由中點想到的輔助線

口訣：

三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。

在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關性質（直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形底邊中線性質），然后通過探索，找到解決問題的方法。

（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形

即如圖1，AD是ΔABC的中線，則S_ΔABD=S_ΔACD=S_{ΔABC的一半}（因為ΔABD與ΔACD是等底同高的）。

例1．如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。

解：因為AD是ΔABC的中線，所以

又因CD是ΔACE的中線，故S_ΔCDE=S_ΔACD=1，

因DF是ΔCDE的中線，所以

∴ΔCDF的面積為

（二）、由中點應想到利用三角形的中位線

例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。

證明：連結BD，并取BD的中點為M，連結ME、MF，

∵ME是ΔBCD的中位線，

∴ME平行且等于CD的一半，∴∠MEF=∠CHE，

∵MF是ΔABD的中位線，

∴MF平行且等于AB的一半，∴∠MFE=∠BGE，

∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，

從而∠BGE=∠CHE。

（三）、由中線應想到延長中線

例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。

解：延長AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。

在ΔACD和ΔEBD中，

∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，

∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，

從而BE=AC=3。

在ΔABE中，因AE²+BE²=4²+3²=25=AB²，故∠E=90°，

例4.如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。

求證：ΔABC是等腰三角形。

證明：延長AD到E，使DE=AD。

仿例3可證：

ΔBED≌ΔCAD，

故EB=AC，∠E=∠2，

又∠1=∠2，

∴∠1=∠E，

∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

（四）、直角三角形斜邊中線的性質

例5．如圖6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：AC=BD。

證明：取AB的中點E，連結DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。

∵AB//DC，

∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，

∴∠1=∠2，

在ΔADE和ΔBCE中，

∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，

∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。

（五）、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線

例6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。

證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，

∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，

∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。

又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

注：此例中BE是等腰ΔBCF的底邊CF的中線。

（六）中線延長

口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。

題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形。

例一：如圖4-1：AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+CF>EF。

證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在△BDE和△CDM中，

BD=CD（中點定義）

∠1=∠5（對頂角相等）

ED=MD（輔助線作法）

∴△BDE≌△CDM（SAS）

又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）

∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定義）

∴∠3+∠2=90°

即：∠EDF=90°

∴∠FDM=∠EDF=90°

在△EDF和△MDF中

ED=MD（輔助線作法）

∠EDF=∠FDM（已證）

DF=DF（公共邊）

∴△EDF≌△MDF（SAS）

∴EF=MF（全等三角形對應邊相等）

∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴BE+CF>EF

上題也可加倍FD，證法同上。

注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形，使題中分散的條件集中。

例二：如圖5-1：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。

分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去

證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE

∵AD為△ABC的中線（已知）

∴BD=CD（中線定義）

在△ACD和△EBD中

BD=CD（已證）

∠1=∠2（對頂角相等）

AD=ED（輔助線作法）

∴△ACD≌△EBD（SAS）

∴BE=CA（全等三角形對應邊相等）

∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴AB+AC>2AD。