二次函數(shù)y = ax2 (a ≠ 0) 與 y = ax2 + c (a ≠ 0)的圖象與性質(zhì)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1．理解二次函數(shù)的概念，能用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式；

2．會用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù) y= ax2 (a≠0) 與 y = ax2 + c (a ≠ 0) 的圖象，

并結(jié)合圖象理解拋物線、對稱軸、頂點(diǎn)、開口方向等概念；

3. 掌握二次函數(shù) y=ax2 (a ≠ 0) 與 y = ax2 + c (a ≠ 0) 的圖象的性質(zhì) .

【知識點(diǎn)梳理】

1、二次函數(shù)的概念

一般地，形如 y= ax2 + bx + c（a ≠ 0，a, b, c 為常數(shù)）的函數(shù)是二次函數(shù) .

若 b = 0，則 y = ax2 + c；

若 c = 0，則 y = ax2 + bx；

若 b = c = 0，則 y = ax2 .

以上三種形式都是二次函數(shù)的特殊形式，而 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）是二次函數(shù)的一般式 .

二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

注：

如果 y = ax2 + bx + c ( a , b , c 是常數(shù)，a ≠ 0 )，那么 y 叫做 x 的二次函數(shù)．

這里，當(dāng) a = 0 時(shí)就不是二次函數(shù)了，但 b、c 可分別為零，也可以同時(shí)都為零．

a 的絕對值越大，拋物線的開口越小 .

2、二次函數(shù)解析式的表示方法

① 一般式：

② 頂點(diǎn)式：

③ 兩根式：

注：

任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，

只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即 b^2 - 4ac ≥ 0 時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．

二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 .

3、二次函數(shù) y = ax2（a ≠ 0）的圖象及性質(zhì)

① 二次函數(shù) y = ax2 ( a ≠ 0 ) 的圖象

用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù) y = ax2（a ≠ 0）的圖象，

如圖，它是一條關(guān)于 y 軸對稱的曲線，這樣的曲線叫做拋物線 .

因?yàn)閽佄锞€ y = x2 關(guān)于 y 軸對稱，

所以 y 軸是這條拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，

從圖上看，拋物線 y = x2 的頂點(diǎn)是圖象的最低點(diǎn) .

因?yàn)閽佄锞€ y = x2 有最低點(diǎn)，所以函數(shù) y = x2 有最小值，它的最小值就是最低點(diǎn)的縱坐標(biāo) .

② 二次函數(shù) y = ax2 ( a ≠ 0 ) 的圖象的畫法

用描點(diǎn)法畫二次函數(shù) y = ax2（a≠0）的圖象時(shí)，應(yīng)在頂點(diǎn)的左、右兩側(cè)對稱地選取自變量 x 的值，

然后計(jì)算出對應(yīng)的 y 值，這樣的對應(yīng)值選取越密集，描出的圖象越準(zhǔn)確 .

注：

畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：

開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與 x 軸的交點(diǎn)，與 y 軸的交點(diǎn) .

③ 二次函數(shù) y = ax2 ( a ≠ 0 ) 的圖象的性質(zhì)

頂點(diǎn)決定拋物線的位置 .

幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，

只是頂點(diǎn)的位置不同.

│a│相同，拋物線的開口大小、形狀相同.

│a│越大，開口越小，圖象兩邊越靠近 y 軸，│a│越小，開口越大，圖象兩邊越靠近 x 軸 .

4、二次函數(shù) y = ax2 + c ( a ≠ 0 ) 的圖象及性質(zhì)

① 二次函數(shù) y = ax2 + c ( a ≠ 0 ) 的圖象

（1） a > 0

（2） a < 0

② 二次函數(shù) y = ax2 + c ( a ≠ 0 ) 的圖象的性質(zhì)

【典型例題】

類型一、二次函數(shù)的概念

【例題1】

此題根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的定義，確定 m 的值．

(1) 題關(guān)鍵要考慮兩點(diǎn)：一是自變量的最高次數(shù)，二是最高次項(xiàng)系數(shù)不為零．

(2) 題運(yùn)用了分類討論思想，討論時(shí)應(yīng)防止重復(fù)和遺漏．

類型二、二次函數(shù) y = ax2（a ≠ 0）的圖象及性質(zhì)

【例題2】

分別在 △A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…中，運(yùn)用勾股定理分別表示出 B1、B2、B3的坐標(biāo)，

利用拋物線解析式建立等式，分別求出 △A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3 的邊長，

然后探究規(guī)律，求出 △A2012A2013B2013 的邊長．

類型三、二次函數(shù) y = ax2 + c ( a ≠ 0 ) 的圖象及性質(zhì)

【例題3】有一個(gè)拋物線形的拱形隧道，隧道的最大高度為 6 m，跨度為 8 m，

把它放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中．

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若要在隧道壁上點(diǎn) P（如圖）安裝一盞照明燈，燈離地面高 4.5 m．

求燈與點(diǎn) B 的距離．

本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．

此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．

（1）根據(jù)拋物線在坐標(biāo)系的位置可設(shè)解析式：y = ax2+6，把點(diǎn)A（-4，0）代入即可；

（2）燈離地面高 4.5 m，即 y=4.5 時(shí)，求 x 的值，再根據(jù) P 點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理求 PB 的值.