眾所周知，π=3.141592653…可以說(shuō)，它是世界上最有名的無(wú)理常數(shù)了，代表的是一個(gè)圓的周長(zhǎng)與直徑之比或稱為“圓周率”。公元前250年左右，阿基米德給出了“圓周率”的估計(jì)值在223/71~22/7之間，也即是在3.140845~3.142857之間。中國(guó)南北朝時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家祖沖之(429-500)首次將“圓周率”精算到小數(shù)第七位，即在3.1415926和3.1415927之間，他提出的“密率與約率”對(duì)數(shù)學(xué)的研究有重大貢獻(xiàn)。直到15世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西才以“精確到小數(shù)點(diǎn)后17位”打破了這一紀(jì)錄。

代表“圓周率”的字母π是第十六個(gè)希臘字母的小寫。也是希臘語(yǔ) περιφρεια（表示周邊，地域，圓周）的首字母。1706年英國(guó)數(shù)學(xué)家威廉·瓊斯(William Jones, 1675-1749)最先使用“π”來(lái)表示圓周率。1736年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhard Euler, 1707-1783)也開(kāi)始用表示圓周率。從此，π便成了圓周率的代名詞。

介紹完一些關(guān)于π的來(lái)歷后，我準(zhǔn)備著手沿著古人的方式去尋找π，但此時(shí)我發(fā)現(xiàn)忽略了一個(gè)重要的前提條件——為什么π是一個(gè)常數(shù)？即為什么所有圓的周長(zhǎng)和直徑之比為一個(gè)定值，這一點(diǎn)似乎并不能夠自然而然地就得到。因此在尋找這個(gè)常數(shù)之前，先要做的應(yīng)當(dāng)是證明“圓的周長(zhǎng)與直徑之比確實(shí)是一個(gè)常數(shù)”。

如上圖所示，以點(diǎn)O為圓心作兩個(gè)半徑不同的圓，小圓的半徑為r₁，周長(zhǎng)為c₁；大圓的半徑為r₂，周長(zhǎng)為c₂。分別作兩個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形（n為偶數(shù)），邊長(zhǎng)分別為k₁和k₂，且保證正兩個(gè)n邊形過(guò)圓心的對(duì)角線重合。

那么有OA:OD=OB:OC，∠AOB=∠COD，因此△OAB∽△OCD。

所以有k₁/r₁=k₂/r₂。

設(shè)小正n邊形和大正n邊形的周長(zhǎng)分別為c₁’和c₂’，則有c₁’=nk₁，c₂’=nk₂。

所以有c₁’/r₁=c₂’/r₂。

由于當(dāng)n→∞時(shí)，c₁’= c₁， c₂’= c₂，即取極限或者說(shuō)是逼近的思想，當(dāng)邊數(shù)區(qū)域無(wú)窮，內(nèi)接多邊形就近似是一個(gè)圓了，后面尋找π時(shí)還會(huì)再次用到這個(gè)思想。

所以就有c₁/r₁=c₂/r₂ ，表示的是：對(duì)于半徑不同的圓，其各自周長(zhǎng)與半徑的比為定值，或者說(shuō)為常數(shù)，記該常數(shù)為2π，則圓的周長(zhǎng)與直徑之比為π，當(dāng)然也是一個(gè)常數(shù)，證明完畢。

好，既然圓的周長(zhǎng)和直徑之比是一個(gè)常數(shù)，下一步要做的就是去尋找這個(gè)常數(shù)或它的近似值了。

我們可以從書中、從網(wǎng)上、從各種我們能夠想到的渠道獲得這個(gè)神奇的常數(shù)。不過(guò)，如果只給你一支筆、一張紙，你能否找到它的近似值呢？

阿基米德(Archimedes, 287-212 BC) 在2200多年前就已經(jīng)通過(guò)計(jì)算得到了精度高達(dá)99.9%的π，在他那個(gè)年代還沒(méi)有定義小數(shù)，甚至連“0”的定義都沒(méi)有（相傳“0”是到了公元5世紀(jì)才由印度人最先用于計(jì)算之中），那么他當(dāng)年是怎么計(jì)算π的呢？

