在數(shù)學中，勾股定理建立起了'數(shù)'與'形'的完美結(jié)合，在初中數(shù)學中有著廣泛的應用，涉及到問題的方方面面，是解決有關計算，證明含有平方關系的幾何問題，以及最短問題，折疊問題等的有力武器，應引起同學們足夠的重視，下面結(jié)合例題一一說明.

一.利用勾股定理求線段長

1.如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，點D為AC邊的中點，過D點作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，F(xiàn)C=3，求EF的長.

【分析】由于D是等腰三角形ABC斜邊AC的中點，想到'三線合一'所以連接BD，如圖

則BD⊥AC，∠ADB=∠CDB=90°，AD=BD，又DE⊥DF，∴∠EDF=90°，∴∠ADE=∠BDF，易知∠A=∠DBF=45°，∴△ADE≌△BDF，∴AE=BF=4，而FC=3，∴AB=BC=7，∴BE=3，在Rt△EBF中，由勾股定理得EF2=BE2+BF2，∴EF=5.

2.如圖，一只螞蟻若沿長方體表面從A點爬到B'點所行路程最短為多少？(AC=2㎝，AA'=4cm，BC=1㎝).

【分析】本題運用轉(zhuǎn)化的思想，是最短行程問題，從A點到B'點有三種走法，依據(jù)兩點間線段最短，根據(jù)勾股定理求出最短路程.①如圖①，沿AC，BC，AA'，A'C'，B'B，C'B'剪開展為一個平面圖形，在AA'B'這一直角三角形中，求得AB'2=25㎝;②如圖②，沿AC，CC'，C'B'，D'A'，AA'，B'D'剪開展為一個平面圖形，在AD'B'這一直角三角形中，求得AB'2=29;③如圖③，沿AD，DD'，B'D'，C'B'，C'A'，AA'剪開展為一個平面圖形，在AC'B'這一直角三角形中，求得AB'2=37，分析比較得AB'最短為5㎝.

3.如圖，折疊長方形一邊AD，使點D落在BC上點F處，AB=8㎝，BC=10㎝，求EC的長.

【分析】本題屬折疊問題，方法是設出未知數(shù)，表示相關的量，進而利用勾股定理列方程求解.設EC為x㎝，則DE=8一x=EF，而由折疊知AF=AD=10，∴在Rt△ABF中，由勾股定理求得BF=6㎝，∴CF=4㎝，在Rt△ECF中，EC2+CF2=EF2，即x2+42=(8一x)2，解得x=3，∴EC長為3㎝.

4.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，點B關于CD的對稱點為B'且GB'⊥B'C，交AC于G，若AB=5，BC=3，求AG的長.

【分析】在Rt△ACB中，AB=5，BC=3，由勾股定理得，AC=4，又CD⊥AB，點B關于CD的對稱點為B'，∴B'C=BC=3，∠B=∠CB'B，而∠A+∠B=90°，∠GB'A+∠CB'B=90°，∴∠A=∠GB/A，∴AG=B'G，設AG=x，則CG=4一x，在Rt△GB'C中，GB'2+B'C2=CG2，即x2+32=(4一x)2，解得x=7/8，即AG長為7/8.

二.利用勾股定理證明線段之間的平方關系

5.如圖，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于點P，求證:BP2=BC2+AP2.

【分析】此類題一般都是利用勾股定理，結(jié)合圖形的特點進行推導，幾何題用代數(shù)法進行證明，體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合，本題BP邊必須處在一個直角三角形中，所以連接BM，如圖

則在Rt△BPM中，BP2=BM2一MP2，而在Rt△BCM中BM2=BC2+CM2，∴BP2=BC2+CM2一MP2，而AM=CM，∴BP2=BC2+AM2一MP2，在Rt△APM中，AM2一MP2=AP2，∴BP2=BC2+AP2.

6.如圖，在△ABC中，AB=AC，P是BC邊上任意一點，連接AP，求證:AC2=AP2+CP×BP.

【分析】要證線段間的平方關系，應用勾股定理，應構(gòu)建直角三角形，所以過點A作AD⊥BC于D，D為垂足，如圖

由于AB=AC，∴BD=DC，在Rt△AD中，AC2=AD2+DC2，在Rt△APD中，AD2=AP2一PD2，∴AC2=AP2一PD2+DC2=AP2+(DC+PD)(DC一PD)=AP2+CP(DC一PD)，而DC=BD，∴AC2=AP2+CP×BP.

7.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上任意一點，求證:BD2+CD2=2AD2.

【分析】由題知△ABC為等腰直角三角形，想到三線合一出直角，所以過A點作AE⊥BC于E，E為垂足，如圖

則AE=BE=CE，證題時步步向結(jié)論靠近，∵BD2=(BE一DE)2=(AE一DE)2=AE2一2AE×DE+DE2，CD2=(CE+DE)2=(AE十DE)2=AE2+2AE×DE十DE2，∴BD2+CD2=2AE2十2DE2=2AD2.這里巧用完全平方公式進行了轉(zhuǎn)換.

8.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，設AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，求證:①1/a2+1/b2=1/h2，②a+b<c+h，③以a+b，h，c+h為邊長的三角形是直角三角形.

【分析】①左邊通過運算，結(jié)合勾股定理，結(jié)論中有了高h，則要用到面積公式，∴1/a2十1/b2=(a2+b2)/a2b2=c2/a2b2，而ab/2=ch/2，∴a2b2=c2h2，∴1/a2+1/b2=1/h2.

②是比較大小，需運用勾股定理結(jié)合完全平方公式進行推證，∵(a十b)2=a2十b2+2ab=c2+2ab，又ab=ch，∴(a+b)2=c2+2ch<c2+2ch+h2=(c十h)2，∴a十b<c十h.

③由上知c十h最大，∵(a十b)2=a2十b2+2ab，∴(a+b)2+h2=a2+b2+2ab十h2=c2+2ch+h2=(c+h)2，∴以a+b，h，c+h為邊長的三角形是直角三角形.

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