T檢驗(yàn)是我們醫(yī)學(xué)科研工作中使用頻率非常高的一種進(jìn)行均值比較的統(tǒng)計(jì)方法。但是對(duì)于T檢驗(yàn)的適用條件卻似乎存在著爭(zhēng)議。

有人說(shuō)，應(yīng)用T檢驗(yàn)的前提是數(shù)據(jù)來(lái)自于正態(tài)分布的總體，因此在進(jìn)行T檢驗(yàn)前均需進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，也有人說(shuō)，在樣本量比較大時(shí)，可不必在意數(shù)據(jù)是否來(lái)源于正態(tài)分布總體，因?yàn)橹行臉O限定理告訴我們樣本均數(shù)在樣本量較大時(shí)可以近似為正態(tài)分布。

那么到底哪種說(shuō)法正確呢？樣本量較大時(shí)是否還要求數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布呢？其實(shí)這個(gè)問(wèn)題在統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的教材中有非常明確的數(shù)學(xué)證明，數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)分布時(shí)，也是可以使用T檢驗(yàn)的，但不完全是因?yàn)橹行臉O限定理。（本文附錄將介紹統(tǒng)計(jì)學(xué)教材中對(duì)該問(wèn)題的數(shù)學(xué)證明，建議先看文末的附錄再看結(jié)論）

從文末附錄的證明過(guò)程我們不難看出，樣本量較大時(shí)，任意分布的隨機(jī)樣本均數(shù)比較，可以使用T檢驗(yàn)，但足夠大的樣本量是關(guān)鍵條件。那么多大的樣本量才算是足夠大呢？實(shí)際上并沒(méi)有唯一答案，這取決于原始分布本身偏離正態(tài)分布的程度，以及我們對(duì)近似性標(biāo)準(zhǔn)要求到底有多高。

經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，若只是稍稍偏離正態(tài)分布，可能大于30的樣本量就夠了（相信大家對(duì)這個(gè)說(shuō)法有所耳聞），但若偏離比較大，則會(huì)需要更多，比如50以上，甚至100以上。這種近似是可以接受的，因?yàn)榧幢闶俏覀兺ㄟ^(guò)正態(tài)性檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)不拒絕正態(tài)性假設(shè)時(shí)才進(jìn)行T檢驗(yàn)，也無(wú)法保證原始數(shù)據(jù)一定就是完美的正態(tài)分布，正態(tài)性檢驗(yàn)本身也是個(gè)近似。

通常我們獲得的建議是，如果通過(guò)正態(tài)性檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)不拒絕正態(tài)性假設(shè)就用T檢驗(yàn)，如果拒絕了就用非參數(shù)檢驗(yàn)，例如對(duì)于兩樣本，通常是wilcoxon rank-sum檢驗(yàn)。那么T檢驗(yàn)與非參數(shù)檢驗(yàn)之間該如何選擇呢？

答案是，若原始數(shù)據(jù)比較符合正態(tài)分布，推薦用T檢驗(yàn)，若偏離較大，建議用非參數(shù)檢驗(yàn)。若樣本量非常大，那么這兩種檢驗(yàn)都是可以的。

這是因?yàn)閮煞N檢驗(yàn)方法在不同條件下的power不同。當(dāng)數(shù)據(jù)近似符合正態(tài)分布時(shí)，T檢驗(yàn)幾乎利用了所有的數(shù)據(jù)信息，因此最有能力發(fā)現(xiàn)差異，非參數(shù)檢驗(yàn)利用的是數(shù)據(jù)間的次序關(guān)系，本身造成了一定的信息損失。

但是當(dāng)數(shù)據(jù)明顯偏離正態(tài)分布時(shí)，由于T檢驗(yàn)依賴于較大的樣本量才可以獲得較好的近似，其power可能下降明顯，不如非參數(shù)檢驗(yàn)power高。

例如，理論上，對(duì)于兩組正態(tài)分布數(shù)據(jù)，wilcoxon rank-sum 檢驗(yàn)的漸近檢驗(yàn)效率是T檢驗(yàn)的95.5%，但若數(shù)據(jù)明顯偏離正態(tài)分布，同等樣本量下wilcoxon rank-sum 檢驗(yàn)的power要更高一些。所以當(dāng)你無(wú)法確定原始數(shù)據(jù)是否大致符合正態(tài)分布，而又需要提前確定分析方法時(shí)，用非參數(shù)檢驗(yàn)會(huì)相對(duì)保險(xiǎn)。

