模型描述：

半角模型是指有公共頂點，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角的兩邊相等。通過翻折或旋轉，將角的倍分關系轉化為角的相等關系，并進一步構成全等或相似三角形，弱化條件，變更載體，而構建模型，可把握問題的本質。

模型圖例：

模型分析：

∵△OBF ≌△OAF'

∴∠3=∠4,OF=OF'

∵∠2=1/2∠AOB,

∴∠1+∠3=∠2.

∴∠1+∠4=∠2.

又∵OE是公共邊，

∴△OEF ≌△OEF'

提醒：（1)半角模型的命名：存在兩個角度是一半關系，并且這兩個角共頂點；

(2)通過先旋轉全等再軸對稱全等，一般結論是證明線段和差關系；

(3）常見的半角模型是90°含45°、120°含60°。

模型示例：

1、已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的兩邊分別交線段CB、DC于點M、N。

（1)求證：BM+DN=MN.

（2）作AH⊥MN于點H，求證：AH=AB。

證明：

2、在等邊△ABC的兩邊AB、AC上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN=60°,∠BDC=120°，BD=DC。探究：當M、N分別在線段AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系。

(1)如圖①，當DM=DN時，BM、NC、MN之間的數量關系是____。

(2)如圖②，當DM≠DN時，猜想（1）問的結論還成立嗎?寫出你的猜想并加以證明。

解答：

模型演練：

1.已知，正方形ABCD，M在CB延長線上，N在DC延長線上，∠MAN=45°。

求證：MN=DN-BM。

2、問題背景：如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°，E,F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系。

小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結論。他的結論應是_____。

探索延伸：如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=1/2∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由。

實際應用：如圖③，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70”的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等。接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離。

3、已知，在等邊△ABC中，點O是邊4C、BC的垂直平分線的交點，M、N分別在直線AC、BC上，且∠MON=60°.

（1）如圖①，當CM=CN時，M、N分別在邊AC、BC上時，請寫出AM、CN、MN三者之間的數量關系；

(2)如圖②，當CM≠CN時，M、N分別在邊AC、BC上時，(1）中的結論是否仍然成立?若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；

(3)如圖③，當點M在邊AC上，點N在BC的延長線上時，請直接寫出線段AM、CN、MN三者之間的數量關系。