一、一道有趣的數(shù)學(xué)題引發(fā)的討論

朋友提供了一道數(shù)學(xué)題非常有意思，如圖所示：你在放學(xué)回家的路上，接到了爸爸的電話。他剛好下班，可以開車在中途帶上你回家。

問：你為了更快到家，應(yīng)該往回走快點(diǎn)坐上車，還是在原地等待，還是繼續(xù)朝著家的方向走呢？為什么？

首先，這個(gè)題目極具生活氣息，就是生活中經(jīng)常遇到的場景。這個(gè)問題也非常有意義，到底這個(gè)行走的行人如何行動(dòng)才能盡快到家呢？

我在“基于大概念教學(xué)設(shè)計(jì)優(yōu)化研究”課題組的工作群里轉(zhuǎn)發(fā)了這張圖片，得到的回答五花八門。

老師1說：最快的到達(dá)方式是不是行走—同行—抵達(dá)目標(biāo)。

這不是一種理科的思維方式，回答是文不對題的，我說題目問的是人的三種走法，哪個(gè)到家快些。備課中，文不對題是最要命的問題，是一定要糾正的。

老師2說：我覺得朝著家的方向走，應(yīng)該是快的。

我要求說出理由，老師回答說：“有目標(biāo)不停止行走就是最快的方式?！?/h3>

這沒有抓住問題的關(guān)鍵，我提示說：“大概念教學(xué)的思維是抓住重點(diǎn)，忽略其他。在這個(gè)問題中，一個(gè)重要的內(nèi)容是時(shí)間t等于距離s除以速度v?！?/h3>

老師2繼續(xù)說：“因?yàn)檐嚤热丝欤敲慈讼瘸繕?biāo)走，離家就近，也就是距離短呀，那么等車接到人的時(shí)候，開車再回家用的時(shí)間自然少?！?/h3>

我說：“好像有問題，因?yàn)檐囎?、人走都是要?jì)時(shí)的呀?！?/h3>

老師2說：“好像真有點(diǎn)不對。”

我說：“您有思路距離s是誰，速度v是多少？”

老師2說：“好像應(yīng)該是一樣的。”

我說：“重點(diǎn)是什么？”

老師2說：“重點(diǎn)是看他離家的路程有多遠(yuǎn)？如果在他爸沒到時(shí)候，他就走回家了，那就是第三種?！?/h3>

我說：“題目中說的是‘中途’?！?/h3>

老師2說：“那就是中途離家的距離?！?/h3>

我說：“我想主要考慮的不是這種情況，是有可比性的。假定車是一定要接上學(xué)生的?！?/h3>

老師2說：“我總感覺方向是一致的，對的，走總比靜止強(qiáng)吧。但又不知道理由如何。又感覺一樣?！?/h3>

這種憑感覺的思路其實(shí)是靠不住的。這個(gè)題目設(shè)置的干擾因素非常厲害，遮蔽了問題的主要矛盾。哲學(xué)告訴我們思考問題要抓住問題的主要矛盾，要抓住重點(diǎn)。

這時(shí)，老師3說：“學(xué)生盡快到家，是以學(xué)生為研究對象的，路程s和他的速度v的比值t=s/v就是時(shí)間。應(yīng)該研究他走的路程和他自己的速度間的關(guān)系，與汽車無關(guān)。若乘上汽車，學(xué)生的速度就是汽車的速度?！?/h3>

這完全是用理科的思維在思考問題，而不是憑感覺。但是，“與汽車無關(guān)”的論斷是有問題的。

我說：“車要接人的，怎么會(huì)與汽車無關(guān)？這樣分析速度好像很復(fù)雜?！?/h3>

老師2又說：“汽車如果要是一個(gè)速度的話，接上孩子就是一個(gè)點(diǎn)的事，在哪接？到家的時(shí)間是不是都一樣呢？”

老師3說：“作為一個(gè)運(yùn)動(dòng)模型，學(xué)生接到電話時(shí)，到家的位移是個(gè)定值，到家的時(shí)間只有速度決定，學(xué)生的速度有可能有兩個(gè)值，一是自己走路的速度，二是坐上車就是汽車的速度。”

從運(yùn)動(dòng)模型的視角思考問題，我感覺路徑很對。我感覺已經(jīng)接近問題的本質(zhì)了，我再強(qiáng)調(diào)說：“假定車一定會(huì)接上人，情況怎樣？”

老師3說：“以汽車為運(yùn)動(dòng)模型，中途一定接上學(xué)生，時(shí)間就由汽車的路程和速度決定，與學(xué)生向哪走沒有關(guān)系?！?/h3>

老師2也說：“到家的時(shí)間應(yīng)該是一樣的吧?！?/h3>

至此，結(jié)論已經(jīng)出來了。

二、從抓住關(guān)鍵因素方面對這道數(shù)學(xué)題反思

在這道題目中，出題人成功地設(shè)置了干擾因素——學(xué)生的三種選擇：快點(diǎn)坐上車，還是在原地等待，還是繼續(xù)朝著家的方向走。

從數(shù)學(xué)建?；蛭锢砟Ｐ偷慕嵌瘸霭l(fā)，這個(gè)案例中，因?yàn)樾枰蟮氖菚r(shí)間t，我們最需要分析的，要抓住的關(guān)鍵就是距離s和速度v。距離s和速度v就是我們要瞄準(zhǔn)的兩個(gè)核心概念，只有把核心概念找準(zhǔn)了，解題路徑才可能正確。

