常規(guī)題，

平行四邊形問(wèn)題與一次函數(shù)綜合

【題目】

（2018·牡丹江）菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)E恰好在y軸上，過(guò)點(diǎn)D和BC的中點(diǎn)H的直線交AC于點(diǎn)F，線段DE，CD的長(zhǎng)是方程x2﹣9x+18＝0的兩根，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)H，則k＝ ；

（3）點(diǎn)Q在直線BD上，在直線DH上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)F，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】

解：（1）x2﹣9x+18＝0，

（x﹣3）（x﹣6）＝0，

x＝3或6，

∵CD＞DE，

∴CD＝6，DE＝3，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AE＝EC=√(62-32 )=3√3，

∴∠DCA＝30°，∠EDC＝60°，

Rt△DEM中，∠DEM＝30°，

∴DM=1/2DE=3/2，

∵OM⊥AB，

∴S菱形ABCD=1/2AC·BD＝CD·OM，

∴1/2×6√3×6=6OM，OM＝3√3，

∴D（-3/2，3√3）；

備注：求點(diǎn)坐標(biāo)，往x軸或y軸做垂線，明顯DC垂直y軸，因此只要求出CD的長(zhǎng)度，再求出DM的長(zhǎng)度即可

（2）∵OB＝DM=3/2，CM＝6-3/2=9/2，

∴B（3/2，0），C（9/2，3√3），

∵H是BC的中點(diǎn)，

∴H（3，(3√3)/2），

∴k＝3×(3√3)/2=(9√3)/2；

故答案為：(9√3)/2；

備注：求反比例函數(shù)的解析式，只要求出點(diǎn)坐標(biāo)即可。因?yàn)辄c(diǎn)H為B和C的中點(diǎn)，只要分別求出它們兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可。

（3）①∵DC＝BC，∠DCB＝60°，

∴△DCB是等邊三角形，

∵H是BC的中點(diǎn)，

∴DH⊥BC，

∴當(dāng)Q與B重合時(shí)，如圖1，四邊形CFQP是平行四邊形，

∵FC＝FB，

∴∠FCB＝∠FBC＝30°，

∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝120°﹣30°＝90°，

∴AB⊥BF，CP⊥AB，

Rt△ABF中，∠FAB＝30°，AB＝6，

∴FB＝2√3=CP，

∴P（9/2，√3）；

②如圖2，∵四邊形QPFC是平行四邊形，

∴CQ∥PH，

由①知：PH⊥BC，

∴CQ⊥BC，

Rt△QBC中，BC＝6，∠QBC＝60°，

∴∠BQC＝30°，

∴CQ＝6√3，

連接QA，

∵AE＝EC，QE⊥AC，

∴QA＝QC＝6√3，

∴∠QAC＝∠QCA＝60°，∠CAB＝30°，

∴∠QAB＝90°，

∴Q（-9/2，6√3），

由①知：F（3/2，2√3），

由F到C的平移規(guī)律可得P到Q的平移規(guī)律，則P（-9/2-3，6√3-√3），即P（-15/2，5√3）；

③如圖3，四邊形CQFP是平行四邊形，

同理知：Q（-9/2，6√3），F(xiàn)（3/2，2√3），C（9/2，3√3），

∴P（21/2，-√3）；

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（9/2，√3）或（-15/2，5√3）或（21/2，-√3）．

備注：本題為平行四邊形的討論，兩定兩動(dòng)，分為對(duì)邊與對(duì)角線進(jìn)行討論，共三種情況。可以用平移法，也可以用中點(diǎn)坐標(biāo)公式。求出DH和DB的直線解析式，設(shè)點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)，進(jìn)行討論。當(dāng)然利用幾何圖形的性質(zhì)也是可以的。