2018年，89歲高齡的菲爾茲獎得主，邁克爾·阿蒂亞爵士舉行了他最后一次公開的數(shù)學(xué)報告：

這個報告是關(guān)于“黎曼猜想”的證明，報告結(jié)束后僅僅三個月，老爺子就溘然長逝。

這次報告到底是不是證明了“黎曼猜想”，我沒有資格評論，這需要數(shù)學(xué)界內(nèi)部進(jìn)行審查。哪怕就算結(jié)果錯的，也有可能指出新的突破方向，這在數(shù)學(xué)史上也層出不窮。留待學(xué)界、時間來檢驗(yàn)吧。

但是，黎曼猜想：

 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都是  。

到底說了什么，能讓這位耄耋老人在生命的最后一刻依然向它發(fā)起沖鋒；讓一代代的數(shù)學(xué)家為之魂系夢繞（大數(shù)學(xué)家希爾伯特就說過，如果他能復(fù)活，第一件事情就是要問問，黎曼猜想證明了嗎？）。

逝者安息，生者傳承，下面就以我們的方式盡量數(shù)普一下黎曼猜想，把老爺子這份執(zhí)著傳遞一二，把無數(shù)數(shù)學(xué)家的這份執(zhí)著傳遞一二。

大于 1 的自然數(shù)中，除了 1 和該數(shù)自身外，無法被其他自然數(shù)整除的數(shù)稱為 素數(shù)（Prime Number），比如  2、3、5、7、11、 。

我們知道素數(shù)是無窮的^[1]，也可以通過埃拉托斯特尼篩法^[2]篩出有限個的素數(shù)：

但對于素數(shù)的整體了解依然非常少，素數(shù)似乎是完全隨機(jī)地?fù)诫s在自然數(shù)當(dāng)中的一樣，下面是 1000 以內(nèi)的素數(shù)表，看上去也沒有什么規(guī)律（你說它越來越稀疏吧，877、881、883、887 又突然連著出現(xiàn) 4 個素數(shù)，和 10 以內(nèi)的素數(shù)個數(shù)一樣多）：

別說素數(shù)的精確分布了，就是隨機(jī)抽取一個足夠大的自然數(shù)出來，要檢驗(yàn)它是否是素數(shù)都需要經(jīng)過一番艱苦的計算。

以研究素數(shù)為核心的數(shù)論，在數(shù)學(xué)家眼中就是：

你可能會有一個疑問，研究素數(shù)干嘛？可以改善生活嗎？提高壽命嗎？糧食增產(chǎn)嗎？移民火星嗎？

當(dāng)然可以給出一些現(xiàn)實(shí)的理由，比如流行的區(qū)塊鏈中的加密算法就依賴于素數(shù)分布的一些理論。但是隨著了解的深入，我發(fā)現(xiàn)對于數(shù)學(xué)家而言這些根本不重要，不足以構(gòu)成驅(qū)使他們前進(jìn)的動力。正如有人詢問著名登山家喬治·馬洛里“為什么要登山”，馬洛里回答道：“因?yàn)樯皆谀抢铩保?/span>

數(shù)學(xué)家研究素數(shù)的理由很簡單，因?yàn)樗谀抢?。?shù)論可能才是最純粹的數(shù)學(xué)，才是數(shù)學(xué)的初心。

先根據(jù)之前給出的素數(shù)表繪制一個函數(shù)圖像：

縱坐標(biāo)  表示的是  以內(nèi)素數(shù)的個數(shù)。比如從圖像上可以看出：

這個意思就是 10 以內(nèi)有 4 個素數(shù)（我們知道分別是：2、3、5、7 ）。這個  被稱為 素數(shù)計數(shù)函數(shù)（Prime-counting function）。

得到素數(shù)的精確分布目前還屬于天方夜譚，數(shù)學(xué)家就退而求其次，想知道   到底是多少？這就是幾千年來素數(shù)研究的核心問題。

高斯和勒讓德猜測：

后來又有改進(jìn)的猜測：

把這三個函數(shù)圖像放在一起，看上去好像確實(shí)可以看作近似，并且后者近似還要好一些：

這兩個猜測，尤其是后者，都可以稱為 素數(shù)定理（The Prime Theory），只是此時還沒有證明。

格奧爾格·弗雷德里?！げǘ鞴隆だ杪?826－1866）德國數(shù)學(xué)家，黎曼幾何學(xué)創(chuàng)始人，復(fù)變函數(shù)論創(chuàng)始人之一：

1859年黎曼被任命為柏林科學(xué)院的通訊院士，作為見面禮，黎曼提交了他唯一關(guān)于數(shù)論的論文，也是唯一完全不包含幾何概念的論文，《論小于一個給定值的素數(shù)的個數(shù)》：

這篇論文總共只有9頁^[3]，卻可以名列最難讀的論文之列（黎曼顯然高估了閱讀者的水平，其中不少結(jié)論都沒有給出證明，因?yàn)樗X得不證自明、一目了然。但是事實(shí)是，比如其中證明的一小步，都花費(fèi)了后人46年的時間才證明出來），同時又是素數(shù)研究領(lǐng)域最重要的一篇論文。

聽這個論文的名字也知道這篇論文是關(guān)于  的，確實(shí)，在這篇文章中，黎曼居然給出了素數(shù)計數(shù)函數(shù)的準(zhǔn)確表達(dá)式：

先不管這個函數(shù)的細(xì)節(jié)，看到?jīng)]，黎曼壓根就沒有理會什么素數(shù)定理，直接給出了  的精確表達(dá)式，這就是王霸之氣，不玩擦邊球，來就直搗黃龍，解決主帥。

