相似三角形在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，一直是非常重要的知識板塊，很多疑難壓軸題，只要用好相似這一塊知識內(nèi)容，都能順利解決問題。

我們知道，要確定兩三角形是否相似，除了圖形位置要確定，對應(yīng)邊確定或?qū)?yīng)角確定時，更需要把對應(yīng)點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置。若由于對應(yīng)關(guān)系不確定，相關(guān)的問題往往就會有多解可能，常常需要我們進(jìn)行分類討論，如以相似三角形中對應(yīng)關(guān)系不確定為背景的壓軸題一直是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。

典型例題分析1：

某課題學(xué)習(xí)小組在一次活動中對三角形的內(nèi)接正方形的有關(guān)問題進(jìn)行了探討：

定義：如果一個正方形的四個頂點(diǎn)都在一個三角形的邊上，那么我們就把這個正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形．

結(jié)論：在探討過程中，有三位同學(xué)得出如下結(jié)果：

甲同學(xué)：在鈍角、直角、不等邊銳角三角形中分別存在個、個、個大小不同的內(nèi)接正方形．

乙同學(xué)：在直角三角形中，兩個頂點(diǎn)都在斜邊上的內(nèi)接正方形的面積較大．

丙同學(xué)：在不等邊銳角三角形中，兩個頂點(diǎn)都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小．

任務(wù)：（1）填充甲同學(xué)結(jié)論中的數(shù)據(jù)；

（2）乙同學(xué)的結(jié)果正確嗎？若不正確，請舉出一個反例并通過計(jì)算給予說明，若正確，請給出證明；

（3）請你結(jié)合（2）的判定，推測丙同學(xué)的結(jié)論是否正確，并證明．

考點(diǎn)分析：

相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。

題干分析：

（1）分別畫一下即可得出答案；

（2）先判斷，再舉一個例子；例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，則得到AC的值．

（3）先判斷，再舉一個例子：設(shè)△ABC的三條邊分別為a，b，c，不妨設(shè)a＞b＞c，三條邊上的對應(yīng)高分別為ha，hb，hc，內(nèi)接正方形的邊長分別為xa，xb，xc．

解題反思：

本題是一道難度較大的題目，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，舉出例子是解此題的關(guān)鍵．

對于中考數(shù)學(xué)，后面的大題，特別是壓軸題，要想順利解決問題，這是一個比較復(fù)雜的思維過程，要想解決此類問題則必須搞清全過程中的每一個環(huán)節(jié)。

典型例題分析2：

如圖是小紅設(shè)計(jì)的鉆石形商標(biāo)，△ABC是邊長為2的等邊三角形，四邊形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．

（1）證明：△ABE≌△CBD；

（2）圖中存在多對相似三角形，請你找出一對進(jìn)行證明，并求出其相似比（不添加輔助線，不找全等的相似三角形）；

（3）小紅發(fā)現(xiàn)AM=MN=NC，請證明此結(jié)論；

（4）求線段BD的長．

考點(diǎn)分析：

相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性質(zhì)；證明題．

題干分析：

（1）由△ABC是等邊三角形，得AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°，由四邊形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，利用“SAS”判定△ABE≌△CBD；

（2）存在．可利用AB∥CD或AE∥BC得出相似三角形；

（3）由（2）的結(jié)論得AN/CN=AB/CD=2，即CN=AC/3，同理，得AM=AC/3，可證AM=MN=NC；

（4）作DF⊥BC交BC的延長線于F，在Rt△CDF中，由∠CDF=30°，CD=AE=1，可求CF，DF，在Rt△BDF中，由勾股定理求BD．

解題反思：

本題考查了相似三角形．全等三角形的判定與性質(zhì)，特殊三角形，等腰梯形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形，等腰梯形的特殊性質(zhì)得出平行線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題．

相似圖形一直是現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的現(xiàn)象，在很多領(lǐng)域都需要用到相似這一塊知識內(nèi)容。因此，探索并證明相似圖形的一些重要性質(zhì)，不僅可以使學(xué)生更好地認(rèn)識、描述物體的形狀，體會、理解圖形的相似在刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的作用、意義，而且還可以通過解決現(xiàn)實(shí)世界中的具體問題，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。

典型例題分析3：

如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段DC上的動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合），連接BP．將△ABP繞點(diǎn)P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，連接AA1，射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點(diǎn)E、F．

（1）如圖1，當(dāng)0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在關(guān)系（填“相似”或“全等”），并說明理由；

（2）如圖2，設(shè)∠ABP＝β．當(dāng)60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)α＝60°時，點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合．已知AB＝4，設(shè)DP＝x，△A1BB1的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

考點(diǎn)分析：

相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；綜合題。

題干分析：

（1）通過證明∠PAE＝∠EBF，結(jié)合公共角證明即可；

（2）易得：△BEF∽△AEP，結(jié)合一組對應(yīng)邊相等的相似圖形全等，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知；

（3）連接BD，交A1B1于點(diǎn)G，過點(diǎn)A1作A1H⊥AC于點(diǎn)H．根據(jù)三角形的面積公式可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

解題反思：

此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)；利用等邊三角形的性質(zhì)去探究相似三角形和全等三角形，利用相似三角形和全等三角形的性質(zhì)解決題目的圖形變換規(guī)律是非常重要的，要注意掌握．