【原】七上第3講學(xué)好“絕對值”，絕對值！(下) —— 幾何意義篇

數(shù)海一葉舟 2021-05-17

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上一講中，我們對相反數(shù)和絕對值的基本內(nèi)容作了一個歸納，這一講，我們對絕對值的幾何意義作一個深入的剖析．因為在絕對值的知識點(diǎn)中，蘊(yùn)含了許多重要的數(shù)學(xué)思想．

(1)分類討論思想：絕對值化簡時，要根據(jù)被化簡式子的正負(fù)性來分類．

(2)整體思想：絕對值化簡時，有時需要將被化簡式子看作整體．

(3)數(shù)形結(jié)合思想：絕對值的幾何意義中，結(jié)合數(shù)軸來了解，更加簡單易懂．

——寫在前面

一、概念辨析

首先，來回憶一下絕對值的幾何意義：數(shù)軸上，表示一個數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做這個數(shù)的絕對值．如數(shù)a的絕對值記作|a|，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．

但是我們其實可以把|a|看作|a－0|，這樣就能表示為數(shù)a的點(diǎn)與數(shù)0的點(diǎn)的距離．

那么|a－5|表示什么呢？千萬別說成數(shù)a－5的點(diǎn)與數(shù)0的點(diǎn)的距離．而應(yīng)該看成數(shù)a的點(diǎn)與數(shù)5的點(diǎn)的距離．

不能理解的同學(xué)，我們就舉最簡單的例子，數(shù)10的點(diǎn)與數(shù)5的點(diǎn)的距離是多少，你肯定是知道是10－5，那這里只不過把10換成了a而已，如果a比5小，加個絕對值符號，保證距離的非負(fù)性即可，這下你明白了吧．

那么|a＋5|表示什么呢？|a＋5|＝|a－(－5)|，表示數(shù)a的點(diǎn)與數(shù)－5的點(diǎn)的距離．

最后，你能說出|a－b|和|a＋b|的幾何意義嗎？

二、典型例題

1.絕對值化簡求最值

例1

求|x－1|＋|x－2|的最小值．

分析：

|x－1|表示數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)1的點(diǎn)之間的距離，

|x－2|表示數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)2的點(diǎn)之間的距離，

|x－1|＋|x－2|表示數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)1的點(diǎn)之間的距離與數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)2的點(diǎn)之間的距離之和．

我們不妨在數(shù)軸上，設(shè)A、B、P三點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別是1、2、x．

當(dāng)1≤x≤2時，即P點(diǎn)在線段AB上，此時|x－1|＋|x－2|＝PA＋PB＝AB＝1；

當(dāng)x＞2時，即P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，此時|x－1|＋|x－2|＝PA＋PB＝AB＋2PB＞AB；

當(dāng)x＜1時，即P點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)，此時|x－1|＋|x－2|＝PA＋PB＝AB＋2PA＞AB；

解答：

綜上，當(dāng)1≤x≤2時(P點(diǎn)在線段AB上)，|x－1|＋|x－2|取得最小值為1．

結(jié)論歸納：

若已知a＜b，則當(dāng)a≤x≤b時，

|x－a|＋|x－b|取得最小值為b－a．

變式1

求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值．

分析：

我們不妨在數(shù)軸上，設(shè)A、B、C、P四點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為1、2、3、x．

①當(dāng)1≤x≤3時，|x－1|＋|x－3|＝PA＋PC＝3－1＝2，取得最小值；

②當(dāng)x＝2時，|x－2|＝PB＝0，取得最小值；

而要求的|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＝PA＋PB＋PC，即上面兩式|x－1|＋|x－3|與|x－2|之和，如果這兩式能同時取得最小值，那么它們的和必然也取得最小值．

解答：

當(dāng)x＝2時，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|

的最小值為(3－1)＋0＝2．

變式2

求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|的最小值．

分析：

我們不妨在數(shù)軸上，設(shè)A、B、C、D、P五點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為1、2、3、4、x．

①當(dāng)1≤x≤4時，|x－1|＋|x－4|＝PA＋PD＝4－1＝3，取得最小值；

②當(dāng)2≤x≤3時，|x－2|＋|x－3|＝PB＋PC＝3－2＝1，取得最小值；

而要求的|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|＝PA＋PB＋PC＋PD，即上面兩式|x－1|＋|x－4|與|x－2|＋|x－3|之和，如果這兩式能同時取得最小值，那么它們的和必然也取得最小值．

解答：

當(dāng)2≤x≤3時，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|

的最小值為(4－1)＋(3－2)＝4．

變式3

求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|＋|x－5|的最小值．

分析：

我們不妨在數(shù)軸上，設(shè)A、B、C、D、E、P六點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為1、2、3、4、5、x．

①當(dāng)1≤x≤5時，|x－1|＋|x－5|＝PA＋PE＝5－1＝4，取得最小值；

②當(dāng)2≤x≤4時，|x－2|＋|x－4|＝PB＋PD＝4－2＝2，取得最小值；

③當(dāng)x＝3時，|x－3|＝PC＝0，取得最小值；

而要求的|x－1|＋|x－2|＋|x－3＋|x－4|＋|x－5||＝PA＋PB＋PC＋PD＋PE，即上面三式|x－1|＋|x－5|，|x－2|＋|x－4|與|x－3|之和，如果這三式能同時取得最小值，那么它們的和必然也取得最小值．

解答：

當(dāng)x＝3時，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|＋|x－5|

的最小值為(5－1)＋(4－2)＋0＝6．

結(jié)論歸納：

2．絕對值化簡求定值

例3

|x＋1|＋|x－3|＝6，x＝_______．

分析：

|x＋1|＋|x－3|表示數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)－1的點(diǎn)之間的距離與數(shù)x的點(diǎn)與數(shù)3的點(diǎn)之間的距離之和．

顯然，我們易知，當(dāng)－1≤x≤3時，距離之和為4，因此，x的取值必然滿足x＜－1或x＞3．

我們不妨以x＜－1為例，結(jié)合數(shù)軸分析，設(shè)A、B、P三點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別是－1、3、x．設(shè)P、A兩點(diǎn)距離為a，則P、B兩點(diǎn)距離為a＋4，a＋a＋4＝6，a＝1，則x＝－1－1＝－2，同理，當(dāng)x＞3時，也可求．