作者：沈乃澂 (中國計量科學研究院)

摘要 1990年1月1日，為了建立電壓和電阻及其他電學量在測量中的國際一致性，國際計量委員會引入了分別基于約瑟夫森效應和量子霍爾效應的伏特V和歐姆Ω新的實際表示，以及KJ和RK的約定值(即采用值)。本文給出了由國際科技數(shù)據(jù)委員會推薦的2014年電學量基本常數(shù)自洽組的最新數(shù)值。

關(guān)鍵詞 精密測量，約瑟夫森效應，量子霍爾效應，安培，伏特，歐姆

1948 年1 月1 日采用電流單位的絕對單位制。這個單位制的基礎是1901 年由意大利科學家喬吉(G. Giorgi)^[1]提出的修正的CGS制。這個單位制又稱為米—千克—秒—安培單位制(簡稱MKSA制)。MKSA 制的單位量值大小很適合于實際測量，從安培的定義中消除了不方便的4π因子。第九屆國際計量大會(CGPM)批準的是用兩個平行導體之間的力定義安培；伏特是在流過1 A恒定電流的導線內(nèi)，兩點之間所消耗的功率為1 W時，兩點之間的電位差，即在導體間加1 V的恒定電位差產(chǎn)生1 A的恒定電流的電阻。大會對其他單位也作了定義，并都采用了國際單位制(SI)，1960 年第11 屆CGPM正式批準，指定安培為電學量的基本單位。

然而，安培的定義并不宜于實際復現(xiàn)，因此繼續(xù)在國際計量局(BIPM)開展國際比對，并采用協(xié)定將BIPM 標準的值作為伏特和歐姆。1970年，十幾個國家實驗室送它們的標準到BIPM，進行每三年一次的國際比對：歐姆數(shù)值的分散性約為1×10^-6，伏特數(shù)值的分散性約為歐姆數(shù)值分散性的兩倍或三倍。從結(jié)果來看，國家實驗室有時已調(diào)整了它們標準的值，BIPM 在1968 年也進行了調(diào)整。

2.1 約瑟夫森的貢獻

1962 年，英國理論物理學家約瑟夫森(圖1)研究兩塊超導體之間的結(jié)的性質(zhì)，這個結(jié)后來被稱為約瑟夫森結(jié)^[2]。他計算了超導結(jié)的隧道效應并得出結(jié)論：如果兩個超導體距離足夠近，電子可以作為一種輻射波穿透超導體之間的極薄絕緣層而形成電流，而超導結(jié)上并不出現(xiàn)電壓；如果超導結(jié)上加有電壓，電流就停止流動并產(chǎn)生高頻振蕩。這就是約瑟夫森效應。

圖1 英國物理學家約瑟夫森(1940— )

約瑟夫森效應是指電子對通過兩塊超導體間的薄絕緣層(厚度為1 nm)時發(fā)生的量子力學隧道效應。1962 年，英國劍橋大學年僅22 歲的研究生B. D. 約瑟夫森從理論上預言，當超導電子對通過超導體—氧化層—超導體的薄夾層結(jié)構(gòu)時形成無損耗的超流電流，即超導電子對的隧道效應。1963 年，美國貝爾實驗室的科學家從實驗上證明了約瑟夫森的預言，故稱約瑟夫森效應。由此，一門新的學科——超導電子學創(chuàng)立。尤其是伴隨著根據(jù)約瑟夫森效應原理制成的超導量子干涉器件(SQUID)的問世，相應的超導體的另一大類應用，即弱電(弱磁)應用也拉開了序幕。約瑟夫森由于預言隧道超導電流的存在而獲得1973 年諾貝爾物理學獎。

1962 年，約瑟夫森預言^[2]，如果兩個超導體用薄的絕緣間隙相連接，并用頻率為f 的微波輻照，所加的直流電壓將產(chǎn)生一電流，其電流—電壓特性具有下式給出的電壓階梯

式中h 是普朗克常數(shù)，e 是電子電荷。這使計量實驗室產(chǎn)生了很大的興趣，因為這清晰地表示了一個用頻率及基本常數(shù)準確地測定電壓的方法。其中的困難是，我們對常數(shù)的認識還不如可以比對的電壓標準那樣精密。但是，如果我們將關(guān)系式寫為

式中K_J是約瑟夫森常數(shù)，具有一個認為正確的數(shù)值，現(xiàn)在還不是用絕對方法，提供了一個監(jiān)測電壓標準的有效方法，而無需輸運的韋斯頓電池來進行比對。許多國家實驗室用它們的電壓來測量約瑟夫森常數(shù)，并用其監(jiān)測電壓標準。在1972 年的會議上，電學咨詢委員會(CCE)注意到這些進展而決定，1969 年1 月1 日的BIPM 電壓V69-BI，在百萬分之一的一半的精度內(nèi)， 等于頻率為483594.0 GHz的波輻照在結(jié)上時約瑟夫森效應所產(chǎn)生的電壓。并不是所有的國家都采用了這個數(shù)值，因為顯然實際上與SI 值并不一致。1986 年，CCE確定一個工作組，來評價這項證據(jù)，并在此后推薦下列數(shù)值

