1687年，牛頓出版了一部名為《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的著作，建立了以牛頓三大運動定律為基礎(chǔ)的動力學(xué)體系。在這一動力學(xué)體系中，與具體計算關(guān)系最為密切的“ 第二運動定律 ”可用現(xiàn)代符號表示為：

這一定律引進(jìn)了作為( 變速 )運動原因的力的概念，并將之與運動的加速度定量地聯(lián)系了起來。

牛頓 (1642 ~ 1727)

與引進(jìn)力的概念相匹配地，《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書的另一項重大成就是具體給出了一種力的規(guī)律，這種力就是萬有引力，這一規(guī)律被稱為牛頓萬有引力定律。其具體形式為：

出現(xiàn)在這一公式中的G是一個普適常數(shù)，稱為牛頓萬有引力常數(shù)。當(dāng)然，這是以現(xiàn)代符號加以表述的結(jié)果，牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書雖總體上是相當(dāng)數(shù)學(xué)化的 ( 不過所用的數(shù)學(xué)工具偏于古典幾何而非牛頓自創(chuàng)的微積分)，對定律的表述卻是文字化的，因而并未直接提供如(2.2)式那樣的數(shù)學(xué)形式。

由上述牛頓第二運動定律 (2.1) 式和萬有引力定律 (2.2) 式可以很容易地推出伽利略所發(fā)現(xiàn)的重物下落規(guī)律(1.3)式，因為(2.2)式表明物體所受的引力正比于它的質(zhì)量，而(2.1)式告訴我們物體在給定外力的作用下運動時，加速度反比于它的質(zhì)量。因而物體在引力作用下的加速度與它的質(zhì)量——以及其它性質(zhì)——無關(guān)。具體地說，在沒有其他外力的情形下 ( 除非有特殊需要，這一條件在下文中將不再提及， 但始終假定為成立 )，任何物體在與之相距r，質(zhì)量為M的物體的引力作用下運動的加速度為：

很明顯，(2.3) 式右側(cè)給出的正是 (1.3) 式中的常數(shù)。在后世的術(shù)語中，也被稱為質(zhì)量為M的物體在距它r處產(chǎn)生的引力場的場強。利用牛頓的萬有引力概念及后世引進(jìn)的引力場這一術(shù)語，伽利略發(fā)現(xiàn)的重物下落規(guī)律可以重新表述為：物體在引力場中的加速度由物體所在之處引力場的場強所決定，而與它的質(zhì)量——以及其它性質(zhì)——無關(guān)。這樣，牛頓萬有引力定律就不僅涵蓋了伽利略所得到的有關(guān)重物如何下落的運動學(xué)結(jié)論，而且從動力學(xué)上解釋了重物為什么會下落，完成了伽利略未能涉及的部分。

關(guān)于牛頓萬有引力定律，還有一點值得說明的是：后世的物理學(xué)家喜歡把表示萬有引力定律的 (2.2) 式中的質(zhì)量稱為“引力質(zhì)量”，以 區(qū)別于表示牛頓第二運動定律的 (2.1) 式中的“慣性質(zhì)量”。更有甚者，“引力質(zhì)量”還被進(jìn)一步區(qū)分為產(chǎn)生引力的所謂“主動引力質(zhì)量”和感受引力的所謂“被動引力質(zhì)量”。這些質(zhì)量的彼此相等則被視為額外的原理。這種后世物理學(xué)家出于表述其它觀念的便利而引進(jìn)的繁瑣性在牛頓的原始表述中是不存在的。關(guān)于引力與質(zhì)量的關(guān)系，牛頓的原始表述是：

而所謂“物質(zhì)的量”則正是《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》開篇第一個定義所給出的、被后世稱為“慣性質(zhì)量”的質(zhì)量，也是牛頓引進(jìn)的唯一質(zhì) 量概念。

牛頓萬有引力定律是真正的引力理論，而且可以說是物理史上第一個稱得上輝煌的理論。天體的運行、大海的潮汐都近乎完美地遵循著牛頓萬有引力定律，借助這一定律的威力，天文學(xué)家們甚至像大偵探一樣，依據(jù)已知天體的運動推斷出了太陽系第八大行星——海王星——的存在乃至位置，譜寫了物理史上最令人印象深刻的篇章。

但科學(xué)并沒有在輝煌中沉醉。牛頓萬有引力定律雖然輝煌，它的一個特點卻在另一位科學(xué)巨匠眼里成了問題，這位科學(xué)巨匠的名字叫做愛因斯坦。

愛因斯坦 (1879~ 1955)

