地球到底是什么樣的？公元前6世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯率先提出了“地圓說(shuō)”。他在觀察月食時(shí)，發(fā)現(xiàn)大地在月球上的投影是圓的，所以認(rèn)為大地是完整的圓球體。他首次提出了“地球”這一概念。然而當(dāng)時(shí)的人只能依靠推理和想象，沒(méi)有機(jī)會(huì)見到地球的真面目。現(xiàn)在大家想要親眼見一見地球，除了把玩地球儀，也可以攤開世界地圖，遍覽七洲四洋。不過(guò)世界地圖真的只有平常見到的那一種模樣么？“遠(yuǎn)看成嶺側(cè)成峰”，通過(guò)不同的角度去觀察地球，她的風(fēng)景自然也是不同的。如圖1-1所示，這兩幅地圖與我們平日里所見的世界地圖非常不同。

圖1-1 左為亞爾勃斯投影的世界地圖 右為彭納投影的世界地圖

為什么同一個(gè)地球卻能有這么多不同的地圖表達(dá)呢？眾所周知，地球是一個(gè)三維的橢球體，并且地球表面是不可展開面，而地圖是一個(gè)二維平面。將三維的地球表面映射到二維平面的過(guò)程就是地圖的投影。在投影過(guò)程中我們希望地圖可以保持形狀，距離和面積關(guān)系與地球表面完全相同。不幸的是，可以證明沒(méi)有并且永遠(yuǎn)不會(huì)有這樣一個(gè)完美的投影：由于空間維度的降低，每一種投影都必然會(huì)扭曲至少部分映射區(qū)域，如圖1-2所示。因此，為不同的地圖應(yīng)用來(lái)設(shè)計(jì)和選擇最合適的地圖投影是一門權(quán)衡的藝術(shù)和科學(xué)。

圖1-2果皮提供了地圖中扭曲的經(jīng)典演示：

除非壓縮，拉伸或撕裂，否則它不能完全展平。

由于地圖投影是按照一定的數(shù)學(xué)法則將三維地球表面投影轉(zhuǎn)換到二維平面地圖上去。因此我們需要在三維地球和二維地圖上各自建立坐標(biāo)系去定量描述每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即建立起地面某點(diǎn)的地理坐標(biāo)與投影后的笛卡爾平面直角坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，如圖2-1所示。投影的一般公式為： 

從公式中可以看出，計(jì)算平面直角坐標(biāo)需要明確兩個(gè)方面：地理坐標(biāo)和投影函數(shù)F。地理坐標(biāo)由大地測(cè)量坐標(biāo)系決定，對(duì)于同一地理位置，在不同的地理坐標(biāo)系中它的經(jīng)緯度坐標(biāo)也是不同的，而函數(shù)關(guān)系由地圖投影方式?jīng)Q定，一般是選擇最貼合某一區(qū)域、扭曲變形最小的地圖投影。

圖2-1 三維地球表面投影到二維地圖

1、地理坐標(biāo)系的定義

地理坐標(biāo)系 (Geographic coordinate system, GCS) 使用三維球面來(lái)定義地球上的位置。地理坐標(biāo)系常常被誤稱為基準(zhǔn)面，而基準(zhǔn)面僅是地理坐標(biāo)系的一部分。地理坐標(biāo)系包括角度測(cè)量單位、本初子午線和基準(zhǔn)面（基于旋轉(zhuǎn)橢球體）。

（1）角度測(cè)量單位

角度測(cè)量單位通常使用度或者百分度，如圖2-2左圖所示，每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值由其經(jīng)度和緯度值確定。圖2-2右圖將地球顯示為具有經(jīng)度和緯度值的地球，紅色的水平線（或東西線）是等緯度線或緯線，藍(lán)色的垂直線（或南北線）是等經(jīng)度線或經(jīng)線。這些線包絡(luò)著地球，構(gòu)成了一個(gè)稱為經(jīng)緯網(wǎng)的格網(wǎng)化網(wǎng)絡(luò)。

圖2-2 地理坐標(biāo)系與經(jīng)緯網(wǎng)

