1

肖博數學小題專練·(二) 平面向量、復數、算法初步

一、選擇題

1.(2017·長春質量監(jiān)測(二))已知復數 z=1+i，則下列命題中正確的個數是( )

①|z|= 2;② z =1-i;③z 的虛部為 i;④z 在復平面內對應的點位于第一象限。

A.1 B.2

C.3 D.4

答案 C

解析 ①|z|= 1

2+1

2= 2，①正確;②由共軛復數的定義知，

②正確;③對于復數 z=a+bi(a∈R，b∈R)，a 與 b 分別為復數 z 的

實部與虛部，故 z=1+i 的虛部為 1，而不是 i，③錯誤;④z=1+i

在復平面內對應的點為(1,1)，在第一象限，④正確。故正確命題的個

數為 3，選 C。

2.(2017·合肥市第一次質檢)已知復數 z=2+i1-i(i 為虛數單位)，那么 z 的共軛復數為( )

A.32+32i

B.12-32i

C.12+32i

D.32-32i

答案 B

解析 z=2+i1-i=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=12+32i，所以 z 的共軛復數為12-32i，故選 B。

2

3.(2017·大理州二模)已知正方形 ABCD 的邊長為 2，E 為 CD 的

中點，則 AE→·CB→=( )

A.-4 B.-3

C.4 D.2 5

答案 A

解析 AE→·CB→=(AD→ +DE→ )·(-AD→ )=(AD→ +12AB→)·(-AD→ )=-AD→ 2-12AB→·AD→ ，∵正方形 ABCD 的邊長為 2，E 為 CD 的中點，∴AD→ 2=4，AB→·AD→ =0，∴AE→·CB→=-4。

4.(2017·成都第二次診斷)已知平面向量 a，b 的夾角為π3，且|a|=1，|b|=12，則 a+2b 與 b 的夾角是( )

A.π6

B.5π6

C.π4

D.3π4

答案 A

解析 因為|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b=1+1+4×1×12×cosπ3=3，所以|a+2b|= 3，又(a+2b)·b=a·b+2|b|2=1×12×cosπ3+2×14=14+12=34，所以 cos〈a+2b，b〉=(a+2b)·b|a+2b||b|=343×12=32 ，所以 a+2b 與 b 的夾角為π6。

故選 A。

5.(2017·全國卷Ⅲ)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，為使輸出 S 的值小于 91，則輸入的正整數 N 最小值為( )

3

A.5 B.4 C.3 D.2

答案 D

解析 根據程序框圖，第一次循環(huán)：S=100，M=-10，t=2，第二次循環(huán)：S=100-10=90M=1，t=3，由于輸出 S 的值小于91，所以 N 的最小值是 2。滿足題意。

6.(2017·山東高考)執(zhí)行兩次如圖所示的程序框圖，若第一次輸入的 x 的值為 7，第二次輸入的 x 的值為 9，則第一次、第二次輸出的 a 的值分別為( )4

A.0,0 B.1,1

C.0,1 D.1,0

答案 D

解析 當 x=7，b=2 時，b2=4>7 不成立，7 不能被 2 整除，所以 b=b+1=3，此時 32=9>7 成立，a=1，所以第一次輸出 a=1。當 x=9，b=2 時，b2=4>9 不成立，9 不能被 2 整除，所以 b=b+1=3，此時 32=9>9 不成立，9 能被 3 整除，a=0，所以第二次輸出 a=0。

7.(2017·全國卷Ⅱ)設非零向量 a，b 滿足|a+b|=|a-b|，則( )

A.a⊥b B.|a|=|b|

C.a∥b D.|a|>|b|

答案 A

解析 依題意得(a+b)2-(a-b)2=0，即 4a·b=0，a⊥b，故選 A。

8.(2017·洛陽第一次統(tǒng)考)已知向量 a=(1,0)，|b|= 2，a 與 b 的夾角為 45°，若 c=a+b，d=a-b，則 c 在 d 方向上的投影為( )

A.55

B.-55

C.1

D.-1

答案 D

解析 依題意得|a|=1，a·b=1× 2×cos45°=1，|d|= (a-b)2=a2+b2-2a·b=1，c·d=a2-b2=-1，因此 c 在 d 方向上的投影等于c·d|d|=-1，

故選 D。

9.(2017·成都第二次診斷)若復數 z1=a+i(a∈R)，z2=1-i，且z1z2為純虛數，則 z1 在復平面內對應的點位于( )

A.第一象限 B.第二象限5

C.第三象限 D.第四象限

答案 A

解析 z1z2=a+i1-i=(a+i)(1+i)2 =(a-1)+(1+a)i2 為純虛數，則 a=

1，所以 z1=1+i，z1在復平面內對應的點為(1,1)，在第一象限，故選

A。

10.(2017·全國卷Ⅱ)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的 a=-1，則輸出的 S=( )