1905年，愛因斯坦提出了著名的狹義相對論。狹義相對論一問世，牛頓萬有引力定律就成了一個老大難問題。這是因為牛頓萬有引力定律有一個特點，那就是不含時間，從而意味著引力的傳播是瞬時的。不幸的是，狹義相對論卻有一個速度上限：光速。瞬時傳播的引力跟 有速度上限的狹義相對論顯然是相互沖突的，用愛因斯坦本人的話說：“ 以自然的方式將引力理論與狹義相對論聯(lián)系起來很快就被發(fā)現(xiàn)是不可能的了?！?/p>

這個牛頓萬有引力定律與狹義相對論相互沖突的問題深深吸引了愛 因斯坦的注意力。1907年，他應(yīng)德國《放射性與電子學(xué)年鑒 》期刊編輯斯塔克的約稿撰寫一篇題為“關(guān)于相對性原理和由此得出的結(jié)論”的綜述。在那期間，他忽然在思考這一問題上取得了后來被他稱為“一生中最快樂的思想 ”的概念突破。

這一突破究竟是什么，又是如何產(chǎn)生的呢？1922年12月14日，愛因斯坦在日本京都大學(xué)的一次題為“我是如何創(chuàng)立相對論的 ” 的演講中作了回顧：

沿著這一思想實驗的啟示，愛因斯坦提出了著名的等效原理，即引力場中任何一個時空點附近都存在所謂的局域慣性參照系，其中的物理規(guī)律與不存在引力場時的慣性參照系里的物理規(guī)律相同。依據(jù)這條原 理，愛因斯坦思想實驗中自由下落的人之所以感受不到自己的重量，是因為他的自由下落使他處于了局域慣性參照系中，從而引力場仿佛不存在了。

等效原理是一條新原理，但它的根基是古老的，深植于被伽利略等人注意到、并經(jīng)牛頓萬有引力定律所確認(rèn)的“物體在引力場中的加速度由物體所在之處引力場的場強所決定，而與它的質(zhì)量以及其他性質(zhì)無關(guān)”這一規(guī)律上。因為否則的話，假如組成人體的各種物質(zhì)在引力場中的加速度因任何性質(zhì)的差異而各不相同，則哪怕自由下落也無法 “ 感受不到自己的重量 ”，更遑論其他物理規(guī)律與慣性參照系里的 物理規(guī)律相同了。

等效原理為構(gòu)建新的引力理論提供了思路，因為局域慣性參照系里的物理規(guī)律既然與不存在引力場時的慣性參照系里的物理規(guī)律相同，那就可以由狹義相對論來描述。那么引力場中的物理規(guī)律是什么呢？答案就在愛因斯坦那 “ 一生中最快樂的思想 ” 里，也就是 “ 將相對論推廣到加速參照系 ”。

狹義相對論中有一條所謂的“ 相對性原理 ”,它要求物理規(guī)律在所有慣性參照系中都具有相同形式，而 “ 將相對論推廣到加速參照系 ”則要求物理規(guī)律哪怕在非慣性參照系 —— 也就是任意參照系 —— 中也具有相同形式，這被稱為廣義相對性原理， 其數(shù)學(xué)表述被稱為廣義協(xié)變原理。在此基礎(chǔ)上最終構(gòu)建出來的引力理論則被稱為廣義相對論。

依據(jù)等效原理，引力場 “ 有 ” 和 “ 無 ” 的區(qū)別， 局域地講，只是參照系的區(qū)別，從而可以通過從局域慣性參照系到一般參照系的坐標(biāo)變換來體現(xiàn)，具體的體現(xiàn)方式則由廣義協(xié)變原理所確定。這聽起來有些抽象，做起來其實并不復(fù)雜，因為在狹義相對論之后，基礎(chǔ)物理定律已大都表述為了具有洛侖茲協(xié)變性的張量方程，這種方程距離廣義協(xié)變原理的要求只有一步之遙，我們要做的只是將局域慣性參照系中洛侖茲協(xié)變的張量方程改寫為在任意坐標(biāo)變換下都成立的所謂廣義協(xié)變的張量方程即可。雖然偶爾會出現(xiàn)需通過物理分析加以排除的歧義，一般而言在數(shù)學(xué)上是輕而易舉的，往往只需依照所謂的 “ 最小替換法則 ”，將狹義相對論中的閔科夫斯基度規(guī)η_μν換成 一般度規(guī) g_μν，將普通導(dǎo)數(shù) ?_μ 換成協(xié)變導(dǎo)數(shù) ?_μ 即可。從這個意義上講，廣義協(xié)變原理對物理規(guī)律基本不構(gòu)成約束 ( 但作為數(shù)學(xué)要求則是很強的 )。一旦物理規(guī)律被表述為廣義協(xié)變形式，引力場的影響也就被涵蓋在內(nèi)了。不過這一切對于構(gòu)建廣義相對論來說都是外圍的東西，因為漏掉了一個最重要的因素，那就是引力場本身的規(guī)律。其他物理規(guī)律都可以通過將局域慣性參照系中的物理規(guī)律改寫為廣義協(xié)變形式而得到，唯獨引力場本身的規(guī)律不行，因為引力在局域慣性參照系中是不存在的。