我們常常也會(huì)看到支持用非參數(shù)檢驗(yàn)另外一些說(shuō)法：非參數(shù)檢驗(yàn)對(duì)原始分布類型沒(méi)有要求，不需要額外假設(shè)，對(duì)于非對(duì)稱數(shù)據(jù)檢驗(yàn)中位數(shù)比檢驗(yàn)均數(shù)更好。這其實(shí)也是誤解。

就拿wilcoxon rank-sum檢驗(yàn)來(lái)說(shuō)，雖然其不要求數(shù)據(jù)來(lái)自于哪個(gè)具體的分布，但是要求兩個(gè)樣本的分布形狀要大體相同，在這樣的情況下，檢驗(yàn)兩組樣本均值存在差異還是中位數(shù)存在差異，其實(shí)是等價(jià)的，都可以說(shuō)明兩組數(shù)據(jù)分布位置存在差異，因此不存在檢驗(yàn)均數(shù)不正確的問(wèn)題。

對(duì)于非對(duì)稱數(shù)據(jù)用中位數(shù)進(jìn)行描述，只是因?yàn)橹形粩?shù)能更好地代表數(shù)據(jù)的中心位置，但不代表中位數(shù)是唯一可以用來(lái)說(shuō)明組間存在差異的統(tǒng)計(jì)量。而且非參數(shù)檢驗(yàn)大多檢驗(yàn)的是位置參數(shù)，中位數(shù)和均數(shù)同屬于位置參數(shù)，因此也不能說(shuō)非參數(shù)檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)的就一定是中位數(shù)（當(dāng)然某些非參數(shù)檢驗(yàn)確實(shí)針對(duì)的是中位數(shù)），或者用了非參數(shù)檢驗(yàn)就一定只能報(bào)告中位數(shù)。

本部分將針對(duì)幾個(gè)不同類型的分布，構(gòu)造樣本的t統(tǒng)計(jì)量，以驗(yàn)證該統(tǒng)計(jì)量是否近似為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（或T分布）。

① 首先假設(shè)數(shù)據(jù)總體來(lái)自正態(tài)分布。（總體均數(shù)為2，標(biāo)準(zhǔn)差為5，樣本量50，重復(fù)抽樣1000次）

② 指數(shù)分布（總體均數(shù)為2，標(biāo)準(zhǔn)差為2，樣本量分別為50/100，重復(fù)抽樣1000次）

③ 兩點(diǎn)分布（p=0.2，樣本量為50/100/200/500，重復(fù)抽樣1000次）

兩點(diǎn)分布只有0和1兩個(gè)取值，與正態(tài)分布差異巨大，但樣本量到200以上時(shí)，樣本t統(tǒng)計(jì)量也比較接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布了。

附錄

為了使讀者對(duì)該問(wèn)題有全面的理解，本文的附錄將首先證明為什么原始數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布時(shí)，樣本均值的比較要用T檢驗(yàn)；然后證明為什么原始數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布時(shí)，樣本均值可以近似使用T檢驗(yàn)，以及近似的條件。

數(shù)據(jù)用什么樣的檢驗(yàn)方法進(jìn)行分析，實(shí)際上取決于我們構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量服從什么樣的分布，只有服從這個(gè)分布，才可以利用這個(gè)分布的相關(guān)函數(shù)計(jì)算P值，如果實(shí)際上不服從這個(gè)分布，那么計(jì)算出的P值自然是不準(zhǔn)確的。因此要證明以上問(wèn)題，實(shí)際上是要證明原始數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布時(shí)，我們構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量符合T分布。

在開(kāi)始證明前，我們需要先了解以下三個(gè)分布及其特征：

正態(tài)分布

正態(tài)分布大家應(yīng)該都很熟悉了，它有兩個(gè)重要的參數(shù)，一個(gè)是均值 μ，另一個(gè)是方差 σ²。正態(tài)分布一個(gè)非常重要的特征是：如果有多個(gè)變量服從正態(tài)分布，且互相獨(dú)立，那么它們的線性組合也服從正態(tài)分布，例如，若

X1  ~  N（μ1，σ1²），

X2  ~  N（μ2，σ2²），那么

aX1   bX2  ~  N（aμ1 bμ2，a²σ1² b²σ2²），

aX1 - bX2  ~  N（aμ1 - bμ2，a²σ1² b²σ2²）。

χ2 分布

如果一個(gè)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即 N（0,1），那么變量 X²服從自由度為1的 χ2 分布。χ2 分布的一個(gè)重要特征是：n個(gè)相互獨(dú)立的 χ2 分布的和也服從 χ2 分布，且自由度為n。

