Hilbert的《幾何基礎(chǔ)》的五組公理之一：

1.歐氏幾何的平行公理：過已知直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。

任何兩點(diǎn)都是平行的，任何一點(diǎn)與任何一平面都是平行的。

2郭氏幾何的平行公理：過一條直線之外的點(diǎn)，有且只有一條直線和已知的直線平行。

編輯本段平行公理的推論

概念：平行于同一條直線的兩條直線平行

證明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c

證明:假使b、c不平行

則b、c交于一點(diǎn)O

又因?yàn)閍‖b,a‖c

所以過O有b、c兩條直線平行于a

這就與平行公理矛盾

所以假使不成立

所以b‖c

由同位角相等，兩直線平行，可推出：

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

因?yàn)?a‖b,a‖c,

所以 b‖c （平行公理的推論）

編輯本段平行線性質(zhì)定理

1.兩直線平行，同位角相等。

2.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

3.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。 4.兩線平行并且不在一條直線上的直線 平行線： 1. 平行線的定義 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線 AB平行于CD ，AB∥CD 2. 平行公理：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 3. 平行公理的推論（平行的傳遞性）： 如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行 ∵a∥c，c ∥b ∴a∥b 平行線的判定

１. 兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行 簡單說成：同位角相等，兩直線平行。 ２. 兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行　簡單說成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。 3 . 兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行 簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

平行線的性質(zhì) 1. 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等． 簡單說成：兩直線平行，同位角相等。 ２. 兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ). 簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) 。 3 . 兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等． 簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系兩直線的位置關(guān)系　垂直于同一直線的兩條直線互相平行 平行線間的距離，處處相等 如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 平行線 雙絞線的兩端采用相同的線序制作出來的稱為平行線，使用不同線序制作的稱為交叉線。

七年級下學(xué)期數(shù)學(xué)知識梳

第五章 相交線與平行線

一、知識結(jié)構(gòu)圖

相交線

相交線 垂線

同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

平行線

平行線及其判定

平行線的判定

平行線的性質(zhì)

平行線的性質(zhì)

命題、定理

平移

二、知識定義

1.鄰補(bǔ)角：有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊 的，他們的另一邊互為反向延長線，兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角。 同角的補(bǔ)角相等

2.對頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)叫的兩邊的反向延長線，像這樣的兩個(gè)角互為對頂角。 對頂角相等

3.垂線：垂直是相交的特殊情形。兩條直線互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線，焦點(diǎn)為垂足。

垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。

4.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角：

同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關(guān)系的一對角叫做同位角。

內(nèi)錯(cuò)角：∠2與∠6像這樣的一對角叫做內(nèi)錯(cuò)角。

同旁內(nèi)角：∠2與∠5像這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角。

5.平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。

平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

平行線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

平行線的判定：

判定1：同位角相等，兩直線平行。

判定2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

判定3：同旁內(nèi)角相等，兩直線平行。

6.命題：判斷一件事情的語句叫命題。

命題可以寫成“如果.....那么.....‘

命題由題設(shè)和結(jié)論組成。題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推遲的事項(xiàng)。

7.平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移變換，簡稱平移。

判斷平移的兩個(gè)條件：1 形狀大小不變

2 對應(yīng)點(diǎn)之間的線段平行且相等

對應(yīng)點(diǎn)：平移后得到的新圖形中每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng) 后得到的，這樣的兩個(gè)點(diǎn)叫做對應(yīng)點(diǎn)。

第六章

1.有序數(shù)對的定義

有順序的兩個(gè)數(shù)a與b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對.記作（a，b）。

2.平面直角坐標(biāo)系

平面直角坐標(biāo)系的定義及其基本元素

平面上有公共原點(diǎn)且相互垂直的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱直角坐標(biāo)系.

①水平方向的數(shù)軸稱為x軸或橫軸。

②豎直方向的數(shù)軸稱為y軸或縱軸.

③x軸、y軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸。

④公共原點(diǎn)稱為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑤象限的概念：兩坐標(biāo)軸將平面分成四個(gè)區(qū)域稱為象限，按逆時(shí)針順序分別記為第一、二、三、四象限.（圖形）

3.坐標(biāo)：（1、3）只能在平面內(nèi)有一點(diǎn)，這點(diǎn)P我們就用（1、3）表示，這樣的有序?qū)崝?shù)對叫做點(diǎn)的坐標(biāo).

