一、選擇題

1.(2017·貴陽(yáng)高三監(jiān)測(cè)考試)等差數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且

a3+a9=16，則 S11=( )

A.88 B.48

C.96 D.176

答案 A

解析 依題意，得 S11=

11(a1+a11)

2 =

11(a3+a9)

2 =

11×16

2 =88，

故選 A。

2.(2017·洛陽(yáng)第一次統(tǒng)考)等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，若 a

2

1+a

2

10=

101，a5+a6=11，則數(shù)列{an}的公差 d 等于( )

A.1 B.2

C.9 D.10

答案 A

解析 依題意得(a1+a10)

2-2a1a10=(a5+a6)

2-2a1a10=121-

2a1a10=101，∴a1a10=10，又 a1+a10=a5+a6=11，a1

a10=10，d=

a10-a1

10-1

=1，故選 A。

3.(2017·湖北七市聯(lián)考)在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}中，首項(xiàng) a1

=2，且點(diǎn)(a

2

n，a

2

n-1)(n≥2)在直線 x-9y=0 上，則數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)

和 Sn 等于( )

A.3

n-1 B.

1-(-3)

n

2

C.

1+3

n

2

D.

3n

2+n

2

答案 A

解析 由點(diǎn)(a

2

n，a

2

n-1)在直線 x-9y=0 上，得 a

2

n-9a

2

n-1=0，即

2

(an+3an-1)(an-3an-1)=0，又?jǐn)?shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，且 a1=2，∴an

+3an-1>0，∴an-3an-1=0，即 an

an-1

=3(n≥2)，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng) a1

=2，公比 q=3 的等比數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和 Sn=

a1(1-q

n

)

1-q

=

2×(3

n-1)

3-1

=

3

n-1，故選 A。

4.(2017·安徽淮北二模)5 個(gè)數(shù)依次組成等比數(shù)列，且公比為-2，

則其中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的比值為( )

A.-

21

20 B.-2

C.-

21

10 D.-

21

5

答案 C

解析 由題意可設(shè)這 5 個(gè)數(shù)分別為 a，-2a,4a，-8a,16a，故奇

數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的比值為

a+4a+16a

-2a-8a

=-

21

10。故選 C。

5.已知等比數(shù)列{an}中，a2·a8=4a5，等差數(shù)列{bn}中，b4+b6

=a5，則數(shù)列{bn}的前 9 項(xiàng)和 S9等于( )

A.9 B.18

C.36 D.72

答案 B

解析 ∵a2·a8=4a5，即 a

2

5=4a5，∴a5=4，∴a5=b4+b6=2b5=4，

∴b5=2，∴S9=9b5=18，故選 B。

6.(2017·廣東潮州二模)在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》

里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，齊去長(zhǎng)安一千一百二十

五里，良馬初日行一百零三里，日增一十三里;駑馬初日行九十七里，

日減半里，良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢，問(wèn)：幾日相逢( )

3

A.8 日 B.9 日

C.12 日 D.16 日

答案 B

解析 設(shè) n 日相逢，則依題意得 103n+

n(n-1)

2 ×13+97n+

n(n-1)

2 ×?

?

?

?

?

? -

1

2 =1 125×2，整理得 n

2+31n-360=0，解得 n=9(負(fù)

值舍去)，故選 B。

7.已知數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 Sn=2an-4(n∈N*

)，則 an

=( )

A.2

n+1

B.2

n

C.2

n-1 D.2

n-2

答案 A

解析 依題意，an+1=Sn+1-Sn=2an+1-4-(2an-4)，則 an+1=

2an，令 n=1，則 S1=2a1-4，即 a1=4，∴數(shù)列{an}是以 4 為首項(xiàng)，2

為公比的等比數(shù)列，∴an=4×2

n-1=2

n+1，故選 A。

8.設(shè) Sn 為等比數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和，a2-8a5=0，則S8

S4

的值為

( )

A.

1

2

B.