T分布

如果變量 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N（0,1），Y服從自由度為 n 的 χ2 分布，且X 和 Y 相互獨(dú)立，則以下統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n 的T分布：

我們稱以上為T(mén)分布的標(biāo)準(zhǔn)形式。

因此一個(gè)統(tǒng)計(jì)量要服從T分布需滿足以下三個(gè)條件：

1. 變量X為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量

2. 變量Y為卡方分布變量

3. 變量X與變量Y獨(dú)立

換句話說(shuō)，如果我們構(gòu)造了一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，并且這個(gè)統(tǒng)計(jì)量滿足以上三個(gè)條件，那么就可以證明這個(gè)統(tǒng)計(jì)量服從 T 分布。

現(xiàn)在，我們從正態(tài)分布 N（μ，σ²）的總體中抽取了一個(gè)樣本，并計(jì)算該樣本的均數(shù)（例如若中國(guó)60歲居民收縮壓是符合正態(tài)分布的，我們隨機(jī)抽取了1000人計(jì)算了平均收縮壓用于研究），即，

利用前面介紹的正態(tài)分布的重要特征，我們很容易知道樣本均數(shù) 服從均數(shù)為 μ，方差為 σ²/n 的正態(tài)分布，這是因?yàn)椋?/p>

中各個(gè) X 都是獨(dú)立的，且都來(lái)源于 N（μ，σ²）的正態(tài)分布總體，樣本均數(shù)也服從正態(tài)分布，且

期望（即均數(shù)）為

方差為：

我們把樣本均數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)化為統(tǒng)計(jì)量 Z，則Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：

我們知道進(jìn)行均數(shù) T 檢驗(yàn)時(shí) T 統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式是，跟 Z 的計(jì)算公式非常相似，唯一的區(qū)別是 Z 統(tǒng)計(jì)量中使用的是總體的方差 σ，通常來(lái)說(shuō)是未知的，因此 Z 統(tǒng)計(jì)量一般無(wú)法計(jì)算。但樣本方差 S 是可以計(jì)算得到的，T統(tǒng)計(jì)量中用到的也正是樣本方差 S。這一區(qū)別導(dǎo)致了 T 統(tǒng)計(jì)量服從 T 分布，而不是像 Z 統(tǒng)計(jì)量一樣服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。下面我們來(lái)介紹為什么。

我們把T統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式進(jìn)行一下變形：

對(duì)比一下前面介紹的T分布的標(biāo)準(zhǔn)形式：

顯然，Z 統(tǒng)計(jì)量就是以上標(biāo)準(zhǔn)形式中的 X，且符合條件 A。而自然是標(biāo)準(zhǔn)形式中的Y，而且其自由度為 n-1。下面我們證明其符合條件B。

對(duì)于我們樣本中抽取的每個(gè) Xi 都來(lái)自于N（μ，σ²）的總體。將 Xi 進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：

那么，根據(jù) χ2 分布的性質(zhì)，可知：

對(duì)于n個(gè)獨(dú)立樣本值，可知：

我們知道，樣本方差 S² 的計(jì)算公式為：

那么T分布標(biāo)準(zhǔn)型中的Y為：

將 ③ 和 ⑤ 仔細(xì)對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)，二者非常相似，唯一區(qū)別在于，③ 中與樣本值相減的是總體均數(shù) μ，而 ⑤ 中為樣本均數(shù)。μ 是常數(shù)，而是變量，所以 ⑤ 必然不服從分布。統(tǒng)計(jì)學(xué)上已經(jīng)證明，⑤ 其實(shí)服從 χ2 分布，但其自由度不再 n，而是 n-1（具體證明比較復(fù)雜，有興趣的參閱參考資料1）。也就是說(shuō)，

至此，我們證明了條件B。

而對(duì)于正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，其樣本方差與樣本均數(shù)獨(dú)立，即條件C（證明見(jiàn)參考資料1），因此T分布成立的三個(gè)條件全部滿足。

故 T 統(tǒng)計(jì)量服從T分布，即，

以上我們證明了數(shù)據(jù)來(lái)源于正態(tài)分布總體時(shí)樣本均數(shù)和樣本方差構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量服從T分布。

