平移，旋轉(zhuǎn)，軸對(duì)稱是我們初中學(xué)習(xí)的“幾何三大變換”。在我們初中階段學(xué)習(xí)的幾何知識(shí)中占據(jù)著核心的地位，特別是旋轉(zhuǎn)，那更是核心中的核心（河南中考22題年年考）。

如何更好的理解旋轉(zhuǎn)，如何更好的利用旋轉(zhuǎn)這個(gè)工具來解題，相信下面的內(nèi)容一定會(huì)讓你眼界大開，有一種“山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。

另外，隨著教材的改版，圓的知識(shí)在中考中的顯性考察在變少(顯性考察是指一看題目就知道考圓的)，但是隱形考察（輔助圓，利用隱圓求最值，四點(diǎn)共圓等）卻一點(diǎn)也沒少，而且往往和壓軸題結(jié)合起來，所以，今天也希望通過下面的講解幫助大家建立利用“圓”來妙解題目，理解“圓來如此”的真正含義。

話不多說，直接上題：

如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長為________

（這個(gè)題目我們最早八年級(jí)上冊(cè)學(xué)完勾股定理便會(huì)遇到，到了九年級(jí)方法就更多了。

分析：

由題中條件可知：E為定點(diǎn)，則BE為定線段，因?yàn)镃F⊥BE，所以F也是定點(diǎn)，則OF的長是唯一確定的。

并且根據(jù)題中的數(shù)據(jù)可以得到以下信息：

0B=OC=OA=OD=

CE=2，ED=4，BE=

，

CF=

(在RTBCE中利用斜高定理即可求出)

BF=

，EF=

（可利用勾股定理得到）

因?yàn)槠P(guān)系，下面只介紹基本方法，具體求值有些需要上面的四組數(shù)據(jù)，因此先羅列出來。

下面展開說方法：

方法一：

利用八年級(jí)知識(shí)構(gòu)造弦圖來解決。

由弦圖可知：四邊形NHFM為正方形，△OHF為等腰直角三角形，因此HF=

OF，所以要求OF，只要求出HF即可。

同樣利用弦圖的知識(shí)可知：BCF,CMD,ADN,ABH均為全等的直角三角形，所以BH=CF=

,因?yàn)锽F=

所以HF= BF—BH=

—

=

，

因此，OF=

=

下面的解法二到解法五都是利用旋轉(zhuǎn)（或叫構(gòu)造）來解決。---此法曾經(jīng)在公眾號(hào)上發(fā)表過，點(diǎn)擊查看【“秘訣在手，學(xué)習(xí)無憂”陳中狀元班教你叢橫江湖】。

思路來源：發(fā)現(xiàn)OB=OC，根據(jù)等線段共端點(diǎn)想到利用旋轉(zhuǎn)來解題。

方法二：

旋轉(zhuǎn)△OFC

可將△OFC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OMB，不過要先通過8字形證明∠OCF=∠OBM，才能說明M落在BE上。

或者直接過點(diǎn)O作OM⊥OF交BE于點(diǎn)M，可證明△OMB≌△OFC,其實(shí)就是構(gòu)造直角共頂點(diǎn)的手拉手模型?？傻肙MF為等腰直角三角形，MF=

OF,后面的計(jì)算與方法一保持一致，不再敘述。

方法三：

既然可以旋轉(zhuǎn)△OFC，當(dāng)然也可以旋轉(zhuǎn)△OBF

可將△OBF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCM ，不過也是要先通過8字形證明∠OCM=∠OBF，才能說明C、F、M三點(diǎn)共線。

后面的思路與解法二類似，不再敘述。

方法四：

既然手拉手全等可以，構(gòu)造手拉手相似當(dāng)然也行。---本質(zhì)也是旋轉(zhuǎn)

