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▲什么是悖論。?Vsauce2 字幕：明白知識 假如我對你說：「我正在說謊?！?/span> 這句話是真話還是假話？ 如果你相信「我正在說謊」，那么這就是一句真話，而不是一句謊言?？扇绻皇侵e言，那我就沒有在說謊，就和「我正在說謊」自相矛盾了。 我們都知道，沒有人可以既說謊又不說謊，這個問題根本就是個悖論，用邏輯把我們套路了。 類似的悖論還有： 你能不能穿越回去殺掉你的祖父呢？ 想一想，如果你穿越回去殺掉了你的祖父，你的祖父就不能生出你的父親，也就不會有你了。如果你沒有出生，又怎么能穿越回去殺掉你的祖父呢？ 就我們?nèi)祟惉F(xiàn)在對時空知識的掌握程度而言，還真不能解答這個問題。 上述兩個悖論，都是形式邏輯上導(dǎo)致的矛盾，用美國哲學(xué)家、邏輯學(xué)家威拉德·馮·奧曼·蒯因（Willard Van Orman Quine）的話來說，它們都是「二律背反」（Antinomy），字面意思是「違反法則」。 ▲蒯因的證件照 作為20世紀(jì)最負(fù)盛名的哲學(xué)家 蒯因致力于研究邏輯學(xué)和哲學(xué)的關(guān)系 代表作《經(jīng)驗(yàn)論的兩個教條》 對流行已久的分析命題和綜合命題作出批判 康德在《純粹理性批判》中，曾指出二律背反所造成的困境：當(dāng)你面臨兩個完全相反的命題時，往往會發(fā)現(xiàn)無論如何證明，兩邊的邏輯同樣嚴(yán)整，卻怎么都得不出共識來。 ▲康德漫畫肖像 康德將那些引起我們爭論不休的問題，那些我們本身含混不清的概念都放入到「物自體」當(dāng)中，認(rèn)為那是我們永遠(yuǎn)無法知道的事情，使我們認(rèn)知的邊界。不過，不久之后，費(fèi)希特就對康德進(jìn)行了批判，認(rèn)為既然康德宣稱「物自體」是我們不可能認(rèn)識的，可說出這句話之后，不久意味著已經(jīng)對「物自體」這一事物有所認(rèn)識了嗎？ 于是，康德認(rèn)為，這些問題實(shí)際上是我們?nèi)祟悰]有能力解決的問題，屬于「物自體」的范疇。 一言以蔽之，無解。 但在蒯因看來，二律背反這一類悖論是真正的悖論。這些悖論將人類知識的邊界一展無遺，造成我們的「思想危機(jī)」，我們不得不去解決它。 比如，大名鼎鼎的英國哲學(xué)家羅素在1901年提出一個「理發(fā)師悖論」，讓當(dāng)時數(shù)學(xué)界的人們頭疼得要命： 有一個理發(fā)師，他聲稱「我只給那些不給自己刮臉的人刮臉」。 那么，他給不給自己刮臉呢？ 當(dāng)理發(fā)師這樣說的時候，就造成了一個困境。因?yàn)槿绻o自己刮臉了，他就是一個「給自己刮臉的人」，那么他就不能給自己刮臉。 可是，如果他不給自己刮臉，那么他就成了一個「不給自己刮臉的人」，那他就必須給自己刮臉了。 羅素的「理發(fā)師悖論」曾經(jīng)引起了一場深刻的數(shù)學(xué)危機(jī)。是的，這個悖論是看起來總刮過胡子的羅素，在研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，寫作《數(shù)學(xué)的原理》（ The Principles of Mathematics）時提出的。
理發(fā)師悖論看起來很淺顯，但當(dāng)用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)時，就會發(fā)現(xiàn)，事情可沒這么簡單。 具體而言，當(dāng)一個集合S被定義為所以不屬于S的元素組成，那么，S本身在這個集合內(nèi)嗎？要是按照定義來看，S不應(yīng)該在S內(nèi)；那要是S不在S之內(nèi)，那它就應(yīng)該屬于這個集合。 這個悖論直接動搖了羅素設(shè)想中的數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，他把自己難住了，以至于他寫了兩年的《數(shù)學(xué)的原理》被他自己稱為一本愚蠢的書。后來實(shí)在寫不下去了，就與他的老師阿爾弗雷德·諾思·懷特海（Alfred North Whitehead）另開爐灶，合作《數(shù)學(xué)原理》（Principia Mathematica）以取代前面工作。 但是以兩位大數(shù)學(xué)家之力，依然花了艱難的十年才完成這本書。這本書很厚，有2000頁，出版的時候劍橋大學(xué)出版社估算了下，要虧損600英鎊。于是，由出版社承擔(dān)了一半，皇家學(xué)會承擔(dān)了200英鎊，兩位作者一個人掏了50英鎊。羅素調(diào)侃自己，花了十年時間，賺了負(fù)50英鎊。而且，出版近50年后，按照羅素自己聽說的，完整讀完的人只有六個人。 一個小小悖論，飽含多少酸楚。 寫作《數(shù)學(xué)原理》的十年間，羅素悖論對羅素的煎熬到了難以描述的程度。有很長一段時間，他陷入了智力僵局，常常一整天對著一張白紙，一個字也寫不出來。甚至出現(xiàn)了厭世情緒，看見疾馳的列車，想臥軌了事。 被難住的不僅僅是羅素，還有另外一個邏輯主義的代表性人物，德國的戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege），他花了20年時間，構(gòu)建邏輯主義的數(shù)學(xué)大廈，寫了皇皇巨著《算術(shù)的基本原理》（Basic Laws of Arithmetic），就在第二卷馬上付印之時，接到了羅素的一封信，信里除了恭維弗雷格「在您的工作中我找到了我們時代據(jù)我所知最好的工作」以及「我在所有主要方面都完全贊同您」外，用很不起眼的一小段文字提到了已經(jīng)折磨羅素一段時間的羅素悖論。 果然，弗雷格也被徹底擊倒。貫穿他整個數(shù)學(xué)體系中最基礎(chǔ)的一個原理——第五基本規(guī)律——被羅素悖論直接顛覆。甚至可以說，如果不解決羅素悖論，他的《算術(shù)的基本原理》從根上被推翻。但是已經(jīng)完全來不及修改了，弗雷格只能在書后面加了一個附錄，誠實(shí)的寫出了自己的尷尬： 「對一位科學(xué)作者來說， 很少有東西能比自己的工作完成之后大廈的根基遭到動搖更為不幸了。 在本書付印在即的時候， 伯特蘭·羅素的一封信就將我推到了那樣的境地……」 在蒯因的歸類里，以上悖論所體現(xiàn)的悖論類型： 二律背反（Antinomy ），屬于最重要的類型。它所代表的是人類知識的邊界。人類如果能解決之，則必然意味著人類知識上的突破。 文章前面附的視頻里，視頻小哥也舉了一個更淺顯的例子來說明二律背反（Antinomy ）對人類知識的重要性。 我們現(xiàn)有的地質(zhì)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，我們遠(yuǎn)古時期的地球上，已經(jīng)出現(xiàn)液態(tài)海洋和萌芽的生命。但就我們所掌握的關(guān)于恒星的知識來看，數(shù)十億年前的太陽，所釋放的熱量不像現(xiàn)在這么大（關(guān)于太陽的過去與未來，請點(diǎn)擊閱讀《人類應(yīng)該對未來恐懼嗎？》），也就不足以讓處于冰凍狀態(tài)的地球解凍。矛盾之處在于，假如沒有足夠熱的太陽融化冰，地球上怎么會有液態(tài)水呢？ 顯而易見，在對太陽的認(rèn)識以及對遠(yuǎn)古地球的認(rèn)識產(chǎn)生矛盾時，我們沒有足夠知識去判斷，這兩者哪個真哪個假。所以這樣的一個二律背反的矛盾，我們無法判斷出真假，如同羅素面對羅素悖論時無法簡單肯定或否定一樣。