析學(xué)中最為基本和重要的函數(shù)；牛頓和萊布尼茨給出了三角函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式。約翰·伯努利在和差公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了解析三角的一般恒等式。 歐拉在《無(wú)窮小分析引論》中把三角學(xué)作為一門關(guān)于三角函數(shù)的科學(xué)進(jìn)行了研究，對(duì)三角學(xué)作解析的敘述，從不多的幾個(gè)基本公式推導(dǎo)出全部三角公式。他引入了弧度制，從而使角和實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，計(jì)算大為簡(jiǎn)化。如果令圓的半徑等于1，那么半圓周的長(zhǎng)就是π，所對(duì)圓心角的正弦值是0，即sinπ=0 ；1/4圓的周長(zhǎng)是π/2，所對(duì)圓心角的正弦值等于1，即sinπ/2=1。 歐拉的《無(wú)窮小分析引論》是一部劃時(shí)代的著作，即使只針對(duì)三角學(xué)來說也是封神之作。它使三角學(xué)從靜態(tài)的只是研究三角形解法的狹隘天地中解放出來，三角學(xué)可以去描述現(xiàn)實(shí)世界中一切能用三角函數(shù)反映的運(yùn)動(dòng)或變化，從而使三角學(xué)成為一門具有現(xiàn)代特征的分析學(xué)的分支。 （圖片來源網(wǎng)絡(luò)，侵刪） [1] 肖柏榮，周煥山.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)方法論[M].成都：成都科技大學(xué)出版社，1996. [2] 胡作玄.近代數(shù)學(xué)史[M].濟(jì)南：山東教育出版社，2006 [3]Eli Maor.Trigonometric Delights . Princeton University Press .1998.6 [4]吳文俊主編.世界著名科學(xué)家傳記（數(shù)學(xué)家Ⅱ）.科學(xué)出版社.1992.193 [5] Victor J.Katz.李文林.鄒建成.胥鳴偉等譯.數(shù)學(xué)史通論（第 2 版）.高等教育出版社.2004. |
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