于1990 年1 月1 日起采用，并可能在檢測國家標準時使用，其不確定度估計為4×10^-7。CCE作此決定，顯然這表示了一個參考標準，并不意味單位的SI 定義或基本常數(shù)的數(shù)值有任何變化。它表達了下列觀點，在可預見的未來一段時間內(nèi)推薦值不變將是必要的。

一個實際問題是，由約瑟夫森結(jié)產(chǎn)生的小電壓——例如，對5 GHz 的頻率約為10 mV。這使得監(jiān)視1V標準不很容易，但NIST 的工作在串聯(lián)中有20000個結(jié)的陣列，由此解決了這個問題。

2.2 馮·克利青的貢獻

馮·克利青(圖2)是德國物理學家，生于德國波森的希羅達(今屬波蘭)，1972 年獲維爾茨堡大學博士學位，先后在該大學物理研究所、法國格勒諾布爾的普朗克研究所工作。在研究半導體霍爾效應的過程中，1980 年馮·克利青和他的合作者在霍爾電阻隨柵極電壓變化的曲線上觀察到霍爾電阻平臺^[3]。霍爾電阻對磁場成階梯變化，其電阻值由物理常數(shù)h/e²除以整數(shù)值n (n=2，3，4，5，6，8，10)獲得。這一結(jié)果稱為量子霍爾效應。通過它可以精確地測定精細結(jié)構(gòu)常數(shù)α。由于發(fā)現(xiàn)量子霍爾效應，馮·克利青獲得1985 年諾貝爾物理學獎。

圖2 德國物理學家馮·克利青(1943— )

2.3 量子霍爾效應的物理意義

量子霍爾效應是霍爾電阻以量子化形式變化的現(xiàn)象。整數(shù)量子霍爾效應是在某些人造的二維半導體結(jié)構(gòu)中，電子氣限制在極薄的一層之內(nèi)運動，在垂直層面方向施加強磁場，在層面與電流I相垂直的方向上出現(xiàn)電勢差V_H，稱為霍爾電壓，R_H=V_H/I 稱為霍爾電阻。經(jīng)典霍爾效應表明，R_H隨所加磁場的磁感強度B 增加而增加，呈線性關(guān)系。1980 年馮·克利青在1.5 K測量這種半導體結(jié)構(gòu)的霍爾電阻，發(fā)現(xiàn)R_H與B的關(guān)系是在總的直線趨勢上出現(xiàn)一系列平臺，R_H =h/ie²，這里i 是正整數(shù)，h為普朗克常數(shù)，e為電子電荷。該現(xiàn)象稱為整數(shù)量子霍爾效應。i=1時，量子霍爾電阻值為h/e²，等于25.8128 kΩ，稱為馮·克利青常數(shù)。實驗上霍爾電阻的各個量子化值都極為精確。1990 年1 月1 日起，國際計量組織選用量子霍爾電阻作為電阻計量標準。量子霍爾效應提供了一種獨立于量子電動力學的凝聚態(tài)物理實驗方法來測量自然界的基本常量——精細結(jié)構(gòu)常數(shù)α = e²/2ε₀hc，其中c為真空光速，h為普朗克常數(shù)， ε₀ 是真空電容率。

量子霍爾效應的實質(zhì)是在強磁場中電子的運動形態(tài)發(fā)生變化，由具有一定速度的直線運動變?yōu)樵诖怪贝艌銎矫嬷械膱A周運動，與之相應電子能譜發(fā)生改組：由自由運動的準連續(xù)譜變?yōu)榉从硤A周運動的朗道能級E_n=(n+1/2)ω_c，式中ω_c=eB/(mc)是圓周運動的角頻率，其中m為電子的有效質(zhì)量，n=0，1，2，……因此能級間距大小由磁場決定，當電子氣正好填滿i 個朗道能級時，霍爾電阻R_H=h/ie²。

在平面中有同樣半徑的圓周軌道具有相同的能量，屬于同一朗道能級。為了保證電子在做圓周運動時不被散射，應滿足的條件是ω_cτ≥1，這里τ 是電子相繼兩次散射間的平均自由時間，所以只有在強磁場及低溫下( τ 可較大)才能實現(xiàn)量子霍爾效應的觀測。

監(jiān)視歐姆基本上是類似的。如果一個半導體在與磁場呈直角的方向上載有電流I，對兩者呈直角處產(chǎn)生的電壓為V_H。這是熟知的霍爾效應，其比值

是熟知的霍爾電阻。通常，這與場的幾何形狀和強度有關(guān)，但1980 年馮·克里青說明了，在確定的半導體內(nèi)，有效地限于二維的霍爾電阻的電流是量子化的，其值為

其中i=1，2，3，……(與場強有關(guān))，R_K是一個常數(shù)，即熟知的馮·克里青常數(shù)。它的理論值是h/e²。用這個效應，可能建立一個用于監(jiān)視國家歐姆的電阻標準。如同約瑟夫森效應，這個裝置并不簡單——例如，它必須在液氦溫度下運行——因此很難作為日用參考標準，但對于在高水平下作為比對是很有用的，它不需要進行搬運。