（2）本初子午線

本初子午線又稱為零經(jīng)度線，對(duì)于絕大多數(shù)地理坐標(biāo)系，本初子午線是指通過(guò)英國(guó)格林尼治的經(jīng)線，如圖2-3所示。其他國(guó)家/地區(qū)使用通過(guò)伯爾尼、波哥大和巴黎的經(jīng)線作為本初子午線。位于兩極點(diǎn)中間的緯線稱為赤道。經(jīng)緯網(wǎng)的原點(diǎn) (0,0) 定義在赤道和本初子午線的交點(diǎn)處。這樣，地球就被分為了四個(gè)地理象限，它們均基于與原點(diǎn)所成的羅盤方位角。赤道的下方和上方分別為南半球和北半球，而本初子午線的左側(cè)和右側(cè)分別為西半球和東半球。

通常，經(jīng)度和緯度值以十進(jìn)制度為單位或以度、分和秒 (DMS) 為單位進(jìn)行測(cè)量。緯度值相對(duì)于赤道進(jìn)行測(cè)量，其范圍是 -90°（南極點(diǎn)）到 +90°（北極點(diǎn)）。經(jīng)度值相對(duì)于本初子午線進(jìn)行測(cè)量。其范圍是 -180°（向西行進(jìn)時(shí)）到 180°（向東行進(jìn)時(shí)）。如果本初子午線是格林尼治子午線，則對(duì)于位于赤道北部和格林尼治東部的中國(guó)，其經(jīng)度和緯度都為正值。

圖2-3 格林尼治本初子午線

（3）大地水準(zhǔn)面、參考橢球體、大地基準(zhǔn)面的三級(jí)逼近

到目前為止，我們認(rèn)為地球是一個(gè)完美的球體，但事實(shí)并非如此。地球不僅在兩極處變得扁平，而且其表面也是不規(guī)則的，因此我們采用大地水準(zhǔn)面（Geoid）來(lái)描述地球真實(shí)輪廓，它是一個(gè)假想的由地球自由靜止的海水平面擴(kuò)展延伸而形成的閉合曲面，也是海拔高程系統(tǒng)的起算面。

大地水準(zhǔn)面是真實(shí)地球表面的第一級(jí)逼近，這種方法的優(yōu)點(diǎn)是非常接近自然地球的形狀和大小，并且位置比較穩(wěn)定。然而同樣，大地水準(zhǔn)面很難通過(guò)數(shù)學(xué)公式進(jìn)行表達(dá)，為了計(jì)算與研究的方便，我們采用一個(gè)規(guī)則的參考橢球體來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)大地水準(zhǔn)面的數(shù)學(xué)逼近，如圖2-4所示。

圖2-4 參考橢球體與大地水準(zhǔn)面

橢圓形狀由兩個(gè)半徑定義。較長(zhǎng)的半徑稱為長(zhǎng)半軸，而較短的半徑稱為短半軸。將橢圓繞短半軸旋轉(zhuǎn)即生成參考橢球體。圖2-5顯示了旋轉(zhuǎn)橢球體的長(zhǎng)半軸和短半軸。

圖2-5 橢圓與參考橢球體

其中扁率

參考橢球體是真實(shí)地球表面的第二級(jí)逼近，為了以盡可能小的失真來(lái)表示大地水準(zhǔn)面，我們嘗試將其投影到參考橢球體上，包括適合世界特定地區(qū)的參考橢球體以及最適合全球大地水準(zhǔn)面的參考橢球體。對(duì)于較小區(qū)域的高精度地圖，其橢球體形狀不容忽視。對(duì)于每個(gè)映射區(qū)域，可以仔細(xì)選擇不同的參考橢球，以便最佳匹配大地水準(zhǔn)面，從而匹配地形特征。圖2-6表現(xiàn)出參考橢球在某些區(qū)域擬合大地水準(zhǔn)面的效果最好，而在另外某些區(qū)域擬合效果最差。

圖2-6 旋轉(zhuǎn)橢球面在不同區(qū)域擬合大地水準(zhǔn)面

大地基準(zhǔn)面是真實(shí)地球表面的第三級(jí)逼近，其通過(guò)控制參考橢球和地球的相對(duì)位置，從而盡可能與某一區(qū)域的大地水準(zhǔn)面密合的一個(gè)橢球曲面。大地基準(zhǔn)面是人為確定的，如圖2-7所示。橢球面和水準(zhǔn)面肯定不是完全貼合的，采用同一個(gè)橢球體，可以通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等操作去最大限度擬合不同的區(qū)域，因此同樣的橢球體能定義不同的基準(zhǔn)面，如前蘇聯(lián)的Pulkovo 1942、非洲索馬里的Afgooye基準(zhǔn)面都采用了Krassovsky橢球體，但它們的大地基準(zhǔn)面顯然是不同的。

