2019年武漢市中考第15題：

拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(－3，0)、B(4，0)兩點(diǎn)，則關(guān)于x的一元二次方程a(x－1)²＋c＝b－bx的解是___________.

分析：本題是二次函數(shù)與二次方程同臺(tái)共舞的簡單綜合題，考查的是兩者之間的關(guān)系及其運(yùn)用，問題解決的關(guān)鍵是尋找、發(fā)現(xiàn)方程式與函數(shù)式之間的關(guān)系。

解法一：因?yàn)閽佄锞€y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(－3，0)、B(4，0)兩點(diǎn)，

所以9a-3b+c=0………（1）

16a+4b+c=0…………（2）

（1）-（2），得

-7a-7b=0，b=-a；

把b=-a代入（1），得：

c=-12a，

所以一元二次方程a(x－1)²＋c＝b－bx可化為：

a(x－1)²-12a＝-a+ax,

因?yàn)閍≠0，兩邊除以a，得：

(x－1)²-12＝-1+x，

整理，得(x－1)²-(x-1)-12＝0，

所以(x-1-4)(x-1+3)=0，

即(x+2)(x-5)=0，

所以x₁=-2，x₂=5，

所以答案為：x₁=-2，x₂=5。

解法二：首先，由拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)可知拋物線解析式可化為：

y＝a(x+3)(x-4)

即y= ax²-ax-12a，

所以ax²＋bx＋c=ax²-ax-12a，

比較系數(shù)，得：

b=-a，c=-12a，

下同解法一。

解法三：因?yàn)閽佄锞€y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(－3，0)、B(4，0)兩點(diǎn)，

所以方程ax²＋bx＋c=0的兩根為x₁=-3，x₂=4。

把一元二次方程a(x-1)²＋c＝b-bx化為與方程ax²＋bx＋c=0相同的一般形式，得：

a(x-1)²＋+bx-b+c＝0，

即a(x-1)²＋b(x-1)+c=0，

顯然，方程a(x-1)²＋b(x-1)+c=0的根x-1等于方程ax²＋bx+c=0的根x，

即方程a(x-1)²＋b(x-1)+c=0的兩根分別是方程ax²＋bx+c=0的兩根加1，

所以方程a(x-1)²＋b(x-1)+c=0的兩根為x₁=-3+1=-2，x₂=4+1=5，所以答案為：x₁=-2，x₂=5。

上述解法一、二是常規(guī)的解題思路，其解法當(dāng)然是無可厚非的，但在時(shí)間有限的考場(chǎng)上運(yùn)用這兩種解法顯然是浪費(fèi)了不少寶貴時(shí)間，大有得不償失之嫌。解法三十分巧妙，既省時(shí)又可以保證準(zhǔn)確性萬無一失，其解法源自對(duì)題目的細(xì)致觀察和縝密思考。