1986 年，CCE建立了另一個工作組來考慮量子霍爾效應。在1988 年的報告后，CCE推薦馮·克里青常數(shù)將從1990 年1 月1 日起監(jiān)視國家歐姆的數(shù)值，這個常數(shù)的數(shù)值為

CCE再次強調(diào)指出，這并不意味著單位定義的任何變化，或h 和e 的數(shù)值的變化，而只是一個參考值，在可預見的未來似乎可以不變。

為了國際統(tǒng)一，首先要將公認的BIPM 保存的實物基準與絕對測量的結(jié)果相比較，絕對測量值取各國結(jié)果的最小二乘平差值。通過比較得出BIPM 保存值與理論定義值相接近的程度，由此定出該基準器的數(shù)值。各國再根據(jù)它定出本國主基準器的值，從而保證了國際測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)一，也是國際貿(mào)易往來和交流的需要。

在復現(xiàn)電學單位的歷程中，并未找到一項技術(shù)可以將SI 電學單位的不確定度達到2×10^-8。應該注意到，為了復現(xiàn)SI 電學單位對機械裝置有極高的要求。至今，由于宏觀量子效應的出現(xiàn)，使電學量可以與相關(guān)的基本物理常數(shù)相鏈接。安倍的定義要求磁常數(shù)μ₀=4π×10^-7Hm^-1，而基于量子效應的單位是根據(jù)R_K-90和K_J-90約定值導出的，因為它們的SI 真值并不精確知道。如果在SI 單位中e和h精確已知，就可以廢棄過去的R_K-90和K_J-90約定值，使以量子效應為基礎的電學單位直接復現(xiàn)SI 電學單位。這是采用h 重新定義千克，而不采用阿伏伽德羅常數(shù)重新定義千克的主要優(yōu)點。

量子霍爾效應提供了電阻的普適標準，使電阻在理論上僅與普朗克常數(shù)h 和基本電荷e 有關(guān)。通常，這個標準在GaAs/AlGaAs 中執(zhí)行功能，但石墨烯的電子性質(zhì)有望成為更實用的裝置。實驗條件必須在碳化硅上用化學蒸汽沉積生成的高品質(zhì)石墨烯制造的裝置中運行。尤其，在磁通密度為10 T的較寬范圍內(nèi)，當溫度升到10 K時，電流增大到0.5 mA，磁通密度降到3.5 T，霍爾電阻能準確到1×10^?9的范圍內(nèi)。此外，量子霍爾電阻在石墨烯和GaAs/AlGaAs 之間的測量一致性表現(xiàn)的最終不確定度為8.2 × 10^?11，支持了量子霍爾效應的普適性。這也提供了量子霍爾電阻與普朗克常數(shù)h 和基本電荷e 的關(guān)系。表1 示出了自1973 年以來的基本電荷e 測量進展的一覽表，不確定度由10^-6減小到10^-9量級。表2 示出了自1988年以來的約瑟夫森常數(shù)K_J及馮·克里青常數(shù)R_K測量進展的一覽表，K_J的不確定度由10^-8減小到10^-9量級，R_K的不確定度由10^-9減小到10^-10量級。

表1 基本電荷e測量進展一覽表

表2 約瑟夫森常數(shù)K_J和馮·克里青常數(shù)R_K測量進展一覽表

1990 年對約瑟夫森常數(shù)K_J和馮·克里青常數(shù)R_K 建立的電壓和電阻的約定單位所采用的約定值：

V₉₀和Ω₉₀由下式給出：

其他的約定電單位按V₉₀和Ω₉₀推算，例如：電流約定單位A₉₀=V₉₀ /Ω₉₀，功率約定單位W₉₀= A₉₀V₉₀，電容約定單位F₉₀=C₉₀/V₉₀等，2014 年平差給出了K_J與K_J?90及R_K與R_K?90之間的關(guān)系：

由上兩式可導出：

上式表明，V₉₀ 大于V，Ω₉₀大于Ω。其含義是：被測電壓和電阻分別可溯源到約瑟夫森效應和K_J?90及量子霍爾效應和R_K?90，相對于SI 小于相關(guān)值，但其差值對V₉₀/V 在40×10^-8 范圍內(nèi)，對Ω₉₀/Ω在10×10^?8范圍內(nèi)。這是由CIPM 所屬的CCEM所分配的不確定度范圍。

安培A是SI 的電流單位；其量值是固定基本電荷的數(shù)值精確地等于1.602176…×10^?19并以單位C表示。

因此，有精確關(guān)系式

或

這個定義的表述是：安培是相應于每秒流過1/(1.602176…×10^?19)基本電荷的電流。

用h 和c 的精確值，提供了精確的約瑟夫森常數(shù)值K_J=2e/h 和馮·克里青常數(shù)值R_K=h/e²，通過約瑟夫森效應和量子霍爾效應以高精度來復現(xiàn)安培、伏特和歐姆以及其他電學單位， 因此消除了目前傳統(tǒng)的非SI 單位電學單位的現(xiàn)存系統(tǒng)。