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數(shù)學(xué) 讓生活更有趣 尺規(guī)作圖是古希臘幾何學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。早在公元前5世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)習(xí)慣于用不帶刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)作圖了。在他們看來(lái)，直線(xiàn)和圓是可以信賴(lài)的最基本的圖形，而直尺和圓規(guī)是畫(huà)兩種圖形的工具，只有用尺規(guī)做出的圖形才是可信的。 在歷史上，明確提出作圖只能使用直尺和圓規(guī)的人，首推伊諾皮迪斯，他在公元前465年前后發(fā)現(xiàn)，只用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)，就可以過(guò)已知直線(xiàn)的一個(gè)點(diǎn)上作一個(gè)角與已知角相等，這件事的重要性在于，它啟示人們?cè)诔咭?guī)的限制下，從理論上去解決這個(gè)問(wèn)題。 五種基本尺規(guī)作圖 1、作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段； 2、作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)； 3、作已知角的角平分線(xiàn)； 4、 作一個(gè)角等于已知角； 5、過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)； 1、作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段 已知：如圖，線(xiàn)段a . 求作：線(xiàn)段AB，使AB = a . 作法： （1） 作射線(xiàn)AP； （2） 在射線(xiàn)AP上截取AB=a . 則線(xiàn)段AB就是所求作的圖形。 2、作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)  已知：如圖，線(xiàn)段MN. 求作：點(diǎn)O，使MO=NO 作法： （１）分別以M、N為圓心，大于MN的一半為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于P，Q； （２）連接PQ交MN于O． 則直線(xiàn)PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分線(xiàn) 3、作已知角的角平分線(xiàn)  已知：如圖，∠AOB， 求作：射線(xiàn)OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 作法： （1）以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧， 分別交OA，OB于M，N； （2）分別以M、Ｎ為圓心，大于線(xiàn)段MN一半為半徑畫(huà)弧，兩弧交∠AOB內(nèi)于Ｐ； （3） 作射線(xiàn)OP。 則射線(xiàn)OP就是∠AOB的角平分線(xiàn)。 4、作一個(gè)角等于已知角 作法： （1）作射線(xiàn)O’A’； （2）以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交OA于M，交OB于N； （3）以O(shè)’為圓心，以O(shè)M的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O’A’于M’； （4）以M’為圓心，以MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前弧于N’； （5）連接O’N’并延長(zhǎng)到B’。 則∠A’O’B’就是所求作的角。 5.1、經(jīng)過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作垂線(xiàn)  已知：如圖，P是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)。 求作：直線(xiàn)CD，是CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且CD⊥AB。 作法： （1）以P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于M、N； （2）分別以M、N為圓心，大于MN長(zhǎng)度的一半為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)Q； （3）過(guò)D、Q作直線(xiàn)CD。 則直線(xiàn)CD是求作的直線(xiàn)。 5.2、經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作垂線(xiàn)  已知：如圖，直線(xiàn)AB及外一點(diǎn)P。 求作：直線(xiàn)CD，使CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)P， 且CD⊥AB。 作法： （1）以P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于M、N； （2）分別以M、N圓心，大于MN長(zhǎng)度的一半為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)Q； （3）過(guò)P、Q作直線(xiàn)CD。 則直線(xiàn)CD就是所求作的直線(xiàn)。 三大史詩(shī)級(jí)難題 傳說(shuō)中，這問(wèn)題的來(lái)源，可追溯到公元前429年，一場(chǎng)瘟疫襲擊了希臘提洛島，造成四分之一的人口死亡。島民們推派一些代表去神廟請(qǐng)示阿波羅的旨意，神指示說(shuō)：要想遏止瘟疫，得將阿波羅神殿中那正立方的祭壇加大一倍。人們便把每邊增長(zhǎng)一倍，結(jié)果體積當(dāng)然就變成了8倍，瘟疫依舊蔓延；接著人們又試著把體積改成原來(lái)的2倍，但形狀卻變?yōu)橐粋€(gè)長(zhǎng)方體……第羅斯島人在萬(wàn)般無(wú)奈的情況下，只好鼓足勇氣到雅典去求救于當(dāng)時(shí)著名的學(xué)者柏拉圖。 公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家安那薩哥拉斯因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)太陽(yáng)是個(gè)大火球，而不是阿波羅神，犯有“褻瀆神靈罪”而被投入監(jiān)獄。他被判處死刑，在等待執(zhí)行的日子里，夜晚，安那薩哥拉斯睡不著。圓圓的月亮透過(guò)正方形的鐵窗照進(jìn)牢房，他對(duì)方鐵窗和圓月亮產(chǎn)生了興趣。他不斷變換觀(guān)察的位置，一會(huì)兒看見(jiàn)圓比正方形大，一會(huì)兒看見(jiàn)正方形比圓大。最后他說(shuō)：“好了，就算兩個(gè)圖形面積一樣大好了?！?span>安那薩哥拉斯把“求作一個(gè)正方形，使它的面積等于已知的圓面積”作為一個(gè)尺規(guī)作圖問(wèn)題來(lái)研究。起初他認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題很容易解決，誰(shuí)料想他把所有的時(shí)間都用上，也一無(wú)所獲。 經(jīng)過(guò)好朋友、政治家伯里克利的多方營(yíng)救，安那薩哥拉斯獲釋出獄。他把自己在監(jiān)獄中想到的問(wèn)題公布出來(lái)，許多數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)問(wèn)題很感興趣，都想解決，可是一個(gè)也沒(méi)有成功。這就是著名的“化圓為方問(wèn)題”。 紀(jì)元前五、六百年間希臘的數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)想到了二等分任意角的方法，正像我們?cè)趲缀握n本或幾何畫(huà)中所學(xué)的：以已知角的頂點(diǎn)為圓心，用適當(dāng)?shù)陌霃阶骰〗唤莾傻膬蛇叺脙蓚€(gè)交點(diǎn)，再分別以這兩點(diǎn)為圓心，用一個(gè)適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)作半徑畫(huà)弧，這兩弧的交點(diǎn)與角頂相連就把已知角分為二等分。二等分一個(gè)已知角既是這么容易，很自然地會(huì)把問(wèn)題略變一下：三等分怎么樣呢？這樣，這一個(gè)問(wèn)題就這么非常自然地出現(xiàn)了。這就是著名的“三等分角問(wèn)題”。 |
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來(lái)自： 長(zhǎng)沙7喜 > 《數(shù)理化生》
