投資要點：

　　金融市場的波動率

　　金融市場波動率具有尖峰肥尾、波動率群集、具有杠桿效應(yīng)等特點。

　　本文將簡單地分析金融市場波動率重要的幾個特性，并介紹50ETF相關(guān)波動率的度量方法。

　　波動率微笑

　　與BS模型假設(shè)不同，隱含波動率ω (t， t + h) 在很大程度上取決于日歷時間t 、到期期限 h 和期權(quán)的貨幣性，隱含波動率曲面呈現(xiàn)明顯的微笑或傾斜的特征。

　　本文將簡單地介紹隱含波動率微笑的基本特性。

　　利用隨機波動率模型進行套利

　　Vanna-Volga模型，SVI模型，SABR模型都可以用來擬合隱含波動率微笑。

　　通過模型刻畫的隱含波動率與通過BS公式反算的隱含波動率進行對比，找到每日最被低估和高估的期權(quán)合約，分別買入和賣出。通過合約的持倉數(shù)量，形成 delta 中性，從而賺取波動率估值回歸的收益。

　　結(jié)果顯示，在看漲期權(quán)季月合約上進行波動率套利有不錯效果，三種模型年化收益率都超過20%。

　　風險提示：未來市場變幻莫測，模型有失效的可能。

　　正文

　　1、 波動率的分類

　　在期權(quán)世界中，波動率可以簡單的分為歷史波動率、隱含波動率、已實現(xiàn)波動率三大類，分別對應(yīng)著過去的波動率、隱含在期權(quán)價格中的波動率(也被稱之為預(yù)期波動率)以及實際的波動率。對于這三種波動率的理解對于期權(quán)交易來說是至關(guān)重要的，這不僅可以用于期權(quán)的定價，還可以用于直接的波動率交易，包含波動率的方向性交易及波動率的套利交易。

　　1.1、 歷史波動率 (HV)

　　歷史波動率是基于過去的統(tǒng)計分析得出的，假定未來是過去的延伸，利用歷史方法估計波動率類似于估計標的資產(chǎn)收益系列的標準差。

　　1.1.1、 標準差

　　標準差是衡量風險的常用標準，是與時間期限相關(guān)的概念，例如日標準差、周標準差、月標準差、年標準差等等。在風險評價中，常用的是年標準差。

　　計算方法(以標的證券過去30個交易日的歷史波動率為例)；

　　1。根據(jù)計算周期(交易周期；周、月、季度、年均指日歷周期) 在所選時間段內(nèi)拆分出N個區(qū)間(頭尾包含的不完整日歷周期舍去)。

　　2。獲取每個區(qū)間最末一個交易日的收盤價和最初一個交易日的前收盤價。

　　3。 如果所選收益率計算方法是“普通收益率”則以“”作為區(qū)間內(nèi)的收益率；如果所選收益率計算方式是“對數(shù)收益率”則以“”作為區(qū)間內(nèi)的收益率。

　　4。根據(jù)以下公式確定計算結(jié)果。

　　GARCH(1， 1) 模型方差如下：

　　EWMA 是 GARCH (1,1) 一個特殊情況，而 GARCH(1,1) 是EWMA的一般形式。

　　當我們?nèi)?a = 0 ，(b + c) =1時，上式被簡化為：

　　這與EWMA的表達式相同：

　　1.2、 隱含波動率(IV)

　　隱含波動率(Implied Volatility)是將市場上的期權(quán)或權(quán)證交易價格代入權(quán)證理論價格模型Black-Scholes模型，反推出來的波動率數(shù)值。

　　計算隱含波動率可以使用Newton method。

　　1.2.1、 方差互換 (Variance Swap)

　　假設(shè)標的價格幾何布朗運動：

　　使用Ito公式：

　　得到方差：

　　其中后一項可以以如下的方式實現(xiàn)復(fù)制：

　　得到風險中性條件下波動率的合理價格：

　　1.2.2、中國波指(iVIX)

