一元二次方程的有理根與整數(shù)根：

經典例題：已知關于x的方程(k-1)x2十2k.x +k+3=0.

(1)當原方程有兩個不相等的實數(shù)根時.求h的取值范圍:

(2)當原方程有兩個相等的實數(shù)根時,求關于y的方程y2+(a-4k)y+a+1=0的整數(shù)根(a為正整數(shù)).

例題解析：

思路分析

本題的難點在第(2)問，當原方程有兩個相等的實數(shù)根時,利用判別式可得k的值,因此y2+(a-4k)y+a+1=0中只有未知參數(shù)a了.由于該方程無法用因式分解法求解,只能用公式法先求判別式。注意到是求整數(shù)根,則y2 +(a -4k)y+a+1=0的判別式的值為完全平方數(shù)，設完全平方數(shù)為m2 ,再結合a為正整數(shù)這個條件,構造一個關于a 和m的方程，求出該方程的整數(shù)解,進進而求出方程的整數(shù)根。

解后反思 ：

處理一元二次方程的整數(shù)根問題有三個思路:一 是利用“十字相乘”法，將含有參數(shù)的一元二次方程進行因式分解，直接求出方程的根(方程的根中含有未知參數(shù))，再通過根為整數(shù)以及參數(shù)為正整數(shù)這兩個條件確定參數(shù)的值;二是在一元二次方 程無法因式分解的條件下，利用判別式大于零，求出未知參數(shù)的取值范圍，再根據(jù)參數(shù)也為正整數(shù)等條件,求出參數(shù)的值;三是在利用方程的判別式大于零仍無法求出參數(shù)的條件下，利用判別式為完全平方數(shù)的條件,建立關于參數(shù)和這個完全平方數(shù)的不定方程，通過求解這個不定方程的整數(shù)解來確定參數(shù)的值。

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