圖2-7 大地基準(zhǔn)面

總而言之，大地水準(zhǔn)面是由假想的靜止海水平面延伸而形成的連續(xù)、閉合曲面，唯一且不規(guī)則。規(guī)則的參考橢球體表面可以擬合大地水準(zhǔn)面，與大地水準(zhǔn)面是多對(duì)一的關(guān)系。而當(dāng)采用同一個(gè)參考橢球體時(shí)，也可以通過(guò)選擇不同的大地基準(zhǔn)面來(lái)滿足不同區(qū)域的實(shí)際需要。因此，大地水準(zhǔn)面與參考橢球體是一對(duì)多的關(guān)系，參考橢球體與大地基準(zhǔn)面也是一對(duì)多的關(guān)系，最終我們可以在大地基準(zhǔn)面上建立地理坐標(biāo)系來(lái)定量描述地球表面上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。這也是進(jìn)行地圖投影的首要工作。

（4）中國(guó)采用的地理坐標(biāo)系

通常所說(shuō)的北京54坐標(biāo)系、西安80坐標(biāo)系是我國(guó)的兩個(gè)大地基準(zhǔn)面。我國(guó)參照前蘇聯(lián)從1953年起采用克拉索夫斯基（Krassovsky）橢球體建立了北京54坐標(biāo)系，1978年采用國(guó)際大地測(cè)量協(xié)會(huì)推薦的1975地球橢球體（IAG75）建立了我國(guó)新的地理坐標(biāo)系--西安80坐標(biāo)系。北京54與西安80兩者控制點(diǎn)坐標(biāo)只能通過(guò)一定的數(shù)學(xué)模型，在一定精度范圍內(nèi)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。北京54與西安80坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換也可查閱國(guó)家測(cè)繪局公布的對(duì)照表。

WGS1984基準(zhǔn)面采用WGS84橢球體，是以地心作為橢球體中心，是為GPS全球定位系統(tǒng)使用而建立的坐標(biāo)系統(tǒng)。通過(guò)遍布世界的衛(wèi)星觀測(cè)站觀測(cè)到的坐標(biāo)建立 CGC2000國(guó)家大地坐標(biāo)系是全球地心坐標(biāo)系統(tǒng)在我國(guó)的具體體現(xiàn), 采用的參考橢球非常接近WGS84，現(xiàn)今已將CGS2000坐標(biāo)系作為測(cè)繪成果輸出標(biāo)準(zhǔn)。圖2-8介紹了中國(guó)各地理坐標(biāo)系的優(yōu)缺點(diǎn)與意義。

圖2-8 中國(guó)采用的各大地坐標(biāo)系對(duì)比

2、投影坐標(biāo)系的定義

投影坐標(biāo)系在二維平面中進(jìn)行定義，通過(guò)格網(wǎng)上的x,y坐標(biāo)來(lái)標(biāo)識(shí)位置，其原點(diǎn)位于格網(wǎng)中心。每個(gè)位置均具有兩個(gè)值，這兩個(gè)值是相對(duì)于該中心位置的坐標(biāo)。一個(gè)指定其水平位置，另一個(gè)指定其垂直位置。這兩個(gè)值稱為x坐標(biāo)和y坐標(biāo)。采用此標(biāo)記法，原點(diǎn)坐標(biāo)是x= 0和y = 0。

如圖2-9所示，在等間隔水平線和垂直線的格網(wǎng)化網(wǎng)絡(luò)中，中央水平線稱為x軸，表示經(jīng)度值，而中央垂直線稱為y軸，表示緯度值。在x和y的整個(gè)范圍內(nèi)，單位保持不變且間隔相等。原點(diǎn)上方的水平線和原點(diǎn)右側(cè)的垂直線具有正值；下方或左側(cè)的線具有負(fù)值。四個(gè)象限分別表示正負(fù)x坐標(biāo)和y坐標(biāo)的四種可能組合。