歸根到底，是我們的認(rèn)識不足。 要解決二律背反（Antinomy ），別無他法，只有升級人類知識才有可能。 正如蒯因1961年在《悖論的方式》一文中所指出： 「當(dāng)然，一個二律背反悖論帶來的沖擊，除了對舊概念修改舍棄外，無法解決?！?/span> （An antinomy, however, packs a surprise that can be accommodated by nothing less than a repudiation of part of our conceptual heritage.） 反過來說，一旦人類知識增長了，二律背反（Antinomy）所代表的矛盾，被人類理解了，人類有能力對之下真假斷言了，那么，按照蒯因的分類，對人類來說，一個二律背反（Antinomy）悖論，就轉(zhuǎn)化成了另外兩種類型的悖論：「Falsidical Paradox」與「Veridical Paradox」。 「Falsidical Paradox」，即證假式悖論，看似悖論，其實(shí)命題是假的； 「Veridical Paradox」，即證真式悖論，看似悖論，其實(shí)命題是真的。 典型的證假式悖論（falsidical Paradox），是大數(shù)學(xué)家德·摩根（ Augustus De Morgan）的2=1悖論。 假設(shè) ? ? ? 2=1 這些證明步驟看似合情合理，但結(jié)論2=1顯然荒謬。 原因出在推理的第二步，兩邊同時除以（ 所以只要知識足夠，我們就有能力對看似悖論的命題下斷言。 對于證假式悖論（falsidical Paradox），更經(jīng)典的例子是折磨人類上千年的芝諾悖論（Zeno's Paradox）。 芝諾是2000年前的希臘哲學(xué)家： 芝諾聲稱，希臘神話中跑得最快的英雄阿基里斯也不可能追上烏龜。假如讓烏龜先走了一段路，阿基里斯想要追上烏龜，就勢必要先追上龜曾經(jīng)停留的那個點(diǎn)，而當(dāng)阿基里斯到達(dá)那個點(diǎn)之后，烏龜也繼續(xù)走了一段路。 這樣下去，每當(dāng)阿基里斯追上烏龜上次到達(dá)的點(diǎn)時，烏龜就都又走出了一個新點(diǎn)。 所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜。
▲如圖所示，阿基里斯達(dá)到烏龜?shù)牧粝碌奈恢脮r 烏龜又走出了新的一段距離 是不是很難以接受？ 即便是你我，在現(xiàn)實(shí)中都不可能跑不過烏龜?？芍ブZ那個時代的人（包括芝諾），就是沒法在理論上解決芝諾悖論。 真正解決芝諾悖論，還是靠人類知識的增長，對「無限」或「無窮」概念的理解：無限個數(shù)字相加，可以等于一個有限數(shù)字。 這是違反人類感性直覺的知識。 假如阿基里斯想要到達(dá)烏龜?shù)钠鹋茳c(diǎn)，他要先跑過這段路的1/2，為了到達(dá)這1/2，他又要先到達(dá)這1/2的1/2，也即是1/4，以此類推，他需要一直跑啊跑，過程中有無數(shù)個點(diǎn)等著他。 看起來，他真的永遠(yuǎn)無法跑過龜。 問題在于，這無數(shù)個點(diǎn)1/2 1/4 1/8 1/16 1/32...... 一直加下去，最后加起來，并不是一個無窮大的數(shù)，而是等于1！ 也即是說，無窮多的數(shù)字加起來可以是一個有限的值，阿基里斯可以輕松的到達(dá)這個距離，芝諾想破腦袋也想不出來。 微積分發(fā)明后，人們意識到「無限」這個概念，芝諾悖論完全可以用收斂級數(shù)來解決。 芝諾悖論、2=1悖論，都看上去為真，實(shí)際上為假。在區(qū)分這類證假式悖論（falsidical paradox）時，蒯因指出： 「證假式悖論雖讓人意外，但只要我們能找到悖論潛藏的謬誤，就不過虛驚一場。」 （A falsidical paradox packs a surprise, but it is seen as a false alarm when we solve the underlying fallacy. ） 它與二律背反（Antinomy）的區(qū)別在于，對于二律背反（Antinomy），我們沒有足夠的知識去判斷真假，而證假式悖論，我們已經(jīng)有了足夠知識，之所以會出現(xiàn)悖論，其實(shí)是悖論背后隱藏的知識與人類的直覺相逆。 是不是感覺像遇到了魔術(shù)表演？都欺騙了我們的直覺感官，但其實(shí)是假的。 罪魁禍?zhǔn)资恰笩o限」這個超越日常認(rèn)知的概念。 圍繞「無限」的概念，還可以構(gòu)造出相反類型的悖論，即前面提到的證真式悖論（veridical paradox），此時命題看似不正確，其實(shí)為真。 比如，我要問你： 自然數(shù)和偶數(shù)哪個更多？ 也許你會說，當(dāng)然是自然數(shù)多，因?yàn)樗菑?開始，然后1、2、3、4、5、6......這樣連續(xù)排列下去的。 偶數(shù)雖然也是從0開始，卻是0、2、4、6、8......這樣排列下去的。自然數(shù)除了偶數(shù)外，還包括1、3、5、7......等奇數(shù)，所以自然數(shù)顯然比偶數(shù)多。 是這樣嗎？ 伽利略偏偏認(rèn)為，要是我們將這兩個數(shù)列一一對應(yīng)，也就是將自然數(shù)的0對應(yīng)偶數(shù)的0，將自然數(shù)的1對應(yīng)偶數(shù)的2，以此類推的話，那么它們最終是一樣多的。
這個悖論也稱為「伽利略悖論」（Galileo's Paradox）。這個命題看似荒謬，卻是正確的。奧秘就在于「無限」或「無窮」。 數(shù)學(xué)上，對無窮的準(zhǔn)確理解，是通過集合論來研究的。無窮集的特征，即在于它的部分與總體擁有同樣多的元素。 這在今日已是數(shù)學(xué)上的常規(guī)認(rèn)識，并且有非常廣泛的應(yīng)用，但在伽利略年代，卻是驚世駭俗之論。有些宗教上的認(rèn)識甚至認(rèn)為，對無窮的理解與運(yùn)用侵犯了上帝領(lǐng)域。 同樣，只有對無限有認(rèn)知，才能理解「希爾伯特旅館悖論」： 論假設(shè)有一個旅館，這個旅館有無數(shù)多個房間，并且住滿了客人。有一天，又有無數(shù)多個人來到了這個旅館，問題是，他們能夠住下嗎？ 直覺上，是不是覺得沒法兒住下呢？ 來看看德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert ）的答案。 希爾伯特認(rèn)為，即使有無數(shù)多個人，仍然能夠住下。既然旅館有無數(shù)多個房間，那就讓每一個現(xiàn)在住在旅館的1號房間的人挪到2號，住在2號房間的人挪到4號，這樣住在n號房間的客人住到2n號，以此類推，最終就可以塞下新來的無數(shù)多個人了。 是不是很神奇？ 伽利略悖論、希爾伯特悖論，都是貌似為假，其實(shí)為真，這類悖論被蒯因統(tǒng)稱為「verdical paradox」，或者說證真式悖論， 蒯因這樣評價： 「證真式悖論確令人意外，但一旦我們明白了如何論證，這種意外馬上就煙消云散了?！?/span> （A veridical paradox packs a surprise, but the surprise quickly dissipates itself as we ponder the proof.） 生活當(dāng)中，不乏證真式悖論（verdical paradox）。其實(shí)就是我們不夠聰明，或者反應(yīng)不夠快，沒能理解透背后的道理，只跟著感覺走，結(jié)果做出錯誤判斷。 