　　中國波指(000188.SH)，簡稱iVIX指數(shù)，是由上海證券交易所發(fā)布，用于衡量上證50ETF未來30日的波動預(yù)期。該指數(shù)是根據(jù)方差互換原理，結(jié)合50ETF期權(quán)的實際運作特點，并通過上海證券交易所交易的50ETF期權(quán)價格的計算編制而成。

　　iVIX指數(shù)通過反推當前在交易的期權(quán)價格中蘊含的隱含波動率，反映出未來30日標的50ETF價格的波動水平。

　　iVIX指數(shù)由6月26日第一次公布，起始日為上證50ETF期權(quán)上市之日2月9日，上交所向市場實時發(fā)布iVIX行情數(shù)據(jù)，幫助投資者實時分析市場情緒。

　　1.2.3、 IVIX 計算方法

　　先計算近月和遠月波動率

　　以近月合約波動率為例

　　完成近月波動率σ1與次近月波動率σ2的計算之后，采用以下公式計算上證 50 ETF 波動率指數(shù)：

　　1.3、 已實現(xiàn)波動率(RV)

　　已實現(xiàn)波動率是針對頻率較高的數(shù)據(jù)計算的一種波動率，又稱為日內(nèi)波動率或高頻波動率。高頻數(shù)據(jù)是指以小時、分鐘或秒為采集頻率的數(shù)據(jù)。還有一類數(shù)據(jù)叫超高頻數(shù)據(jù)，即人們獲得的股票市場、外匯市場、期貨市場實時的每筆成交數(shù)據(jù)。超高頻數(shù)據(jù)的時間間隔是不一定相等的，具有時變性，它是交易過程中實時采集的數(shù)據(jù)，或稱逐筆數(shù)據(jù)(tick-by-tick data)。Garman & Klass(1980)提出了日內(nèi)波動率的一種估算方法—Ohlc；Andersen，Bollerslev(1998)提出使用日內(nèi)高頻股價數(shù)據(jù)，可以獲得對日波動率更精確的描述，并由此建立了一種基于高頻股價數(shù)據(jù)的已實現(xiàn)波動率測度方法。由于高頻數(shù)據(jù)中蘊含了比低頻數(shù)據(jù)更多的市場波動信息，因此基于高頻數(shù)據(jù)的波動率測度一定是一種更為真實的市場波動描述。已實現(xiàn)波動率的計算不需要復(fù)雜的參數(shù)估計方法，無模型、計算簡便，在一定條件下是積分波動率(已實現(xiàn)波動率的概率極限)的無偏估計量，近年來在高頻領(lǐng)域中獲得了廣泛的應(yīng)用。

　　1.4、 50ETF對應(yīng)的各種波動率

　　由于二月初的極端行情，VIX指數(shù)出現(xiàn)了大幅上漲，并在之后長期處于高位。

　　而HV保持穩(wěn)定的下降趨勢，RV則是從2月初極端行情過后就保持在低位。

　　1、 波動率的特征

　　1.1、 尖峰肥尾

　　六十年代早期以來，人們開始注意到資產(chǎn)收益具有尖峰分布的性質(zhì)，特別是 Mandelbrot(1963)、 Fama(1963， 1965)的發(fā)現(xiàn)。

　　其結(jié)果是，大量的論文應(yīng)用肥尾的獨立同分布，如Prantian分布或者Levy 分布，為資產(chǎn)收益建模。

　　2.1、 波動率群集 (clustering)

　　對金融時間序列的任何觀測都表明了高或低波動率時段的聚集。

　　事實上，波動率群集和資產(chǎn)收益肥尾是密切相關(guān)的，后者事實上是一個靜態(tài)的解釋。

　　而ARCH 模型的主要作用是給出了動態(tài)(條件)波動率行為和(無條件)肥尾間的正式聯(lián)系。

　　由Engle(1982)提出，并且此后獲得大量擴展的 ARCH 模型及 SV 模型，主要就是用于模擬波動率群集的。

　　2.2、 杠桿效應(yīng)

　　被Black(1976)稱為杠桿效應(yīng)的現(xiàn)象指股票價格運動和波動率呈負相關(guān)。

　　因為下跌的股票價格暗示公司財務(wù)杠桿提高，人們相信這意味著更多的不確定性及更高的波動率。

　　然而，Black(1976)， Christie(1982)及 Schwert(1989)的實證證據(jù)表明，杠桿效應(yīng)自身作用太小，不足以解釋股票價格中發(fā)現(xiàn)的不對稱性。