A.2 B.3

C.4 D.5

答案 B

解析 依次運行程序，直至程序結束。S=0，K=1，a=-1。第一次循環(huán)，S=0-1=-1，a=1，K=2;第二次循環(huán)，S=-1+2=1，a=-1，K=3;第三次循環(huán)，S=1-3=-2，a=1，K=4;第四次循環(huán)，S=-2+1×4=2，a=-1，K=5;第五次循環(huán)，S=2+(-1)×5=-3，a=1，K=6;第六次循環(huán)，S=-3+1×6=3，a=-1，K=7。由于 7>6，故循環(huán)結束。故選 B。6

11.(2017·浙江高考)如圖，已知平面四邊形 ABCD，AB⊥BC，

AB=BC=AD=2，CD=3，AC 與 BD 交于點 O。記 I1=OA→·OB→，I2

=OB→·OC→ ，I3=OC→ ·OD→ ，則( )

A.I1

C.I3

答案 C

解析 顯然∠BOC 為銳角，所以 I1=OA→ ·OB→<0，I2=OB→·OC→ >0，

I3=OC→ ·OD→ <0。如圖，過點 B 作 BM⊥AC 于點 M，過 A 作 AN⊥BD

于點 N。因為△ABD 和△ABC 均為等腰三角形，所以 BN=ND，AM=

CM，所以|OA|<|OC|，|OB|<|OD|，∠AOB=∠COD>π2，所以 I1>I3。所以 I3

12.(2017·湖北黃岡二模)已知平面向量 a，b，c 滿足|a|=|b|=1，a⊥(a-2b)，(c-2a)·(c-b)=0，則|c|的最大值與最小值的和為( )

7

A.0 B. 3

C. 2 D. 7

答案 D

解析 ∵a⊥(a-2b)，∴a·(a-2b)=0，即 a

2=2a·b，又|a|=|b|=1，

∴a·b=

1

2，a 與 b 的夾角為 60°。設OA→ =a，OB→=b，OC→ =c，以 O 為

坐標原點，OB→ 的方向為 x 軸正方向建立如圖所示的平面直角坐標系，

則 a=?

?

?

?

?

1 ?

2，

3

2

，b=(1,0)。設 c=(x，y)，則 c-2a=(x-1，y- 3)，

c-b=(x-1，y)。又∵(c-2a)·(c-b)=0，∴(x-1)2+y(y- 3)=0。即

(x-1)2+?

?

?

?

?

?

y-

3

2

2=

3

4，∴點 C 的軌跡是以點 M?

?

?

?

?

?

1，

3

2

為圓心， 3

2 為

半徑的圓。又|c|= x

2+y

2表示圓 M 上的點與原點 O(0,0)之間的距離，

所以|c|max=|OM|+

3

2 ，|c|min=|OM|-

3

2 ，∴|c|max+|c|min=2|OM|=

2× 1

2+?

?

?

?

?

3?

2

2= 7，故選 D。

二、填空題

13.如果 z=

1-ai

1+i

為純虛數，則實數 a 等于________。

答案 1

8

解析 設 z=

1-ai

1+i

=ti(t∈R 且 t≠0)，則 1-ai=-t+ti，

?

?

?1=-t，

-a=t，

a=1。

14.(2017·江蘇高考)如圖是一個算法流程圖。若輸入 x 的值為 116，則輸出 y 的值是________。

答案 -2

解析 由流程圖可得 y=

?

?

?2

x，x≥1，

2+log2x，0

所以當輸入的 x

的值為 1

16時，y=2+log2

1

16=2-4=-2。

15.(2017·湖北七市聯考)平面向量 a，b，c 不共線，且兩兩所成

的角相等。若|a|=|b|=2，|c|=1，則|a+b+c|=________。

答案 1

解析 ∵平面向量 a，b，c 不共線，且兩兩所成的角相等，∴它們兩兩所成的角為 120°?！遼a+b+c|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+ 2b·c + 2a·c = |a|2 + |b|2 + |c|2 + 2|a||b|cos120°+ 2|b||c|cos120°+92|a||c|cos120°= 22 + 22 + 12 + 2×2×2× ?

?

?

?

?

? -

1

2 + 2×2×1× ?

?

?

?

?

? -

1

2 +

2×2×1×?

?

?

?

?

? -

1

2 =1，∴|a+b+c|=1。

16.已知向量 a，b 滿足|a|=2，|b|=1，且對一切實數 x，|a+xb|≥|a+b|恒成立，則 a，b 的夾角的大小為________。

答案 2

3π解析 |a+xb|≥|a+b|恒成立?a2+2xa·b+x2b2≥a2+2a·b+b2 恒成立?x2+2a·bx-1-2a·b≥0 恒成立，∴Δ=4(a·b)2-4(-1-2a·b)≤0?(a·b+1)2≤0，∴a·b=-1，∴cos〈a，b〉= a·b|a|·|b|=-12，又〈a，b〉∈[0，π]，故 a 與 b 的夾角的大小為2π3 。