17

16

C.2 D.17

答案 B

解析 設(shè){an}的公比為 q，依題意得a5

a2

=

1

8=q

3，因此 q=

1

2。注意

到 a5+a6+a7+a8=q

4

(a1+a2+a3+a4)，即有 S8-S4=q

4S4，因此 S8

=(q

4+1)S4，

S8

S4

=q

4+1=

17

16，故選 B。

9.等差數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若公差 d>0，(S8-S5)(S9-S5)<0，

4

則( )

A.|a7|>|a8| B.|a7|<|a8|

C.|a7|=|a8| D.|a7|=0

答案 B

解析 根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，有(S8-S5)(S9-S5)<0，即(a6

+a7+a8)(a6+a7+a8+a9)<0，又由{an}為等差數(shù)列，則有(a6+a7+a8)

=3a7，(a6+a7+a8+a9)=2(a7+a8)，(a6+a7+a8)(a6+a7+a8+a9)<0

?a7×(a7+a8)<0，a7與(a7+a8)異號(hào)，又由公差 d>0，必有 a7<0，a8>0，

且|a7|<|a8|，故選 B。

10.(2017·大連模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差 d≠0，且 a3，a5，

a15成等比數(shù)列，若 a1=3，Sn為數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和，則 an·Sn的最小

值為( )

A.0 B.-3

C.-20 D.9

答案 B

解析 ∵等差數(shù)列{an}的公差 d≠0，且 a3，a5，a15 成等比數(shù)列，

a1=3，∴(3+4d)

2=(3+2d)(3+14d)，解得 d=-2 或 d=0(舍)。當(dāng) d

=-2 時(shí)，an=5-2n，Sn=4n-n

2，∴an·Sn=(5-2n)·(4n-n

2

)=2n

3-

13n

2+20n。設(shè) f(x)=2x

3-13x

2+20x(x>0)，則 f′(x)=6x

2-26x+20

=(6x-20)(x-1)。則當(dāng) x∈?

?

?

?

?

?

1，

10

3 ，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng) x∈?

?

?

?

?

10 ?

3 ，+∞ ，

f(x)單調(diào)遞增。又當(dāng) x=3 時(shí)，f(3)=-3。x=4 時(shí)，f(4)=0，又 n∈N*，

∴an·Sn 的最小值為-3。故選 B。

11.(2017·福州綜合質(zhì)量檢測(cè))已知數(shù)列{an}中，a1=1，且對(duì)任意

5

的 m，n∈N*，都有 am+n=am+an+mn，則 ?

i=1

2 0171

ai

=( )

A.

2 017

2 018 B.

2 016

2 017

C.

2 018

1 009 D.

2 017

1 009

答案 D

解析 令 m=1，則 an+1=a1+an+n，又 a1=1，所以 an+1=an

+n+1，即 an+1-an=n+1，所以 a2-a1=2，a3-a2=3，…，an-

an-1=n(n≥2)，把以上 n-1 個(gè)式子相加，得 an-a1=2+3+…+n，

所以 an=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

(n≥2)，當(dāng) n=1 時(shí)，上式也成立，

所以 an=

n(n+1)

2 ，所以 1

an

=

2

n(n+1)

=2

?

?

?

?

?

?

?

1 ?

n-

1

n+1

，所以 ?

i=1

2 017 1

ai

=

2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1-

1

2 +?

?

?

?

?

1 ?

2-

1

3 +…+?

?

?

?

?

1 ?

2 017-

1

2 018 =2

?

?

?

?

?

?

1-

1

2 018 =

2 017

1 009，故選D。

12.記 Sn為正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和，若S12-S6

S6

-7·

S6-S3

S3

-

8=0，且正整數(shù) m，n 滿足 a1ama2n=2a

3

5，則1

m

+

8

n的最小值是( )

A.

15

7

B.

9

5

C.

5

3

D.

