（2018·東營）如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）與x軸交于A、B兩點，拋物線上另有一點C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．

（1）求線段OC的長度；

（2）設(shè)直線BC與y軸交于點M，點C是BM的中點時，求直線BM和拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】

解：（1）由題可知當y=0時，a（x﹣1）（x﹣3）=0，

解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），

∴OA=1，OB=3

∵△OCA∽△OBC，

∴OC：OB=OA：OC，

∴OC2=OA·OB=3，

則OC=√3；

（2）∵C是BM的中點，即OC為斜邊BM的中線，

∴OC=BC，

∴點C的橫坐標為3/2，

又OC=√3，點C在x軸下方，

∴C（3/2，﹣√3/2），

設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，

把點B（3，0），C（3/2，﹣√3/2）代入得：

3k+b=0，3/2 k+b=-√3/2，

解得：b=﹣√3，k=√3/3，

∴y=√3/3x﹣√3，

又∵點C（3/2，﹣√3/2）在拋物線上，代入拋物線解析式，

解得：a=(2√3)/3，

∴拋物線解析式為y=(2√3)/3x2﹣(8√3)/3x+2√3；

（3）點P存在，

設(shè)點P坐標為（x，(2√3)/3x2﹣(8√3)/3x+2√3），過點P作PQ⊥x軸交直線BM于點Q，

則Q（x，√3/3x﹣√3），

∴PQ=√3/3x﹣√3﹣（(2√3)/3x2﹣(8√3)/3x+2√3）

=﹣(2√3)/3x2+3√3x﹣3√3，

當△BCP面積最大時，四邊形ABPC的面積最大，

S△BCP=1/2PQ（3﹣x）+1/2PQ（x﹣3/2）

=3/4PQ

=﹣√3/2x2+(9√3)/4x﹣(9√3)/4，

當x=﹣b/2a=9/4時，S△BCP有最大值，四邊形ABPC的面積最大，此時點P的坐標為（9/4，﹣(5√3)/8）．