Archimedes

 287-212 BC

(圖片來(lái)源: Wikipedia)

在得到圓周率之前，阿基米德當(dāng)然無(wú)法知道一個(gè)圓的周長(zhǎng)，但是他可以從他知道的開(kāi)始，比如正方形（實(shí)際上他用的是正六邊形，為了演示方便，這里從正方形開(kāi)始）。

(圖片來(lái)源: betterexplained)

對(duì)于上圖中一個(gè)已知直徑為1的單位圓（其周長(zhǎng)即為π），可以以其直徑為邊長(zhǎng)作出其外切正方形，也可以以其直徑為對(duì)角線作出其內(nèi)接正方形。不管圓的周長(zhǎng)是多少，其總滿足大于內(nèi)接正方形的周長(zhǎng)，小于外切正方形的周長(zhǎng)。

外切正方形周長(zhǎng)：

P₄=1×4=4

內(nèi)接正方形周長(zhǎng)根據(jù)勾股定理有：

p₄≈0.7×4=2.8

假設(shè)現(xiàn)在π的大小未知，我們只能肯定π在2.8到4之間，先取個(gè)中間值作為π的估計(jì)值，約等于3.4。我們發(fā)現(xiàn)這樣精度很低，因?yàn)橛?邊形來(lái)估算實(shí)在是太“粗糙”了，為了提高這種方法的精度，可以用邊數(shù)更多的正多邊形來(lái)逼近。

Archimedes pi

(圖片來(lái)源: Wikipedia)

可以看出，到了正八邊形時(shí)，內(nèi)接八邊形與外切八邊形之間的“間隙”比正方形的情況小了。此時(shí)π的估算值相對(duì)于正方形的情況會(huì)有一個(gè)精度上的提升。但是，現(xiàn)在的問(wèn)題是：八邊形的周長(zhǎng)如何計(jì)算？而且就算把八邊形的周長(zhǎng)計(jì)算出來(lái)了，那16邊形、32邊形豈不是精度更高，那又該怎么計(jì)算？

下面需要用到兩條基本定理：

定理一：半圓的內(nèi)接三角形為直角三角形，且直角頂點(diǎn)在圓周上。

定理二：圓的弦所對(duì)應(yīng)的圓周角為其所對(duì)應(yīng)的圓心角的一半。

定理一的證明，證明半圓的內(nèi)接三角形為直角三角形：

對(duì)于上圖，令半徑為r的半圓圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形的一邊為半圓直徑，一個(gè)頂點(diǎn)C在半圓的圓周上，坐標(biāo)為(x,y)。

則有：

根據(jù)勾股定理可知，∠ACB為90°。

定理二的證明：即“圓上同一根弦所對(duì)應(yīng)的圓周角為圓心角的一半”，可以用下圖證明：

對(duì)于△OBC，因?yàn)?em>OB=OC，有β+β+2α=2β+2α=180°；對(duì)于△ABC，由定理一知： ∠ACB=90°，有：β+90°+γ=180°，即β+γ=90°，因此有γ=α。即圓上的一條弦所對(duì)應(yīng)的圓周角是其所對(duì)應(yīng)圓心角的一半。

對(duì)于內(nèi)接多邊形：

如下圖所示，設(shè)內(nèi)接多邊形的每個(gè)邊的邊長(zhǎng)為S_n，每個(gè)邊對(duì)應(yīng)的圓心角為x。

根據(jù)定理一和二，可以得出，內(nèi)接多邊形的邊長(zhǎng)S_n=sin(x/2)。

對(duì)于外切多邊形

如下圖所示，易得，外切多邊形的邊長(zhǎng)為T_n=tan(x/2)。

所以，對(duì)于正方形

單位圓內(nèi)接正方形的周長(zhǎng)為：

p₄=4×sin[(360°/4)/2]= 2.8284271247

單位圓外切正方形的周長(zhǎng)為：

P₄=4×tan[(360°/4)/2]=4

而對(duì)于正八邊形

單位圓內(nèi)接正八邊形的周長(zhǎng)為：

p₈=8×sin[(360°/8)/2]= 3.0614674589

單位圓外切正八邊形的周長(zhǎng)為：

P₈=8×tan[(360°/8)/2]= 3.313708499

因此，對(duì)于正n邊形

單位圓內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)為：

p_n=n×sin[(360°/n)/2]