　　其他報告關(guān)于杠桿效應(yīng)的實證證據(jù)的還包括Nelson(1991)，

　　Gallant、 Rossi 和 Tauchen(1992， 1993)， Campbell 和 Kyle(1993)以及 Engle 和 Ng(1993)。

　　2.3、 長記憶性

　　一般來說，波動率是高度持續(xù)性的。特別是對于高頻率數(shù)據(jù)，證據(jù)表明條件方差過程具有接近單位根的行為。

　　在ARCH 文獻中，關(guān)于股票市場、商品、外匯和其它資產(chǎn)價格序列的 GARCH

　　模型的各種估計，是與IGARCH 設(shè)定相一致的。

　　同樣，對隨機波動率模型的估計顯示了相似的持續(xù)性模式(參見 Jacquier、 Polson 和 Rossi(1994))。

　　這些發(fā)現(xiàn)導致了一場爭論，即條件方差過程持久性的建模是通過單位根還是長期記憶過程。

　　2.4、 協(xié)同運動(comovement)

　　有大量的文獻是討論投機市場的跨國協(xié)同運動的。

　　資本市場的全球化是否提高了價格的波動率和股票收益的相關(guān)性已經(jīng)成為最近許多研究的主題，包括 von Fustenberg 和 Jean (1989)，

　　Hamao、 Masulis 和 Ng(1990)， King、 Sentatna 和 Wadhwani(1994)， Harvey、 Ruiz 和 Sentana(1992)以及 Lin、 Engle 和 Ito(1994)。

　　人們通常運用因子模型來模擬國際波動率的共同性，比如 Diebold 和 Nerlove(1989)， Harvey、 Ruiz 和 Sentana(1992)， Harvey， Ruiz 和 Shephard (1994)，或者探索所謂的共同特征，如 Engle 和 Kozicki (1993)，或共同趨勢，如 Bollerslev 和 Engle(1993)。

　　3、 隱含波動率微笑

　　3.1、 波動率微笑

　　如果市場中的期權(quán)價格滿足Black-Scholes 公式，則對應(yīng)于相同資產(chǎn)的各種期權(quán)的所有Black-Scholes隱含波動率將和標的資產(chǎn)的波動率參數(shù)σ 相一致。

　　但事實并非如此。

　　隱含波動率ω(t，t + h) 在很大程度上取決于日歷時間t、到期期限 h 和期權(quán)的貨幣性。

　　原因：

　　1。 標準BS模型假定標的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動。但是大量實證檢驗發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)實市場中，金融資產(chǎn)的收益率分布呈現(xiàn)尖峰肥尾的特征。這種分布下，收益率出現(xiàn)極端值的概率遠高于正態(tài)分布，而在公式中采用收益率正態(tài)分布的前提假設(shè)，會大大低估到期時期權(quán)價值變?yōu)閷嵵蹬c虛值出現(xiàn)的概率，相應(yīng)也低估了深度實值和深度虛值期權(quán)的價格。

　　2.BS模型忽略了現(xiàn)實市場上資產(chǎn)價格在一定沖擊下發(fā)生跳躍的可能。例如價格在期權(quán)臨近到期前發(fā)生跳躍，且交易方根據(jù)變化后的價格調(diào)整標的資產(chǎn)頭寸并持有到期，到期時復(fù)制組合與期權(quán)價值將可能出現(xiàn)較大偏差，使得期權(quán)一方面臨額外風險。這種風險無法分散化，空方必須要求相應(yīng)補償，造成期權(quán)市場價格對理論價格的溢價。

　　3。 深度虛值期權(quán)需求大于供給。深度虛值期權(quán)權(quán)利金低，獲利概率低，但收益率高，這種特性使得它具有很強的避險功能，適合對抗極端風險。市場對于深度虛值期權(quán)有一定的需求，而供給相對不足，虛值期權(quán)市場的流動性有限，從而推高了虛值期權(quán)的價格。

