【考試要求】

1.經(jīng)歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義；

2.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；

3.能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括推導出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶)．

【知識梳理】

1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.

cos(α?β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.

tan(α±β)＝.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝2sin__αcosα.

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

tan 2α＝.

3.函數(shù)f(α)＝asin α＋bcos α(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).

【微點提醒】

1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β).

考點一　三角函數(shù)式的化簡

【規(guī)律方法】　1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，正確使用公式；二看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；三看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升冪”等.

2.化簡三角函數(shù)式的常見方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪與升冪等.

考點二　三角函數(shù)式的求值

角度1　給角(值)求值

角度2　給值求角

【規(guī)律方法】　1.“給角求值”、“給值求值”問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.

2.“給值求角”：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.遵照以下原則：(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；(2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好.

考點三　三角恒等變換的簡單應(yīng)用

【規(guī)律方法】　1.進行三角恒等變換要抓住：變角、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用.

2.把形如y＝asin x＋bcos x化為y＝sin(x＋φ)，可進一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對稱性.

【反思與感悟】

1.重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”.

(1)變角：對角的分拆要盡可能化成同角、特殊角；(2)變名：盡可能減少函數(shù)名稱；(3)變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.

2.在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當?shù)娜枪胶愕茸冃?

【易錯防范】

1.運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對性，要注意升冪、降冪的靈活運用，要注意“1”的各種變通.

2.在(0，π)范圍內(nèi)，sin α＝所對應(yīng)的角α不是唯一的.

3.在三角求值時，往往要借助角的范圍確定三角函數(shù)值的符號或所求角的三角函數(shù)的名稱.

【核心素養(yǎng)提升】

【邏輯推理與數(shù)學運算】——縮小角的范圍常用策略

在運用平方關(guān)系和由三角函數(shù)值求角時都要注意角的范圍.如果條件中角的范圍恰好能夠使用，那么就能順勢求解題目.但絕大部分題目都會設(shè)置一定的障礙，特別是角的范圍，往往所給的范圍較大，需要根據(jù)條件縮小范圍.

類型1　由三角函數(shù)值的符號縮小角的范圍

【評析】　三角函數(shù)值的符號與角的范圍有直接關(guān)系，借助三角函數(shù)值的符號可有效縮小角的范圍.本題縮小角的范圍分為兩層：先由條件中tan α，cos β的符號縮小α，β的范圍，得到α－β的范圍，再由α－β的范圍，結(jié)合tan(α－β)的符號進而縮小α－β的范圍，得到2α－β的范圍.難點是想到縮小α－β的范圍.

另外，本題還可以采用縮小三角函數(shù)值的范圍來縮小角的范圍.

法二較法一在求角的范圍上運算量小了許多，這也顯示出運用三角函數(shù)值的范圍縮小角的范圍的優(yōu)勢.

類型2　由三角函數(shù)值及特殊角的三角函數(shù)值縮小范圍