圖2-9 投影坐標(biāo)系

地球橢球表面是一種不可能展開的曲面，要把這樣一個(gè)曲面表現(xiàn)到平面上，就會(huì)發(fā)生裂隙或褶皺。在投影面上，可運(yùn)用經(jīng)緯線的“拉伸”或“壓縮”（通過(guò)數(shù)學(xué)手段）來(lái)加以避免，以便形成一幅完整的地圖，如圖3-1所示。

圖3-1 幾種地圖投影方式

1、地圖投影變形及參數(shù)

地圖投影方式的選擇即要求滿足特定區(qū)域內(nèi)的變形程度最小，因此本文先介紹地圖投影中存在哪些變形。地圖投影的變形通常有三種：長(zhǎng)度變形、面積變形和角度變形。

長(zhǎng)度變形：可以使用長(zhǎng)度比μ來(lái)表示。長(zhǎng)度比是指地面上的微分線段經(jīng)過(guò)投影后的長(zhǎng)度與原有長(zhǎng)度的比值。值得注意的是，這與比例尺并非一個(gè)概念。長(zhǎng)度比是一個(gè)變量，它隨著在地圖上位置的變化而變化。

面積變形：可以使用面積比Ρ來(lái)表示。面積比是指地面上的微分面積經(jīng)過(guò)投影后的大小與原有大小的比值。面積比也是一個(gè)變量，如圖3-2所示。

圖3-2 地圖投影中的面積變形

角度變形：是指地面上的任意兩條線的夾角α與經(jīng)過(guò)投影后的角α′的差，如圖3-3所示。由于地面上的一點(diǎn)可以引出無(wú)窮條方向線，因此角度變形一般指最大角度變形。

圖3-3 地圖投影中的角度變形

其中，各種變形相互聯(lián)系相互影響：等積與等角互斥，等積投影角度變形大，等角投影面積變形大。實(shí)現(xiàn)等角、等面積、等距離同時(shí)做到的投影是不存在的。如圖3-4所示，右上角為地球表面無(wú)變形的兩幅人臉，圖3-4左上部分的投影展開為扇形或矩形的地圖無(wú)角度變形，其經(jīng)緯線保持垂直關(guān)系，然而可以很明顯的看出面積變形相當(dāng)嚴(yán)重，人臉的面積放大了數(shù)倍；與此相對(duì)應(yīng)的是圖3-4的右下部分投影，人臉面積變化不大，然而經(jīng)緯線的角度關(guān)系是不正確的，這也意味著圖上任意兩點(diǎn)的連線方向與真實(shí)情況存在很大的誤差。

圖3-4 各種投影方式的變形程度

通常在應(yīng)用中我們需要輸入投影參數(shù)即標(biāo)準(zhǔn)線和中心線，用于確定投影的應(yīng)用范圍。如圖3-5所示，標(biāo)準(zhǔn)線是投影面與參考橢球的切線或割線，分為標(biāo)準(zhǔn)緯線與標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)線，特點(diǎn)是沒(méi)有變形，也稱主比例尺；中心線是指中央經(jīng)線（原點(diǎn)經(jīng)線）與中央緯線（原點(diǎn)緯線），用來(lái)定義圖投影的中心或者原點(diǎn)，特點(diǎn)是一般會(huì)有變形。

圖3-5 標(biāo)準(zhǔn)線與中心線

2、投影方式分類及特點(diǎn)

投影方式按變形分類可以分為等角投影，等積投影和任意投影。等角投影的角度變形為零（Mercator投影）。等積投影的面積變形為零（Albers投影）。任意投影的長(zhǎng)度、角度和面積都存在變形。等角投影便于量測(cè)方向，故可應(yīng)用于編制航海圖、洋流圖、風(fēng)向圖。等距投影，可用于對(duì)投影變形要求適中或區(qū)域較大的地圖，如教學(xué)地圖、科學(xué)參考圖、世界地圖。等積投影無(wú)面積變形，可在地圖上進(jìn)行面積對(duì)比與量測(cè)，故可應(yīng)用于編制對(duì)面積精度要求較高的自然地圖和社會(huì)經(jīng)濟(jì)地圖，如地質(zhì)圖、土壤圖、行政區(qū)劃圖。

投影方式也可以按照投影面類型、投影面與地軸關(guān)系、投影面與地球表面關(guān)系分類。投影面有三種類型：圓柱、圓錐、平面（方位）。

投影面與地軸關(guān)系有三種類型：正軸、斜軸和橫軸。正軸投影是投影面中心軸與地軸相互重合；斜軸投影是投影面中心軸與地軸斜向相交；橫軸投影是投影面中心軸與地軸相互垂直。

投影面與橢球表面關(guān)系有兩種類型：相切和相交。相切投影是投影面與橢球體相切；相割投影是投影面與橢球體相割。

如圖3-6左圖顯示了考慮投影面類型和投影面與地軸關(guān)系的九種投影方式，右圖顯示了部分相切投影和相割投影。

圖3-6 投影方式分類

在實(shí)際應(yīng)用中投影方式經(jīng)常采用發(fā)明者的名字而非投影分類的類型命名，因此我們需要了解某些特殊命名投影方式的投影性質(zhì)，如圖3-7所示。

①墨卡托投影，正軸等角圓柱投影，經(jīng)線和緯線是兩組相互垂直的平行直線，經(jīng)線間隔相等，緯線間隔由赤道向兩級(jí)逐漸擴(kuò)大。無(wú)角度變形，面積變形較大。該投影的等角航線為直線，這一特性對(duì)航海有重要意義，可用于編制航海地圖，赤道附近國(guó)家及一些區(qū)域的地圖。

②蘭伯特投影，橫軸等積方位投影，赤道和中央經(jīng)線為相互正交的直線，緯線為凸向并對(duì)稱于赤道的曲線，經(jīng)線為凹向并對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線?？捎糜诰幹茤|、西半球地圖。右圖為球面投影，橫軸等角方位投影，視點(diǎn)在球面，切點(diǎn)在赤道的完全透視的方位投影。

③博斯特爾投影，正軸等距方位投影，緯線為同心圓，經(jīng)線為交于圓心的放射狀直線，其夾角等于相應(yīng)的經(jīng)差。特點(diǎn)：經(jīng)線方向上沒(méi)有長(zhǎng)度變形，因此緯線間距與實(shí)地相等；切點(diǎn)在極點(diǎn)，為無(wú)變形點(diǎn)；有角度變形和面積變形，等變形線均以極點(diǎn)為中心，呈同心圓分布，離無(wú)變形點(diǎn)愈遠(yuǎn)，變形愈大?？捎糜诰幹颇稀⒈卑肭虻貓D和北極、南極區(qū)域地圖。聯(lián)合國(guó)即采用這種地圖圖案制作聯(lián)合國(guó)會(huì)徽。

④亞爾勃斯投影，正軸等積圓錐投影。可用于編制全國(guó)性自然地圖中的各類分布圖、類型圖、區(qū)劃圖以及全國(guó)性社會(huì)經(jīng)濟(jì)地圖中的行政區(qū)劃圖、人口密度圖、土地利用圖。

⑤高斯-克呂格投影，橫軸等角切橢圓柱投影，中央經(jīng)線與赤道垂直，經(jīng)線為凹向并對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線，緯線為凸向并對(duì)稱于赤道的曲線，經(jīng)緯線成直角相交，分為6度和3度帶分帶投影。大于1:1萬(wàn)的地形圖采用3度帶投影，1:2.5萬(wàn)至1:50萬(wàn)的地形圖采用6度帶投影。

（1）墨卡托投影       

（2）蘭伯特投影

（3）博斯特爾投影       

(4)聯(lián)合國(guó)會(huì)徽

（5）亞爾勃斯投影

（6）高斯-克呂格投影

圖3-7 某些投影方式及其特點(diǎn)

3、投影選擇實(shí)例

投影方式有多種多樣，一個(gè)國(guó)家或地區(qū)依據(jù)自己所處在的經(jīng)緯度、幅員大小以及圖件用途選擇投影方式。在大于1:10萬(wàn)的大比例尺圖件中，各種投影帶來(lái)的變形可以忽略。選擇地圖投影時(shí)，主要考慮制圖區(qū)域的范圍、形狀和地理位置（主要因素）、地圖的用途、出版方式及其他特殊要求。

（1）世界范圍內(nèi)投影方式

世界地圖，主要采用正圓柱、偽圓柱和多圓錐投影。在編繪世界航線圖、世界交通圖與世界時(shí)區(qū)圖時(shí)也采用墨卡托投影。中國(guó)出版的世界地圖多采用等差分緯線多圓錐投影。

對(duì)于半球地圖，東、西半球圖常選用橫軸方位投影；南、北半球圖常選用正軸方位投影；水、陸半球圖一般選用斜軸方位投影。在東西延伸的中緯度地區(qū)，一般采用正軸圓錐投影，如中國(guó)與美國(guó)。在南北方向延伸的地區(qū)，一般采用橫軸圓柱投影或多圓錐投影，如智利與阿根廷。

（2）中國(guó)范圍內(nèi)投影方式

①我國(guó)基本比例尺地形圖（1:100萬(wàn)、1:50萬(wàn)、1:25萬(wàn)、1:10萬(wàn)、1:5萬(wàn)、1:2.5萬(wàn)、1:1萬(wàn)、1:5000）除1:100萬(wàn)以外均采用高斯-克呂格Gauss-Kruger投影（橫軸等角切圓柱投影，又叫橫軸墨卡托Transverse Mercator投影）為地理基礎(chǔ)。

此種投影方式的特點(diǎn)是離中央子午線越遠(yuǎn)，變形越大。投影后赤道是一條直線，赤道與中央子午線保持正交。離開赤道的緯線是弧線，凸向赤道；沒(méi)有角度變形，長(zhǎng)度和面積變形很小。北京54和西安80投影坐標(biāo)系即采用了這種投影方式。

因?yàn)樵诰暰€方向上長(zhǎng)度變形過(guò)快，高斯克呂格投影采用分帶的方式控制投影變形。即每隔一定的經(jīng)度重新確立一條新的中央經(jīng)線，保證在這個(gè)經(jīng)度范圍內(nèi)的長(zhǎng)度變形保持可接受的精度，共有6°分帶和3°分帶兩種方式。如圖3-8所示。

6°分帶 用于1:2.5萬(wàn) -1:50萬(wàn)比例尺地圖起始于本初子午線（格林威治），按經(jīng)差6度為一個(gè)投影帶自西向東劃分，全球共分60個(gè)投影帶。我國(guó)范圍可分成11個(gè)6度帶（第13號(hào)帶到第23號(hào)帶）。

3°分帶用于大于1:1萬(wàn)比例尺地圖始于東經(jīng)1°30′，按經(jīng)差3度為一個(gè)投影帶自西向東劃分，全球共分120個(gè)投影帶。我國(guó)范圍可分成22個(gè)三度帶（第24號(hào)帶到45號(hào)帶）。坐標(biāo)系原點(diǎn)為每個(gè)投影帶的中央經(jīng)線與赤道交點(diǎn)。

圖3-8 高斯克呂格投影及分帶

②1:100萬(wàn)地形圖采用蘭伯特Lambert投影（正軸等角割圓錐投影），其分幅原則與國(guó)際地理學(xué)會(huì)規(guī)定的全球統(tǒng)一使用的國(guó)際百萬(wàn)分之一地圖投影保持一致。

③海上小于50萬(wàn)的地形圖多用墨卡托Mercator投影，即正軸等角圓柱投影。 

④我國(guó)大部份省區(qū)圖以及大多數(shù)這一比例尺的地圖也多采用蘭伯特投影和屬于同一投影系統(tǒng)的Albers投影（正軸等積割圓錐投影）。

中國(guó)常用地圖投影如圖3-9所示。

圖3-9 中國(guó)常用的地圖投影

1、兩點(diǎn)之間的最短路徑是什么？

假設(shè)我們需要計(jì)劃兩個(gè)遙遠(yuǎn)點(diǎn)之間的旅程行程，如坎皮納斯（巴西東南部）和東京（日本）。假設(shè)我們可以乘飛機(jī)旅行，并簡(jiǎn)化忽略應(yīng)當(dāng)避免的事情，例如惡劣的天氣和受限制的空域。顯然，我們希望通過(guò)選擇最短的路線來(lái)減少時(shí)間和成本，這種路線在平坦的表面上始終是一條簡(jiǎn)單的直線。那么，我們?nèi)绾未_定自己的道路呢？只需拿起一把尺子和一張地圖，然后繪制一條線來(lái)加入我們旅程的終點(diǎn)？它不是那么簡(jiǎn)單，如果我們想要有意義的結(jié)果，選擇正確的投影是必不可少的。

圖4-1 綠色箭頭指向日本東京;藍(lán)色箭頭指向巴西坎皮納斯

給定A和B兩個(gè)點(diǎn)，如東京和坎皮納斯，加上地球的中心，一個(gè)獨(dú)特的（除非地心過(guò)AB組成的直線）平面被定義。這個(gè)平面與地球表面的交點(diǎn)是大圓，因?yàn)樵诎珹和B的圓中它是最大的，其半徑和周長(zhǎng)與地球相同;此時(shí)我們定義由包含地心的平面產(chǎn)生的任何表面圓都是一個(gè)大圓，任何不包含地心的表面圓都是一個(gè)小圓。因此，每條經(jīng)線都是一個(gè)大圓，而除了赤道以外的所有緯線都是小圓。如圖4-2所示，PX可以看做是P和X兩點(diǎn)的大圓弧，而PV和VX不在兩點(diǎn)間的大圓弧上，由三角形的定理可知，兩邊之和大于第三邊，即PV+VX>PX，因此大圓才是球面上兩點(diǎn)的最短路徑，而不是兩點(diǎn)的直線。

圖 4-2 球面三角

因此，從巴西到日本的最短路徑如圖4-3紅線所示，從上方兩圖可以看到從球面路線來(lái)看，經(jīng)由美國(guó)東海岸與阿拉斯加到達(dá)東京才是最短路徑，但在地圖投影中則是一條相當(dāng)彎曲的弧線。簡(jiǎn)單地將巴西和日本投影在等距圓柱形地圖上的直線相連（綠線）可能會(huì)得出天真的結(jié)論，即夏威夷比阿拉斯加更適合轉(zhuǎn)機(jī)。

圖4-3 大圓路徑（紅色）與地圖路徑（綠色）

2、動(dòng)物學(xué)分類的世界地圖

由于氣候是動(dòng)物群特征的重要決定因素，因此動(dòng)物活動(dòng)的大多數(shù)區(qū)域邊界都遵循緯度，因此使用極坐標(biāo)系星型投影是一種非常直觀的方式。如圖4-4所示。

圖4-4 左為Maurer星型投影右為William-Olsson投影

在地球的北半球，大陸地區(qū)聚集在極地周圍，而赤道以南的廣闊海域?qū)⑾∈璧拇箨懛珠_; 此外，非洲和美洲向南縮小。地球上奇特的大陸分布是我們采用以北極為中心的中斷星形地圖投影的基礎(chǔ)，以一個(gè)圓形核心（通常是一個(gè)半球）被裂片包圍的形式表現(xiàn)，其中不太重要的南極洲在星型的末端分開成為幾個(gè)不相連的部分。也有與此對(duì)應(yīng)的反轉(zhuǎn)模式，以南極地區(qū)為中心的星型地圖研究海洋特征。Oliver L. Austin和Arthur Singer在1968年的世界鳥類研究中即采取了基于Maurer的星形投影地圖（不包含南極洲），如圖4-5所示。

圖4-5 世界鳥類分布地圖

地圖制圖的優(yōu)劣表達(dá)了我們是否能準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)我們所居住的這個(gè)星球。從古代的天圓地方到如今纖毫可見的衛(wèi)星地圖，這正是我們對(duì)世界的認(rèn)識(shí)不斷加深的過(guò)程。而地圖投影的選擇是否恰當(dāng)，直接影響地圖的精度和實(shí)用價(jià)值。因此在制圖以前，要根據(jù)各種投影的性質(zhì)、經(jīng)緯網(wǎng)的形狀特點(diǎn)，然后結(jié)合制圖區(qū)域的形狀和地理位置、制圖區(qū)域的范圍、地圖的內(nèi)容和用途以及出版方式，科學(xué)的選擇地圖投影，避免犯“南轅北轍”的錯(cuò)誤。