　　3.2、 隱含波動率微笑隨機模型

　　當 BS 隱含波動率被用來評估具有不同執(zhí)行價 K 和到期期限 h 的新期權(quán)時，這可能在期權(quán)定價和保值中產(chǎn)生偏差。

　　一般認為波動率的微笑效應(yīng)必須由隨機波動率模型來解釋。這有幾個理由：

　　首先，應(yīng)用隨機時變波動率模型來表示隨機時變BS 隱含波動率是很自然的。

　　其次，微笑下降的幅度是到期期限的函數(shù)，實際情況顯示，當?shù)狡谄谙拊黾訒r，波動率消除了條件異方差，從而減少微笑現(xiàn)象。

　　最后，偏度本身也可以被歸因于波動率過程的隨機特征以及該過程與價格過程(所謂的杠桿效應(yīng))的整體相關(guān)性。事實上，這個效應(yīng)對股票價格數(shù)據(jù)是很明顯的，但是對利率和匯率序列卻是很小的，這就是為什么微笑的偏度在以股票為標的期權(quán)時更常見。

　　關(guān)于解釋微笑及其偏度的其它論據(jù)(跳躍，交易成本，買賣差價，非同步交易，流動性問題， …)在理論上和實證上都應(yīng)加以考慮。例如，實證證據(jù)表明最昂貴的期權(quán)(微笑曲線的上部)也是最小流動性的期權(quán)；因此偏度或許可歸因于期權(quán)市場中流動性的特殊結(jié)構(gòu)形式。

　　3.3、 隱含波動率的期限結(jié)構(gòu)

　　Black-Scholes模型所預(yù)測波動率的期限結(jié)構(gòu)是平緩的。

　　事實上，當短期波動率很低的時候，實值期權(quán)的隱含波動率的期限結(jié)構(gòu)是向上傾斜的，反之則向下傾斜(Stein(1989))。

　　Taylor 和 Xu (1994)發(fā)現(xiàn)外匯期權(quán)隱含波動率的期限結(jié)構(gòu)每幾個月都要改變一次斜率方向。

　　Stein(1989)也發(fā)現(xiàn)中短期隱含波動率的實際敏感度比預(yù)測期限結(jié)構(gòu)得到的估計敏感度要更大一些，并且得出中期隱含波動率對信息具有過度反應(yīng)的結(jié)論。 Diz 和 Finucane(1993)運用不同的估計技術(shù)拒絕了過度反應(yīng)假設(shè)，同時報告了反應(yīng)不足的證據(jù)。

　　3.4、 隱含波動率曲面

　　隱含波動率ω(t，t + h) 在很大程度上取決于日歷時間t、到期期限 h 和期權(quán)的貨幣性。

　　我們可以通過插值的方法構(gòu)建波動率曲面，從直觀的角度了解隱含波動率。

　　4、 隱含波動率微笑模型

　　4.1、 Vanna-Volga模型

　　4.1.1、Vanna& Volga的定義

　　Vega衡量標的資產(chǎn)價格波動率變動時，期權(quán)價格的變化幅度，是用來衡量標的價格的波動率的變化對期權(quán)價值的影響。

　　Vanna表示Vega對標的價格變化的敏感度

　　Volga表示Vega對波動率變化的敏感度

　　4.1.2、 模型簡介

　　Vanna-Volga方法認為，不同行權(quán)價格的期權(quán)Vega，Vanna，Volga暴露不一，而這三個希臘字母風險正是導致期權(quán)價格偏離BS模型價格的原因。

　　通過構(gòu)建能夠?qū)_給定期權(quán)相對平值期權(quán)的Vega，Vanna，Volga變化的期權(quán)組合，我們就能通過復(fù)制成本確定期權(quán)的合理價格。

　　通過以上三個期權(quán)組合進行復(fù)制。

　　其中X_BS使用ATM波動率由BS模型得到。

　　4.1.3、VV模型套利

　　回測方法：

　　1。 初始資金 ：100萬。

　　2。 期權(quán)手續(xù)費 ：單邊2.5元/張，賣開免手續(xù)費。

　　3。 合約選擇 ：選定的合約

　　4。 策略操作 ：用vanna-volga模型刻畫隱含波動率為微笑，從中選取最被高估和最被低估的合約。

　　買入被低估的合約，賣出被高估的合約，調(diào)整合約配比使策略滿足delta中性。

　　5。 凈值結(jié)算 ：每日以收盤價結(jié)算凈值。

　　4.2、 SABR模型

　　4.2.1、模型簡介

　　SABR模型認為波動率與標的價格相關(guān)