構(gòu)造出三角形FBM與三角OBC兩個(gè)等腰直角三角形45°共頂點(diǎn)，易得BOF相似于BCM，且相似比是

，因此，

,而CM=FM—FC=BF-FC可以得到，因此可快速求出OF的長。

方法五：

將構(gòu)造手拉手相似進(jìn)行到底。方法與上面類似，不再敘述。

構(gòu)造出三角形FCM與三角形OCB兩個(gè)等腰直角三角形45°共頂點(diǎn)，易得OCF相似于BCM，且相似比是

， 因此，

,計(jì)算出BM即可。

方法分析：方法二與方法三是手拉手全等，方法四與方法五是手拉手相似。本質(zhì)都是旋轉(zhuǎn)，但是方法四和方法五從計(jì)算上來看更快一些。

下面我們介紹兩種四點(diǎn)共圓的方法：

方法六：

利用公式--此法我在標(biāo)題為“秘訣在手，學(xué)習(xí)無憂”陳中狀元班教你叢橫江湖的文章中也提到過。

因?yàn)镺、B、C、F四點(diǎn)共圓，因此，可直接立利用公式來解決。根據(jù)：OB×CF+BC×OF=BF×OC來求出OF的長（其余邊長均知道）

方法七：

這個(gè)也很巧

因?yàn)镺、B、C、F四點(diǎn)共圓，且易知BC的中點(diǎn)N為圓心。則可知NF=NO=3,∠α=∠β,由12345模型（后面會(huì)介紹這個(gè)模型）可知，

，因此

，因此可得MNF的三邊比為

，根據(jù)NF長求出FM的長度，而OF=2FM，即可求出OF的長。

四點(diǎn)共圓的作用就在于一個(gè)“秒”字，掌握好這種方法，能大大減少我們的書寫過程，帶來不一樣的感受。

方法八：

利用12345模型，此模型最基本的結(jié)論為：若α+β=45°，且

，則

，即如果兩個(gè)兩角之和為45°，其中一個(gè)角的正切是

，則另一個(gè)角的正切是

，三個(gè)內(nèi)容可知二推一。

這個(gè)模型在我們解決二次函數(shù)角度問題中起著非常重要的作用，能大大減少計(jì)算量和思維量。2019年鄭州市九年級(jí)一模23題最后一問用這個(gè)模型來解決非常的快，所以這個(gè)模型是非常巧妙的方法，值得我們細(xì)細(xì)品味。

因?yàn)?/p>

,且α+β=45°，所以

,因此可得OBM的三邊比為

，因?yàn)?0B =

,所以可以得到

，所以

方法九：

利用面積法----這里推薦一本書：《仁者無敵面積法》，相信數(shù)學(xué)有研究的人對(duì)編者：彭翕成老師和張景中老師都非常熟悉。

此法實(shí)在是妙，每每看到這個(gè)解法，都發(fā)自內(nèi)心的喜悅與滿足。

因?yàn)镈E：EC=2：1，所以BCE的面積是BED面積的一半，又因?yàn)镺是BD中點(diǎn)，所以BOE的面積是BED面積的一半，因此，BCE的面積等于BOE的面積，又因?yàn)閮蓚€(gè)三角形同底，因此高相等，即OM=CF=

，因此，

方法十：

建立平面直角坐標(biāo)系來解決

根據(jù)題中條件，容易得到點(diǎn)C，點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線BE的函數(shù)關(guān)系式，再利用兩直線垂直，K值的積為—1，便可得到直線CF的K值，再利用C點(diǎn)坐標(biāo)求出直線CF的函數(shù)關(guān)系式，然后聯(lián)立BE與CF的關(guān)系式，求出F點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出OF的長度。

將幾何圖形放到坐標(biāo)系中的方法往往能出奇制勝，收獲驚喜。

方法十一：

利用天然存在的相似來解決(A字型)----發(fā)現(xiàn)相似是關(guān)鍵，如果能發(fā)現(xiàn)，計(jì)算會(huì)非常簡(jiǎn)單。

利用BOF相似于BED，BED的三邊均知道，因此三邊比都知道了，而BOF中知道B0的長度，便可根據(jù)三邊的比例關(guān)系求出OF的長度。

方法十二：

利用天然相似(8字型)

圖1可得到BCM相似于OFM，可得

，即

，得到

（這里關(guān)于

的比值可由前面12345模型得到）

由第十一種、第十二種、第十三種解法可知：A字型和8字型作為最基本的相似模型，太重要，太重要，太重要！?。?/strong>

方法十三：

構(gòu)造三垂直（改斜歸正）

利用圖1的全等和圖2的相似，再結(jié)合方程思想便可求出OF的長度。

方法十四：

構(gòu)造直角三角形-特別注意OMF為等腰直角三角形

利用勾股定理與方程思想便可求出OF的長。

方法十五：

利用最基本的方法：將線段放到直角三角形中解決問題

利用勾股定理、方程思想以及三角函數(shù)，便可求出OF的長。

同一題目，站在不同視角就會(huì)有不同的方法，而多視角的解決問題，也有助于加深我們對(duì)各個(gè)知識(shí)的理解與應(yīng)用，希望同學(xué)們能從中得到啟發(fā)，就像我常說的“讓數(shù)學(xué)點(diǎn)亮智慧”，真正通過這方面的思考提升我們的思維與理科素養(yǎng)。