  的表達(dá)式并不簡單。想想也可以理解，要是初等數(shù)學(xué)就可以解決的問題，很可能早就被歐拉、高斯這兩位數(shù)學(xué)守門員（形容不要想在這兩位大神手里撿漏）給征服了。

重復(fù)一下，  長這樣：

這個函數(shù)分為兩部分：

• 黎曼素數(shù)計數(shù)函數(shù)：就是式子中的  ，它實(shí)際上是黎曼給出的對  的近似，也稱作 黎曼素數(shù)計數(shù)函數(shù) ，下面是它的代數(shù)表達(dá)式，這個代數(shù)表達(dá)式的細(xì)節(jié)之后會討論：

  

• 修正項：也就是：

  
  

  其中   稱為莫比烏斯函數(shù)，具體的代數(shù)表達(dá)式如下：

整個式子的意思就是，通過修正項調(diào)整之后，黎曼給出的素數(shù)計數(shù)函數(shù)   就完全等于  了。

5.1  函數(shù)與非平凡零點(diǎn)

要把  介紹清楚，先得引入一個  ：

為什么自變量用  ，不用  呢？因?yàn)檫@是定義在復(fù)數(shù)域上的函數(shù)，即  ，而復(fù)數(shù)域習(xí)慣用  來表示自變量（之前我就介紹過了，實(shí)數(shù)的問題如果解決不了，可以嘗試升維到復(fù)數(shù)中去^[4]）。

如果嘗試解下面與  函數(shù)相關(guān)的方程：

這個方程的解有無數(shù)多個，可以分為兩類：

• 平凡解：  ，也就是所有負(fù)偶數(shù)。這個解看上去就比較簡單，也很容易求，所以叫做平凡解，也叫作  函數(shù)的平凡零點(diǎn)

• 非平凡解：  ，也就是復(fù)數(shù)解。這類解就很復(fù)雜，現(xiàn)在都沒有求出所有的解，而且估計求出這所有解的難度不亞于求出素數(shù)的精確分布，目前只是通過暴力運(yùn)算求出了一些。所以叫做非平凡解，也叫做  函數(shù)的 非平凡零點(diǎn)

至此，黎曼猜想中最重要的兩個名詞都出現(xiàn)了：  函數(shù)、非平凡零點(diǎn)。

5.2 黎曼素數(shù)計數(shù)函數(shù)

好，回頭再來看  ：

這個函數(shù)有 4 部分：

•  ：這個是之前提到過的，關(guān)于  的一個近似

•  ：  就是指的  函數(shù)的非平凡零點(diǎn)，就是說把所有非平凡零點(diǎn)的  加起來

•  ：這是一個常數(shù)

•   ：  越大，這項越趨近于0，在  時取得最大值  ，也不是很重要

之前也說了，  本身就是對  的近似，從下面動圖也可以看出，越多的非平凡零點(diǎn)  參與運(yùn)算（通過暴力計算得到），  越貼合  ，近似效果比素數(shù)定理要好得多：

5.3 黎曼猜想

通過上面的分析，如果可以知道   函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)  ，那么就可以得到精確的  。但是非平凡零點(diǎn)  求解的難度似乎不亞于得到素數(shù)精確分布的難度，怎么辦？

如果知道  的范圍也可以（下面  表示  的實(shí)部）：

• 如果  ：那么素數(shù)定理成立，這已經(jīng)被證明了，歷史上素數(shù)定理最初也是據(jù)此證明出來的

• 如果   ：這其實(shí)就是黎曼猜想的另外一種描述。如果黎曼猜想成立的，那就可以證出（也就是知道素數(shù)定理中的  到底與真正的   有多大的誤差）：

  

證明了黎曼猜想，我們就在素數(shù)分布上進(jìn)了一大步。但這只是開始，離真正的素數(shù)分布還差得很遠(yuǎn)。

希望大家讀完這篇文章可以對黎曼猜想有一個粗糙的了解，當(dāng)然還有很多的疑問：

•   函數(shù)的非平凡零點(diǎn)  怎么就和素數(shù)的分布有關(guān)系？

•   函數(shù)是怎么擴(kuò)張到復(fù)數(shù)域的？

• 為什么黎曼會猜想   ？

•   怎么就長那個樣子？

•    定義成這樣有什么動機(jī)？

• 關(guān)于非平凡零點(diǎn)  目前我們知道哪些？

• 
  

你可以把這篇文章看作一個大綱，或者《素數(shù)之戀》的讀書筆記，所有的細(xì)節(jié)基本上都可以在這本書中找到。這本書也是我覺得寫得最好的關(guān)于黎曼猜想的書，可以通過下述鏈接購買：

黎曼這篇天才論文開辟了一個時代，其中很多結(jié)論雖然未經(jīng)證明，但對于數(shù)學(xué)家這不啻于一座寶藏。

黎曼其人，出生貧寒，又遇上歐洲動蕩、秩序重建，貴族自身難保，使得他很難像以往天才數(shù)學(xué)家一樣可以獲得貴族的資助。貧病交加之下黎曼40歲就因肺結(jié)核去世。仿佛天妒英才，上帝好像不想讓人類過早地就拆穿了它所有的秘密。

如果黎曼活得長一些，說不定黎曼猜想就可以在他自己手中解決。不過不管怎樣，素數(shù)的秘密，正如希爾伯特所說，“我們必須知道，我們必將知道”：