那么引力場本身的規(guī)律該如何得到呢？剛才提到的“ 最小替換法則 ”其實已給出了一個重要提示。因為“ 最小替換法則 ”意味著引力效應(yīng)全都體現(xiàn)在了閔科夫斯基度規(guī)與一般度規(guī)、普通導(dǎo)數(shù)與協(xié)變導(dǎo)數(shù)的區(qū)別上。而從數(shù)學(xué)上講，這種區(qū)別歸根到底就在于度規(guī) ( 因為普通導(dǎo)數(shù)與協(xié)變導(dǎo)數(shù)的區(qū)別實質(zhì)上亦是度規(guī)之別 )。既然引力效應(yīng)歸根到底就體現(xiàn)在度規(guī)上，我們可以猜測，描述引力場的規(guī)律可以用度規(guī)g_μν 本身所滿足的某個張量方程來描述。

愛因斯坦的研究確認(rèn)了這一點，這也是他在創(chuàng)立廣義相對論過程中付出的最艱辛的努力。

引力場方程 —— 也就是廣義相對論的基本方程 —— 最終確定為：

（2.4）式左側(cè)的最后一項，即Λg_μν項被稱為宇宙學(xué)項，其中的常數(shù)Λ被稱為宇宙學(xué)常數(shù)。在歷史上，宇宙學(xué)項的命運頗有戲劇性，愛因斯坦最初創(chuàng)立廣義相對論時是不包含宇宙學(xué)項的，后來出于尋找一個靜態(tài)宇宙模型的需要，他引進(jìn)了宇宙學(xué)項。當(dāng)靜態(tài)宇宙模型被觀測否定之后，宇宙學(xué)項也一度失了寵。但到了20世紀(jì)末，精密的宇宙學(xué)觀測重新確立了宇宙學(xué)項的必要性，使后者“ 王者歸來 ”。

宇宙學(xué)項對于宇宙的長遠(yuǎn)未來有著極重要的影響，但對于本系列所涉及的話題卻關(guān)系不大，略去了宇宙學(xué)項的引力場方程為

其中R_μν是里奇曲率張量，R是R_μν的縮并，稱為曲率標(biāo)量。T_μν是能量動量張量。

這就是本系列將要采用的基本方程，也稱為愛因斯坦場方程，是愛因斯坦1915年得到的。由于整個推導(dǎo)是從局域慣性參照系中滿足狹義相對論的物理規(guī)律開始延展的，因此廣義相對論確如愛因斯坦所預(yù)期的，自動解決了被引導(dǎo)到引力理論上來的牛頓萬有引力定律與狹義相對論不相容的問題。

愛因斯坦場方程遠(yuǎn)比電磁場方程復(fù)雜，因為它是非線性的。與電磁場本身不帶電荷不同，引力場本身帶有能量動量，從而本身就能產(chǎn)生引力場。此外，愛因斯坦場方程還有一個鮮明特點，那就是右側(cè)有賴于物質(zhì)，而左側(cè)只跟時空有關(guān) —— 因為左側(cè)的所有項都是由度規(guī)及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的。不僅如此，左側(cè)的里奇張量R_μν乃是時空曲率張量的縮并，在一定程度上描述了時空的彎曲。這種漂亮的幾何意義，外加前面提到過的引力效應(yīng) —— 具體地說是引力對物質(zhì)運動的影響—— 體現(xiàn)在度規(guī)上這一結(jié)論，使美國物理學(xué)家惠勒用了一句很精煉的話來概述廣義相對論的特點，那就是“ 時空告訴物質(zhì)如何運動，物質(zhì)告訴時空如何彎曲 ”。

在愛因斯坦的這種全新的引力理論中，傳統(tǒng)的牛頓引力消失了，取而代之的是彎曲的時空，為了紀(jì)念愛因斯坦的巨大貢獻(xiàn)，我們稱這種時空為愛因斯坦時空。在愛因斯坦時空中，純粹牛頓引力作用下的曲線 運動成了愛因斯坦時空中的“ 直線 ” ( 即測地線 ) 運動。

從亞里斯多德算起，經(jīng)過了2200多年；從伽利略和牛頓算起，經(jīng)過了 200多年，我們終于迎來了廣義相對論與愛因斯坦時空。從牛頓引力到愛因斯坦時空是科學(xué)史上最激動人心的進(jìn)展之一。如今距離這一進(jìn)展又100多年過去了，在這種全新的引力理論和全新的時空中，很多新興研究領(lǐng)域已經(jīng)發(fā)展壯大，引力波就是這樣一個領(lǐng)域。（未完待續(xù)）

本文選自《現(xiàn)代物理知識》2017年第1期    時光摘編