這個(gè)題目更科學(xué)的解題思路是這樣的，如果人與家的距離足夠短，人能夠不等車追上來就回家了，當(dāng)然就是最快的。這里，我們假定車一定能接上人，人上車的時(shí)間忽略不計(jì)，堵車忽略不計(jì)，假定車是勻速運(yùn)動(dòng)的。那么，假定車離人的距離是S，車的速度是v1，人的速度是v2，相遇之前的時(shí)間是t1，相遇之后的時(shí)間是t2，我們要求的從接電話到回家的整個(gè)時(shí)間是t。人往回走，就是t1=S÷（v1+v2），人原地不動(dòng)，就是t1=S÷v1，人朝著家的方向走就是t1=S÷（v1-v2）。t2=(s-v1t1)÷v1這樣的算式看起來比較麻煩。我們直接從時(shí)間的角度思考，則時(shí)間t等于人車相遇前用的時(shí)間加上相遇后用的時(shí)間。那么t=t1+t2=t1+(s-v1t1)÷v1=s÷v1，則只跟車速有關(guān)。

抓住問題關(guān)鍵說起來簡單，但是做起來卻比較難，所以，有朋友不客氣地說：“你跟學(xué)生說一百遍抓住關(guān)鍵概念解決問題，學(xué)生也是不會(huì)的?！?/h3>

因此，我們需要深入思考的是：抓住關(guān)鍵因素的方法是什么，如果這些不明確，那么，抓住關(guān)鍵因素的問題就是一句落不了地的空話。這里借用北京師范大學(xué)吳金閃老師給出的路徑，這是吳老師在2019年4月30日在他的微信公眾號里發(fā)布的一篇關(guān)于《數(shù)學(xué)模型與科學(xué)》一文中寫到的，如下：

數(shù)學(xué)模型就是把一個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)變成一個(gè)數(shù)學(xué)問題：把實(shí)際問題中的因素變成數(shù)學(xué)的概念和量，因素之間的關(guān)系變成概念和量之間的關(guān)系。在這個(gè)過程中，經(jīng)常我們需要忽略一些因素，簡化一些因素。有了模型之后，我們可以對這個(gè)模型做計(jì)算，得到一些結(jié)果。最后，我們可以對比實(shí)際問題和得到的結(jié)果，如果不符合則再一次修改模型：可能某些其他因素要包含進(jìn)來，可能某些關(guān)系錯(cuò)了或者還需要包含進(jìn)一步的關(guān)系，也可能是求解過程出了問題。

而數(shù)學(xué)建模，就是這樣的一個(gè)從具體問題到數(shù)學(xué)模型的過程，典型地包含：

1.面對現(xiàn)象，提出初步問題。

2.問題明確化的思考：目標(biāo)做明確，條件搞清楚，然后抓住最主要的因素（這些因素之間的關(guān)系，和目標(biāo)的關(guān)系），扔掉其他一切。有必要將來再撿起來。

3.建模型，抽象：提出合理的假設(shè)，問題簡單化，把目標(biāo)和條件數(shù)學(xué)化，定義合適的量，數(shù)學(xué)化這些量之間的關(guān)系。

4.算出來，用一下試試，繼續(xù)改進(jìn)。

這個(gè)方法對我我們具有很好的啟發(fā)。

三、基于大概念視角對這道數(shù)學(xué)題反思

抓住關(guān)鍵因素就是大概念的思維方式。

這道數(shù)學(xué)題的核心概念是時(shí)間等于距離除以速度。

下面討論關(guān)于大概念視角下的哲學(xué)觀念和共通概念

哲學(xué)觀念方面，我理解為抓住事物的主要矛盾。

共通概念，也就是跨學(xué)科概念中，首先考慮“模式”問題，數(shù)學(xué)家正是通過模式的建構(gòu)與研究進(jìn)行工作的。數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)。用公式來解題就是一種利用模式的思維方法。

其次是系統(tǒng)與系統(tǒng)模型，運(yùn)動(dòng)是一個(gè)系統(tǒng)，勻速直線運(yùn)動(dòng)是有運(yùn)動(dòng)模型的。

再次是原因和結(jié)果（機(jī)制和解釋），假若車是一定能夠接上人的，那么，時(shí)間決定于車的速度而與人的行動(dòng)無關(guān)，這是問題的主要原因，導(dǎo)致的結(jié)果就是，關(guān)于人的三種選擇都可以看作是干擾因素。

第四，尺度、比例和數(shù)量，是時(shí)間、速度、距離三者之間的數(shù)量關(guān)系，只是這道題的復(fù)雜性在于時(shí)間、速度、距離有很多個(gè)，要用哪個(gè)，舍棄哪個(gè)，思維的力度正在此。

第五，穩(wěn)定和變化，人的走動(dòng)與不走是一種變化的量，然而卻對結(jié)果沒有影響，變化中蘊(yùn)含著穩(wěn)定，穩(wěn)定中卻有變化，這種辯證的表現(xiàn)方式使這道題充滿了魅力。

以上是一家之言，希望朋友們討論與爭鳴，微信號：18853117596。

（2019年5月11日草）