　　SABR模型下的期權(quán)隱含波動率有近似解：

　　4.2.2、基于SABR模型的隱含波動率微笑

　　4.2.3、SABR模型套利

　　回測方法：

　　1。 初始資金 ：100萬。

　　2。 期權(quán)手續(xù)費 ：單邊2.5元/張，賣開免手續(xù)費。

　　3。 合約選擇 ：選定的合約

　　4。 策略操作 ：用SABR模型刻畫隱含波動率為微笑，從中選取最被高估和最被低估的合約。

　　買入被低估的合約，賣出被高估的合約，調(diào)整合約配比使策略滿足delta中性。

　　5。 凈值結(jié)算 ：每日以收盤價結(jié)算凈值。

　　4.3、 SVI模型

　　4.3.1、模型簡介

　　SVI模型直接對隱含波動率刻畫

　　波動率曲面無套利條件：

　　4.3.2、為什么用SVI模型？

　　SVI模型可直接用于刻畫期權(quán)隱含波動率微笑，模型對不同情況的隱含波動率微笑擬合效果都不錯。

　　同時，我們還需要提到另一個重要的模型，Heston模型。

　　其中：

　　Heston模型是一個經(jīng)典的隨機波動率模型，它考慮了波動率與標的資產(chǎn)價格回報之間的相關(guān)性。

　　相關(guān)性參數(shù)的刻畫尤為重要，它反映了價格變動的偏度，也很大程度上顯示了價格回報尖峰厚尾的特點。

　　但Heston模型有一個缺點，在于參數(shù)估計較為復(fù)雜，并且缺乏穩(wěn)定性。

　　Gatheral(2011)證明，隨著期權(quán)到期時間增長，SVI模型收斂到Heston隨機波動率模型。

　　而SVI模型參數(shù)估計速度快穩(wěn)定性高，非常適合用來擬合波動率微笑。

　　這就說明SVI模型理論上和實際應(yīng)用上都有較高的價值。

　　4.3.2、SVI模型的參數(shù)估計方法

　　運用Quasi-explicit方法做兩層參數(shù)估計

　　令

　　其中：

　　那么模型參數(shù)估計就變成了對a，d，c的線性參數(shù)估計(內(nèi)層)和對m，的非線性參數(shù)估計(外層)。

　　內(nèi)層通過SLSQP算法求解，外層通過Nelder-Mead算法進行估計。

　　4.3.4、基于SVI模型的隱含波動率微笑

　　4.3.5、SVI模型套利

　　回測方法：

　　1。 初始資金 ：100萬。

　　2。 期權(quán)手續(xù)費 ：單邊2.5元/張，賣開免手續(xù)費。

　　3。 合約選擇 ：選定的合約

　　4。 策略操作 ：用SVI模型刻畫隱含波動率為微笑，從中選取最被高估和最被低估的合約。

　　買入被低估的合約，賣出被高估的合約，調(diào)整合約配比使策略滿足delta中性。

　　5。 凈值結(jié)算 ：每日以收盤價結(jié)算凈值。

　　5、 波動率套利方法總結(jié)

　　我們發(fā)現(xiàn)，在看漲期權(quán)季月合約上進行波動率套利效果最佳。

　　在2015年，所有模型都能獲得不錯收益，而在之后，SABR與SVI模型逐漸失效。vanna-volga方法雖然在2015年表現(xiàn)并不突出，但它能夠2015~2018持續(xù)獲利，因此我們認為vanna-volga方法在三種方法中表現(xiàn)最優(yōu)。

　　值得一提的是，季月合約由于流動性有限，因此實際操作時可能因為沖擊成本過大而導致套利空間進一步壓縮，同時因為可成交量不足從而缺乏實際操作的吸引力。因此本報告的意圖更多的是為讀者一些波動率套利的方法論。

(責任編輯：DF302)