舉個例子，假設(shè)你去參加一個電視節(jié)目，最后的PK環(huán)節(jié)，主持人讓你從三扇門中選一個：其中一扇門后是獎品，一輛汽車，選對了，你就可以開著車回家；剩下兩扇門后面是兩只羊，用來嘲諷你的。 當(dāng)你選擇了一扇門時，主持人會打開另外兩扇門中的一扇，你發(fā)現(xiàn)這扇門后面是一只羊。這時候，主持人問你，要不要改選？ 你會如何選才能更高概率拿到高價值的車呢？ 乍看之下，羊、車是隨機(jī)分布。剩下兩個門，一個后面是車、一個后面是羊，那車在其中某個門后面的概率應(yīng)該一樣，都是1/2。所以改選不改選，結(jié)果概率一樣。所以，似乎沒有改選必要。 但果真如此嗎？ 假如你一開始選中門A，只有三種可能，要么是車，要么是羊I，要么是羊II。 情況1：門A里是車，此時不管主持人選擇哪個門里面的羊，你改選的結(jié)果都是羊； 情況2：門A里是羊I，此時主持人選擇門后有羊II的給你看，剩下的門后面是車，假如你改選的話，結(jié)果是把車開回家； 情況3：門A里是羊II，此時主持人選擇門后有羊I的給你看，剩下的門后面是車，假如你改選的話，結(jié)果是把車開回家。 瞧瞧，三種情況下，有兩種情況改選有利，改選有利的概率是2/3。 這三扇門造成的選擇困難癥，其實(shí)就是著名的蒙提·霍爾悖論（Monty Hall problem，又稱三門悖論），這一悖論來源于美國電視節(jié)目《讓我們做個交易》（Let’s Make a Deal ）。
▲蒯因在《悖論的方式及其他論文》這本書里 總結(jié)了三種類型的悖論及其關(guān)系 資料：The Ways of Paradox and Other Essays 出版社：Harvard University Press 出版時間：1976 回過頭來看看提到的三類悖論，多有意思啊。 ◆二律背反：代表著人類知識的邊界。既無法判斷為真，也無法判斷為假，原因是我們?nèi)祟愃莆盏闹R不夠；一旦相關(guān)知識邊界被人類突破，「二律背反」悖論就演變?yōu)椤缸C假式」悖論或者「證真式」悖論。 ◆證假式悖論：看起來為真，實(shí)際為假的悖論。往往是悖論所隱藏的知識，與人類直覺悖逆，所以讓我們誤以為真。 ◆證真式悖論：看起來為假，實(shí)際為真的悖論。我們覺得這個悖論反常識，恰恰是我們的常識不可靠。 無論證真式還是證假式悖論，都并非真正的悖論，倒更類似我們?nèi)祟惖乃季S體操：讓我們?nèi)徱曃覀兊某ＷR。這類悖論，引發(fā)我們的好奇心、探索心，最終讓我們個人的知識得到增長或補(bǔ)漏。 人類的惰性之一，就是愿意呆在舒適區(qū)不動。而悖論，除非你視而不見，否則，就跟釘子一樣，讓你不得不跳出日常依賴之常識的舒適區(qū)，去突破自己的知識邊界，去運(yùn)用理性迭代知識。 這算是悖論的奇妙之處吧。 正如康德的名言那樣：要有勇氣運(yùn)用你自己的理智。■ ▽歡迎閱讀更多往期精彩文章▽ ?理解市場自由，必須要讀這篇經(jīng)典文獻(xiàn)
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——— / 來，測測你的底線 / ——— 我們討論了悖論的三種類型，提到了悖論所代表的人類知識的邊界，以及我們平素習(xí)以為常的常識可能未必可靠。但還有一類悖論，更有意思，也更折磨，可稱之為倫理悖論。除了電車難題外，還有下面這個我們想問學(xué)友的悖論。 你抓住了一位恐怖分子，他自制的三個核彈已經(jīng)爆炸了一顆，造成了巨大的傷亡?，F(xiàn)在你有機(jī)會拷問他其他兩個炸彈的下落。你會如何做？會選擇酷刑嗎？ 我知道，很難選，誰讓我們在道德上有自我要求呢。
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