13.7 Stokes 定理

Stokes 定理告訴我們, 三維空間中的曲面邊界上的線積分等于向量場函數旋度在法向分量的曲面積分.

環(huán)量密度: 旋度

之前看到在二維空間中向量場 F = Mi + Nj 在某點的旋度是一個數值 ?N/?x??M/?y?N?x??M?y. 而在一個三維空間內向量場(如流速場)中, 旋度就可以度量場中某點 P 處的旋轉程度. 此時旋度為一個向量, 方向為該旋轉軸的方向(旋轉平面的法向量), 場中最大旋轉的速度向量為:

觀察下面動圖, 三維空間中該曲面上 3 個不同的點處旋度動畫:

• 點1 - 旋度>0, 逆時針旋轉;

• 點2 - 旋度<0, 順時針旋轉;

• 點3 - 旋度=0.01, 接近0, 所以幾乎沒有旋轉;

Stokes 定理

Stokes Theorem 是格林定理旋度形式在三維空間的推廣. 當向量場是連續(xù)的, 且在曲面 S 上處處可微的情況下, 定理成立.

Stokes 定理: 向量場 F = Mi + Nj + Pk 繞一個定向曲面 S 的邊界 C 沿與曲面單位法向量 n 成逆時針方向上的環(huán)流量等于 (?×F)?n 在 S 上的積分.

可以觀察下面動圖, 來更好地理解 Stokes 定理.

曲線 C 一定要是一個空間中封閉的曲線, 但是曲面 S 可以是任何一個以 C 為邊界的曲面(如下動畫所示):

由 Stokes 定理可知, 如果兩定向曲面 S1 和 S2 有相同的邊界 C, 則他們的旋度積分也相等.最后推薦觀看《輕松理解散度和旋度 - 數學知識的動畫解析》這個短片, 一定會有更深理解.