幾何圖形中的等量關(guān)系式

1. 如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的外角的平分線相交于點(diǎn)E.若∠A＝α，∠E＝β，則( )

第1題圖

A. β－α＝0 B. 2β－α＝0

C. 3β－α＝0 D. 3β－2α＝0

B　【解析】∵CE、BE分別平分∠ACD、∠ABC，∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，∵∠E＝∠ECD－∠EBD＝(∠ACD－∠ABC)＝∠A，∴2∠E＝∠A，即2β－α＝0.

2. 如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是線段CD邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)C，D不重合)，∠PBQ＝45°，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BP，交BQ于點(diǎn)E，則( )

第2題圖

A. BP·BE＝2 B. BP·BE＝4

C. ＝ D. ＝

第2題解圖

B　【解析】如解圖，連接AP，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥PB于M.∵AE∥PB，∴S△PBE＝S△ABP＝S正方形ABCD＝2，∴·PB·EM＝2，∵∠EBM＝45°，∠EMB＝90°，∴EM＝BE，∴·PB·BE＝2，∴PB·BE＝4.

3. 如圖，AB是⊙O的直徑，OD⊥弦BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，則( )

第3題圖

A. BC＝2DF B. 2BC＝3DF

C. BC＝3DF D. 3BC＝4DF

A　【解析】∵OD⊥弦BC于點(diǎn)E，∴CE＝BE，∴2BE＝BC，∵DF⊥AB于點(diǎn)F.∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∴△OEB≌△OFD(AAS)，∴DF＝BE，∴BC＝2DF.

4. 我們把對(duì)角線相等的四邊形叫做和美四邊形．如圖，四邊形ABCD是和美四邊形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠AOB＝60°，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，則( )

第4題圖

A. EF＝AC

B. EF＝AC

C. EF＝AC

D. EF＝AC

第4題解圖

C　【解析】如解圖，連接BE并延長(zhǎng)至M，使BE＝EM，連接DM、AM、CM，∵AE＝ED，∴四邊形MABD是平行四邊形，∴BD＝AM，BD∥AM，∴∠MAC＝∠AOB＝60°，又∵AC＝BD＝AM，∴△AMC是等邊三角形，∴CM＝AC，在△BMC中，∵BE＝EM，BF＝FC，∴EF＝CM＝AC.

5. 如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCED的外部時(shí)，則( )

第5題圖

A. 3∠A＝2∠1－∠2

B. 3∠A＝2(∠1－∠2)

C. 2∠A＝∠1－∠2

D. ∠A＝∠1－∠2

C　【解析】如解圖，由翻折的性質(zhì)得，∠3＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠3＝(180°－∠1)，∵在△ADE中，∠AED＝180°－∠3－∠A，∠CED＝∠3＋∠A，∠A′ED＝∠CED＋∠2＝∠3＋∠A＋∠2，∴180°－∠3－∠A＝∠3＋∠A＋∠2，整理得，2∠3＋2∠A＋∠2＝180°，∴2×(180°－∠1)＋2∠A＋∠2＝180°，∴2∠A＝∠1－∠2.

第5題解圖

6. 如圖，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD＝45°，AD與BE交于點(diǎn)F，連接CF，則( )

第6題圖

A. BF＝AE

B. BF＝2AE

C. BF＝3AE

D. BF＝AE

B　【解析】∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠CBE＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠CBE，∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴BF＝AC，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AC＝2AE，∴BF＝2AE.

7. 如圖，已知在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且AD＝DE，連接AC交DE于點(diǎn)F，作DG⊥AC于點(diǎn)G，EM⊥AC于點(diǎn)M，連接DM，則( )

第7題圖

A. DG＋EM＝AM

B. 2DG＋2EM＝AM

C. AM－2EM＝DG

D. AM－EM＝2DG

D　【解析】如解圖，過(guò)D點(diǎn)作DK⊥DM交AC于點(diǎn)K，∠2＋∠KDF＝90°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，且DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠1＋∠KDF＝90°，∴∠1＝∠2，又∵∠3＋∠4＝90°，∠5＋∠EFM＝90°，∠4＝∠EFM，∴∠3＝∠5，∴△ADK≌△EDM(ASA)，∴DK＝DM，AK＝EM，∴△MDK為等腰直角三角形，∵DG⊥AC，∴MK＝2KG＝2DG，∴AM－EM＝AM－AK＝MK＝2DG.

第7題解圖

8. 如圖，AD是△ABC的邊BC的中線，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，連接CF，則( )

第8題圖

A. CG＝2AG

B. CG＝3AG

C. 2CG＝3AG

D. 3CG＝4AG

A　【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DM∥EG交AC于點(diǎn)M，∵AD是△ABC的中線，∴AD＝DC＝BD，∵DM∥EG，∴DM是△BCG的中位線，∴M是CG的中點(diǎn)，∴CM＝MG，∵E是AD的中點(diǎn)，∴EG是△ADM的中位線，∴G是AM的中點(diǎn)，∴AG＝MG，∴CG＝2GM＝2AG.

第8題解圖

9. 如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AP、CP，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AP于點(diǎn)H，且延長(zhǎng)CP、BH使其分別交AD于點(diǎn)E、F.則( )

第9題圖

A. ∠APE＝∠FBD

B. 2∠APE＝∠FBD

C. ∠APE＝2∠FBD

D. ∠APE＝3∠FBD

C　【解析】∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，又∵BP＝BP，∴△ABP≌△CBP，∴∠APB＝∠CPB，∠BAP＝∠BCP，設(shè)∠APB＝∠CPB＝x，∠BAP＝∠BCP＝y(tǒng)，則有2x＋2y＋90°＝360°，∴x＋y＝135°，∵∠APE＝180°－2x，∠FBD＝45°－∠ABH＝45°－(90°－y)＝y(tǒng)－45°＝135°－x－45°＝90°－x，∴∠APE＝2∠FBD.

10. 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，EG⊥AF，F(xiàn)H⊥CE，垂足分別為G，H，設(shè)AG＝x，圖中陰影部分面積為y，則( )

第10題圖

A. y＝3x2

B. y＝4x2

C. y＝8x2

D. y＝9x2

C　【解析】∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∴AF∥CE，∵EG⊥AF，F(xiàn)H⊥CE，∴四邊形EHFG是矩形，∵∠AEG＋∠BEC＝∠BCE＋∠BEC＝90°，∴∠AEG＝∠BCE，∴tan∠AEG＝tan∠BCE，∴＝，∵AG＝x，∴EG＝2x，∴由勾股定理可知AE＝x，∴AB＝BC＝2x，∴CE＝5x，∵EG＝HF，AE＝CF，∴Rt△AEG≌Rt△CFH，∴AG＝CH，∴EH＝EC－CH＝4x，∴y＝EG·EH＝8x2.