單位圓外切正n邊形的周長(zhǎng)為：

P_n =n×tan[(360°/n)/2]

對(duì)于我們來(lái)說(shuō)，問(wèn)題似乎已經(jīng)解決了，只要n足夠大，結(jié)果就會(huì)很精確，可以通過(guò)不停地增大n直到直達(dá)到想要的精度。

但是，又忽略了一個(gè)問(wèn)題！阿基米德那個(gè)時(shí)代并沒(méi)有計(jì)算器，不像今天，想算sin或者tan，So easy~只需要按幾個(gè)鍵就行了。因此，直接用三角函數(shù)計(jì)算在當(dāng)時(shí)其實(shí)是行不通的！

得換換思路了！

阿基米德不愧是數(shù)學(xué)大師。為了解決這一棘手的問(wèn)題，阿基米德發(fā)明了一種“迭代算法”：

為了方便計(jì)算，將內(nèi)接和外切多邊形的邊數(shù)定為2ⁿ個(gè)，n為整數(shù)，且n≥2，如下圖所示。

內(nèi)接2ⁿ邊形的邊長(zhǎng)為S_n，則其周長(zhǎng)為p_n=2ⁿ·S_n；外切2ⁿ邊形的邊長(zhǎng)為T_n，則其周長(zhǎng)為P_n=2ⁿ·T_n。

如果令正2ⁿ邊形的邊長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓心角為2θ，由上面的推導(dǎo)知：

內(nèi)接正2ⁿ邊形的邊長(zhǎng)S_n=sin(θ)

外切正2ⁿ邊形的邊長(zhǎng)T_n=tan(θ)

那么，正2ⁿ⁺¹邊形的邊長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)圓心角為θ，由上面的推導(dǎo)知：

內(nèi)接正2ⁿ⁺¹邊形的邊長(zhǎng)S_n+1=sin(θ/2)

外切正2ⁿ⁺¹邊形的邊長(zhǎng)T_n+1=tan(θ/2)

有以下遞推公式：

由此，可以計(jì)算外切正2ⁿ⁺¹邊形的周長(zhǎng)P_n+1：

以及內(nèi)接正2ⁿ⁺¹邊形的周長(zhǎng)p_n+1：

即：

可以注意到的是：

P_n+1是p_n與P_n的“調(diào)和平均數(shù)”；

p_n+1是p_n與P_n+1的“幾何平均數(shù)”。

通過(guò)這樣的遞推公式，可以直接以內(nèi)接及外切正2ⁿ邊形的周長(zhǎng)來(lái)計(jì)算內(nèi)接及外切正2ⁿ⁺¹邊形的周長(zhǎng)，成功避免了三角函數(shù)的引入。

通過(guò)遞推公式，可以計(jì)算得到以下結(jié)果：

前面已經(jīng)說(shuō)了，公元前250年人們還沒(méi)有發(fā)明小數(shù)，人們只能用分?jǐn)?shù)來(lái)近似各個(gè)根號(hào)項(xiàng)所得到的無(wú)理數(shù)，當(dāng)近似項(xiàng)增多，誤差就會(huì)隨之增大，在這種情況下，阿基米德算到了正96邊形，得到π的值在223/71~22/7之間，計(jì)算精度達(dá)到了99.9%，在那個(gè)時(shí)代已經(jīng)是很高的精度了。

所以在其后的很長(zhǎng)一段時(shí)間里，人們用22/7來(lái)近似圓周率，取的正是阿基米德計(jì)算結(jié)果所在區(qū)間的上界。

不過(guò)，后面有人發(fā)現(xiàn)了一個(gè)神秘的分?jǐn)?shù)：355/113，其精度居然達(dá)到了99.99999％，而發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)的人正是中國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家祖沖之。時(shí)間大概在公元480年左右。他給出了兩個(gè)分?jǐn)?shù)：密率355/113和約率22/7。顧名思義就是密率精度高，約率的精度稍低一些。

祖沖之（429-500）