4.象限：各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號的特點(diǎn)

第一象限的點(diǎn)的坐標(biāo)為（+、+）第二象限的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-、+）

第三象限的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-、-）第四象限的點(diǎn)的坐標(biāo)為（+、-）

坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不在任何一個(gè)象限內(nèi).

5.規(guī)律。拓展延伸

①點(diǎn)P（a，b）到x軸的距離為│b│，到y(tǒng)軸距離為│a│，到原點(diǎn)距離為

；

②點(diǎn)P（a，b）：若點(diǎn)P在x軸上 -----a為任意實(shí)數(shù)，b=0；

P在y軸上 ----- a=0，b為任意實(shí)數(shù)；

P在一，三象限坐標(biāo)軸夾角平分線上----a=b；

P在二，四象限坐標(biāo)軸夾角平分線上----a=－b；

③A（x₁，y₁），B（x₁，y₂）：

A，B關(guān)于x軸對稱------x₁=x₂，y₁=－y₂；

A、B關(guān)于y軸對稱------ x₁=－x₂，y₁=y₂；

A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱------x₁=－x₂，y₁=－y₂．

在平面直角坐標(biāo)系中，

P（x，y） 向右（或左）平移a個(gè)單位 --對應(yīng)點(diǎn)（x＋a，y）（或x－a，y）； P（x，y）向上（或下）平移b個(gè)單位 --對應(yīng)點(diǎn)（x，y＋b）（或x，y－b）.

第七章三角形

1. 三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2. 三角形的邊：組成三角形的三條線段叫做三角形的邊.

3. 三角形的表示：三角形用符號“△”表示， 讀做“三角形”.

如圖：圖中AB、BC、CA是三角形的邊，有時(shí)也用a，b，c表示；點(diǎn)A、B、C是三角形的頂點(diǎn)；∠A、∠B、∠C是三角形的角；三角形ABC記作“△ABC”，讀做“三角形ABC”.

1.三角形的邊：三角形的兩邊之和大于第三邊（多用于判斷）

a-b<c<a+b （a-b>0）

2.三角形的高，中線和角平分線

三角形的高：由三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它對邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間線段，叫做這個(gè)三角形的高.

三角形的高及其有關(guān)結(jié)論

1.畫出三角形ABC的三條高.

三角形高的位置與三角形的形狀有關(guān)，銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的三條高有兩條高在三角形的外部；直角三角形有兩條高與直角邊重合.

2.銳角三角形ABC的三條高交于一點(diǎn)，交點(diǎn)在三角形內(nèi)部；鈍角三角形ABC三條高不交于一點(diǎn)，但高所在的直線交于一點(diǎn)；直角三角形ABC的三條高交于一點(diǎn)，交點(diǎn)為直角頂點(diǎn)A.

3.因?yàn)镾＝

BC×AD=

AC×BE=

AB×CF，所以BC×AD=AC×BE=AB×CF.

三角形的中線：在一個(gè)三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中線.

1.在三角形ABC中畫出所有中線.

2.無論什么形狀的三角形，三條邊上的中線均在三角形內(nèi)，并交于一點(diǎn).

3.由AF=BF=

AB，BD=DC=

BC，AE=CE=

AC，所以S_△ACF=S_△BCF=S_△ABD=S_△ADC=S_△ABE=S_△BCE.

三角形的角平分線：在三角形中，一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段，叫做這個(gè)三角形的角平分線.

、三角形角平分線及其有關(guān)結(jié)論

1.畫出△ABC所有的角平分線.

【注意】三角形的角平分線是線段，而角的平分線是射線.

2.無論什么形狀的的三角形，三個(gè)角的平分線都在三角形內(nèi)部，并相交于一點(diǎn).

內(nèi)容直接考的很少，但是經(jīng)常與其他知識綜合考查，像什么作高求面積，利用角平分線求角度，利用中線求線段等等.

多邊形內(nèi)角和鑲嵌

3.三角形的穩(wěn)定性

四與三角形有關(guān)的角

1 三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和等于180°.