7

5

答案 C

解析 ∵{an}是等比數(shù)列，設(shè){an}的公比為 q，∴

S12-S6

S6

=q

6，

S6-S3

S3

=q

3，∴q

6-7q

3-8=0，解得 q=2(負(fù)值舍去)。又 a1ama2n=2a

3

5，∴a

3

1·2m

6

+2n-2=2(a12

4

)

3=a

3

12

13，∴m+2n=15，∴

1

m

+

8

n=

1

15?

?

?

?

?

1 ?

m

+

8

n

(m+2n)=

17+

2n

m

+

8m

n

15 ≥

17+2

2n

m

×

8m

n

15 =

5

3，當(dāng)且僅當(dāng)2n

m=

8m

n ，即 m=3，n

=6 時(shí)等號(hào)成立，∴

1

m

+

8

n的最小值是5

3，故選 C。

二、填空題

13.(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前 n 項(xiàng)和

為 Sn。已知 S3=

7

4，S6=

63

4 ，則 a8=________。

答案 32

解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為 q，則由 S6≠2S3 得 q≠1，則 S3

=

a1(1-q

3

)

1-q

=

7

4，S6=

a1(1-q

6

)

1-q

=

63

4 ，解得 q=2，a1=

1

4，則 a8=a1q

7

=

1

4×2

7=32。

14.(2017·合肥第二次質(zhì)檢)等比數(shù)列{an}滿足 an>0，且 a2a8=4，

則 log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=________。

答案 9

解析 易知 log2a1+log2a2+…+log2a9=log2(a1·a2·…·a9)=log2a

9

5

=9log2a5，∵a2·a8=a

2

5=4，且 an>0，∴a5=2，∴原式=9log22=9。

15.(2017·全國(guó)卷Ⅱ )等差數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，a3=3，S4

=10，則?

k=1

n 1

Sk

=________。

答案 2n

n+1

解 析 由 題 意 ， 設(shè) 等 差 數(shù) 列 {an} 的 公 差 為 d ， 則

7

??

?

?

?a3=a1+2d=3，

S4=4a1+

4×3

2

d=10，

解 得 ?

?

?a1=1，

d=1，

故 Sn = n +

n(n-1)

2 =

n(n+1)

2 。 ?

k=1

n 1

Sk

= ?

k=1

n 2

k(k+1)

= 2 ?

k=1

n

?

?

?

?

?

?

?

1 ?

k-

1

k+1

=

2

?

?

?

?

?

?

?

1 ?

1-

1

2+

1

2-

1

3+…+

1

n-

1

n+1

=2

?

?

?

?

?

?

?

?

1-

1

n+1

=

2n

n+1

。

16.(2017·湖北七市聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足 an+1+(-1)nan=n+1，則

{an}前 40 項(xiàng)的和為_(kāi)_______。

答案 440

解析 由 an+1+(-1)nan=n+1，可依次列出 n 取不同值時(shí)數(shù)列

項(xiàng)之間的關(guān)系，當(dāng) n=1 時(shí)，a2-a1=2，①當(dāng) n=2 時(shí)，a3+a2=3，

②當(dāng) n=3 時(shí)，a4-a3=4，③當(dāng) n=4 時(shí)，a5+a4=5，④由②-①得

a3+a1=1，由③+②得 a4+a2=7，當(dāng) n=5 時(shí)，a6-a5=6，⑤當(dāng) n

=6 時(shí)，a7+a6=7，⑥當(dāng) n=7 時(shí)，a8-a7=8，⑦當(dāng) n=8 時(shí)，a9+a8

=9，⑧由⑥-⑤得 a7+a5=1，由⑦+⑥得 a8+a6=15，類(lèi)似可得 a11

+a9=1，…，a39+a37=1，a12+a10=23，…，即{a4k+2+a4k+4}(k∈

N)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為 7，公差為 8 的等差數(shù)列，∴S40=(a1+a3+a5+a7

+…+a37+a39)+(a2+a4+a6+a8+…+a38+a40)=1×10+7×10+

10×(10-1)

2 ×8=440。