首先，中心極限定理告訴我們，當(dāng)樣本足夠大時(shí)，無(wú)論總體服從何種分布，它的樣本均數(shù)都近似服從正態(tài)分布。因此 ⑧ 式中分子( 即Z統(tǒng)計(jì)量：)便服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（ T分布成立的條件A ）。

第二，要使⑧式T分布成立，還需要分母中服從 χ2 分布（條件B）。問(wèn)題是，中心極限定理是針對(duì)樣本均數(shù)的定理，只能證明條件A成立，卻無(wú)法證明條件B成立。實(shí)際上，條件B成立的前提是數(shù)據(jù)總體服從正態(tài)分布，與樣本均數(shù)沒(méi)有關(guān)系。

第三，總體服從正態(tài)分布時(shí)可以證明樣本均數(shù)與樣本方差獨(dú)立，當(dāng)總體不服從正態(tài)分布時(shí)獨(dú)立性無(wú)法保證，因此條件C也可能不滿足。

這樣看來(lái)，原始數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布時(shí)樣本均值比較好像不應(yīng)該使用T檢驗(yàn)，為什么本文說(shuō)可以使用呢？其實(shí)本文在一開(kāi)始就提到過(guò)，這個(gè)證明不完全取決于中心極限定理，因?yàn)檫€需要用到另外兩個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)中非常重要的定理。

定理1（又稱Slutsky定理）：

設(shè) {Zn} 和 {Un} 是兩個(gè)隨機(jī)變量序列，若

Zn 依分布收斂于分布 Z，Un 依概率收斂于常數(shù) C，則有，

• Zn Un 依分布收斂于 Z C

• Un*Zn  依分布收斂于 C*Z

• Zn / Un 依分布收斂于Z/c (c不等于0)

注：依分布收斂可以簡(jiǎn)單理解隨著樣本量增大，變量的分布越來(lái)越接近一個(gè)特定的分布；依概率收斂可以簡(jiǎn)單理解為隨著樣本量增加，變量的取值越來(lái)越可能接近一個(gè)固定的常數(shù)。

定理2：

設(shè) {Zn} 為一隨機(jī)變量序列，且 Zn 依概率收斂于常數(shù)C，又函數(shù) g(.) 在C處連續(xù)，則g(Zn) 依概率收斂到 g(C)。（即如果一個(gè)變量收斂到一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)變量經(jīng)過(guò)某種運(yùn)算后的值收斂到該常數(shù)接受同樣運(yùn)算后的值）

下面我們利用以上幾個(gè)定理完成第二個(gè)證明。

設(shè) X1, X2, … , Xn，是來(lái)自相同任意分布的獨(dú)立樣本，該分布均值為 μ ，方差為，模仿正態(tài)總體下的 T 統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式，構(gòu)造

首先由大數(shù)定理可知：

• 依概率收斂到總體方差 σ²（當(dāng)樣本量接近總體時(shí)，該公式即是計(jì)算總體方差的公式）

• 依概率收斂到總體均值 μ（當(dāng)樣本量接近總體時(shí)，該公式即是計(jì)算總體均數(shù)的公式）
  

由定理1可知：

依概率收斂到 σ²（即樣本方差依概率收斂到總體方差）。

由定理2可知，S 依概率收斂到 σ（即樣本標(biāo)準(zhǔn)差依概率收斂到總體標(biāo)準(zhǔn)差）。對(duì)t進(jìn)行變形：

由中心極限定理，上式中分子服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N（0,1）；上式分母依概率收斂到常數(shù)1；由定理1，上式 t 依分布收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N（0,1）。

到此，我們證明了任意分布下樣本構(gòu)造的 t 統(tǒng)計(jì)量趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（確實(shí)不一定符合 T 分布），那為什么說(shuō)可以用 T 檢驗(yàn)?zāi)兀恳驗(yàn)椋涸跇颖玖勘容^大時(shí)，T 分布是近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的，因此 t 統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的P值可由 T 分布近似計(jì)算。也就是說(shuō)，樣本量較大時(shí)，任意分布的隨機(jī)樣本均數(shù)比較可以使用T檢驗(yàn)。

以上證明來(lái)自于參考資料2（P38-P42），有興趣的讀者可以查閱驗(yàn)證。

參考資料：

1. http://jekyll.math./courses/m321/handouts/mean_var_indep.pdf

2.茆詩(shī)松，王靜龍，濮曉龍. 高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二版. 北京：高等教育出版社，2006