三角形內(nèi)角和反映了三角形三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系，是解決任意三角形關(guān)于內(nèi)角的證明和計(jì)算問題的重要依據(jù)之一，利用它可以解決以下問題：

（1）計(jì)算角度的大小，以及利用求出的角度來判斷三角形的形狀和證明直線垂直.解決這樣的問題常常需要設(shè)未知數(shù)列方程求解.

（2）證明角相等.

（3）證明角的和、差、倍、分關(guān)系.

（4）證明角之間的不等關(guān)系.

2.三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

1.三角形的外角必須滿足三個(gè)條件：

（1）頂點(diǎn)與三角形的一個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)重合（即共頂點(diǎn)）；

（2）一邊是三角形的一邊（即共邊）；

（3）另一邊是三角形一邊的延長線（即共線）.

如圖，∠ACD是三角形ABC的外角，與三角形ABC有公共頂點(diǎn)C，公共邊AC，CD在BC的延長線上.

2.三角形外角的個(gè)數(shù)

一個(gè)三角形共有六個(gè)外角，它們是三對對頂角，在研究和外角有關(guān)的問題時(shí)，通常在一個(gè)頂點(diǎn)處只取一個(gè)外角.

如圖，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6都是三角形ABC的外角.

3.三角形的外角與相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角的關(guān)系，與不相鄰的內(nèi)角是不等的關(guān)系.

如上圖，∠1是三角形ABC的外角，∠1與∠A是鄰補(bǔ)角.因?yàn)椤?＝∠B+∠C，所以∠1與∠B、∠1與∠C都是不等關(guān)系.

4.三角形的外角和是360°.

如下圖，因?yàn)椤?和∠BAC是鄰補(bǔ)角，所以∠1＋∠BAC＝180°.同理∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠ACB＝180°.所以∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB＝540°.

又因?yàn)椤螦BC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.即三角形ABC的外角和是360°.

3.三角形外角的性質(zhì)

（1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

（2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

4.常用輔助線的做法：

（1）說明角的關(guān)系時(shí)，如果沒有現(xiàn)存的外角可以使用，通常要延長某個(gè)角的一邊.

（2）在進(jìn)行角度計(jì)算時(shí)，為了能使用三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)，通常要構(gòu)造三角形，這時(shí)需要連結(jié)某些線段或延長某些線段.

多邊形及其內(nèi)角和

1.多邊形的有關(guān)概念

（1）在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

（2）多邊形中相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角.

（3）多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.

（4）連結(jié)多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線.

（5）凸四邊形

2.正多邊形：各角都相等，各邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

3.從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),有n-3條對角線，它們把n邊形分為n-2個(gè)三角形

3.n邊形內(nèi)角和：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°.

4.多邊形外角和：多邊形的外角和等于360°.

對于n邊形的內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和＝（n－2）×180°，其推導(dǎo)方法主要有以下幾種：

課本方法：從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引n邊形的（n－3）條對角線，把n邊形分割為（n－2）個(gè)三角形（如圖1），則這（n－2）個(gè)三角形的內(nèi)角和就是n邊形的內(nèi)角和，從而得到：n邊形的內(nèi)角和＝（n－2）×180°；

方法二：在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，然后把這一點(diǎn)與各頂點(diǎn)連結(jié)，將n邊形分割為n個(gè)三角形（如圖2），這n個(gè)三角形的內(nèi)角和比n邊形的內(nèi)角和恰好多了一個(gè)周角360°，因此n邊形的內(nèi)角和＝180°×n－360°＝（n－2）×180°；

方法三：在n邊形的一邊上取一點(diǎn)，把這一點(diǎn)與各頂點(diǎn)連結(jié)，把n邊形分割為（n－1）個(gè)三角形（如圖3），這些三角形的內(nèi)角和比n邊形的內(nèi)角和多出了一個(gè)平角，因此，n邊形的內(nèi)角和＝（n－1）×180°－180°＝（n－2）×180°；

方法四：在n邊形外任取一點(diǎn)，然后把這一點(diǎn)與各頂點(diǎn)連結(jié)，將n邊形分割為n個(gè)三角形（如圖4），這n個(gè)三角形的內(nèi)角和比n邊形的內(nèi)角和恰好多出了兩個(gè)三角形內(nèi)角和，因此n邊形的內(nèi)角和＝n×180°－2×180°＝（n－2）×180°.

5.平面鑲嵌：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行銜接，彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌.