【方法指導(dǎo)】

分類是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的思想方法，掌握分類的方法，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，對(duì)于加深基礎(chǔ)知識(shí)的理解、提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力是十分重要的．分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨(dú)立的；（2）一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；（3）分類討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行．?

分類討論型問(wèn)題就是將要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干不同的情形，然后逐類進(jìn)行研究和求解。對(duì)于因?yàn)榇嬖谝恍┎淮_定因素而無(wú)法解答或者結(jié)論不能統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們往往將問(wèn)題劃分為若干類或者若干個(gè)局部問(wèn)題來(lái)解決。問(wèn)題類型主要有：由計(jì)算化簡(jiǎn)時(shí)，運(yùn)用法則、定理和原理的限制引起的討論；由特殊的三角形形狀不確定性引起的討論，由直線與圓的位置不確定性引起的討論。

【典例解析】

【典例解析】

類型一： 因計(jì)算化簡(jiǎn)運(yùn)用法則、定理和原理的限制引起的討論

【例1】

類型二： 由特殊三角形的形狀不確定性引起的討論

【例2】（2018東營(yíng)）（9.00分）關(guān)于x的方程2x²﹣5xsinA+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，其中∠A是銳角三角形ABC的一個(gè)內(nèi)角．

（1）求sinA的值；

（2）若關(guān)于y的方程y²﹣10y+k²﹣4k+29=0的兩個(gè)根恰好是△ABC的兩邊長(zhǎng)，求△ABC的周長(zhǎng)．

【分析】（1）利用判別式的意義得到△=25sin²A﹣16=0，解得sinA=4/5；

（2）利用判別式的意義得到100﹣4（k²﹣4k+29）≥0，則﹣（k﹣2）²≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y(tǒng)₁=y₂=5，則△ABC是等腰三角形，且腰長(zhǎng)為5．

分兩種情況：當(dāng)∠A是頂角時(shí)：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，利用三角形函數(shù)求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周長(zhǎng)；

當(dāng)∠A是底角時(shí)：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函數(shù)求出AD得到AC的長(zhǎng)，從而得到△ABC的周長(zhǎng)．

本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．也考查了解直角三角形．

類型三： 由直線與圓的位置不確定性引起的討論

【例3】（2018上海）（4.00分）如圖，已知∠POQ=30°，點(diǎn)A、B在射線OQ上（點(diǎn)A在點(diǎn)O、B之間），半徑長(zhǎng)為2的⊙A與直線OP相切，半徑長(zhǎng)為3的⊙B與⊙A相交，那么OB的取值范圍是

A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7

【分析】作半徑AD，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)得：OA=4，再確認(rèn)⊙B與⊙A相切時(shí)，OB的長(zhǎng)，可得結(jié)論．

【解答】解：設(shè)⊙A與直線OP相切時(shí)切點(diǎn)為D，連接AD，

∴AD⊥OP，

∵∠O=30°，AD=2，

∴OA=4，

當(dāng)⊙B與⊙A相內(nèi)切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為C，如圖1，

∵BC=3，

∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；

當(dāng)⊙A與⊙B相外切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，如圖2，

∴OB=OA+AB=4+2+3=9，

∴半徑長(zhǎng)為3的⊙B與⊙A相交，那么OB的取值范圍是：5＜OB＜9，

故選：A．

類型四： 由方程或函數(shù)的不確定而引起的討論

（2）2·M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，

分三種情況：①當(dāng)x+4≤2時(shí)，即x≤﹣2，

原等式變?yōu)椋?（x+4）=2，x=﹣3，

②x+2≤2≤x+4時(shí)，即﹣2≤x≤0，

原等式變?yōu)椋?×2=x+4，x=0，

③當(dāng)x+2≥2時(shí)，即x≥0，

原等式變?yōu)椋?（x+2）=x+4，x=0，

綜上所述，x的值為﹣3或0；

（3）不妨設(shè)y₁=9，y₂=x²，y₃=3x﹣2，畫出圖象，如圖所示：

結(jié)合圖象，不難得出，在圖象中的交點(diǎn)A、B點(diǎn)時(shí)，滿足條件且M{9，x²，3x﹣2}=max{9，x²，3x﹣2}=y_A=y_B，

此時(shí)x²=9，解得x=3或﹣3．

1. （2018哈爾濱）（3.00分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，若△ABD為直角三角形，則∠ADC的度數(shù)為 ．

1. （2018哈爾濱）（3.00分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，若△ABD為直角三角形，則∠ADC的度數(shù)為130°或90°．

【分析】根據(jù)題意可以求得∠B和∠C的度數(shù)，然后根據(jù)分類討論的數(shù)學(xué)思想即可求得∠ADC的度數(shù)．

【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，

∴∠B=∠C=40°，

∵點(diǎn)D在BC邊上，△ABD為直角三角形，

∴當(dāng)∠BAD=90°時(shí)，則∠ADB=50°，

∴∠ADC=130°，

當(dāng)∠ADB=90°時(shí)，則

∠ADC=90°，

故答案為：130°或90°．

本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用等腰三角形的性質(zhì)和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．