在上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了泰勒中值定理1和2，今天繼續(xù)講解泰勒公式的其它用法。在學(xué)習(xí)泰勒公式前我們先講下此章節(jié)的內(nèi)容與難點(diǎn)。

微分學(xué)理論的最一般情形是泰勒公式，它建立了函數(shù)增量、自變量增量與一階及高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，因而可以用導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)。拉格朗日中值定理是泰勒公式的特殊情形。

要學(xué)會(huì)用泰勒公式首先要學(xué)會(huì)如何求泰勒公式，要熟練掌握基本函數(shù)：e^x,sinx,cosx,ln(1+x),(1+x)^v等的泰勒公式，由泰勒公式的唯一性會(huì)用這些泰勒公式求得某些函數(shù)的泰勒公式。

要學(xué)會(huì)用泰勒公式處理某些問(wèn)題，如求某些未定式的極限，確定無(wú)窮小的階，證明函數(shù)不等式及證明函數(shù)或它的導(dǎo)數(shù)存在某種特征點(diǎn)。

一.帶佩亞諾余項(xiàng)與拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒公式

(一)帶佩亞諾余項(xiàng)的n階泰勒公式

列題1.在x=0點(diǎn)展開(kāi)下列函數(shù)至括號(hào)內(nèi)的指定階數(shù)

(1)f(x)=e^x*cosx (x^3)

分析：由已知的泰勒公式，通過(guò)適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算而求得

(2)f(x)=e^sinx (x^3)

在上述的求解中要注意無(wú)窮小量階的運(yùn)算性質(zhì)。

(二)帶拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒公式

求下列函數(shù)f(x)在x=0處帶拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒公式：

(1)f(x)=(1-x)/(1+x)

(2)f(x)=e^x*sinx

求帶拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒公式，實(shí)質(zhì)上要求n階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，可用我們?cè)诘诙聦W(xué)習(xí)的方法求解。

這里面強(qiáng)調(diào)下：當(dāng)xo=0時(shí)的泰勒公式又稱為麥克勞林公式。

二.帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的求法

(一)泰勒公式的唯一性

泰勒公式的唯一性定理表明：不論用何種方法求得公式(4.6)，它一定是f(x)在x=xo的n階泰勒公式。這使得我們可以不通過(guò)計(jì)算f(x)在xo的各階導(dǎo)數(shù)來(lái)求得f(x)的泰勒公式。

(二)求泰勒公式的方法

1.直接求法

通過(guò)求f(xo),f'(xo),.....f^(n)(xo)而求得f(x)的n階泰勒公式，如求以下初等函數(shù)的泰勒公式；

這里面請(qǐng)大家注意：角度∈(0,1)

2.間接求法

利用已知的泰勒公式，通過(guò)適當(dāng)運(yùn)算而求得f(x)的泰勒公式，具體有以下方法：

2.1四則運(yùn)算

注意：在我們用四則運(yùn)算來(lái)求題目中的麥克勞林公式時(shí)，在利用已知的基本初等函數(shù)的泰勒公式求另外一些初等函數(shù)的泰勒公式時(shí)，要熟悉無(wú)窮小量階的運(yùn)算（第一章已經(jīng)學(xué)過(guò)），我們常用以下階的運(yùn)算規(guī)律：設(shè)n,m為正數(shù)，則

2.2復(fù)合運(yùn)算(變量替換)

2.3逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分

基本初等函數(shù)的麥克勞林公式希望大家能夠記在心里，不論理解與否都要把它記住，因?yàn)檫@在我們?cè)谟?jì)算泰勒公式以及前面所講到的極限、無(wú)窮小、導(dǎo)數(shù)等等題目都非常有幫助，有些題目拿到手直接用泰勒公式會(huì)比你想象中的還要簡(jiǎn)單，可能你需要通過(guò)大量的計(jì)算才能得到正確答案，而有些同學(xué)直接就可寫出正確答案，如果正確的運(yùn)用泰勒公式，需要同學(xué)們認(rèn)真的理解定義定理，適用范圍。題做百遍，其義自現(xiàn)，希望大家能夠很好的把握這一章節(jié)。

下節(jié)課我們學(xué)習(xí)一元函數(shù)泰勒公式的若干應(yīng)用。(收藏關(guān)注下)