胡彬（北京師范大學天文系） -2018年8月 

對于距離的測量，歷來是天文學的重要課題之一。隨著照相技術的發(fā)展，上世紀初天文學家已經可以觀測到大量分布很迷散、亮度很低的云團狀物體，并稱之為星云（Nebulae）。但由于當時的知識所限，天文學家并不能確認這些云團狀物體，是來自我們銀河系自身的恒星集團，還是河外星系。當時天文學界的主流看法是，這些星云大部分應該位于銀河系內部。

1919年，Edwin Hubble作為一個年輕的學者加入到威爾遜山天文臺。幸運的是，當時的100英寸反射式望遠鏡剛剛完成建造并投入使用。作為一個嚴謹又勤奮的天文學家，Edwin Hubble對一些盤狀星云（sprial nabulae，現(xiàn)在看來應該是河外的盤狀星系），在不同時段進行了反復的拍照。他將注意力集中到了這些盤狀星云中的一些被稱為新星（nova）的亮星觀測上去。新星是天文觀測中的一些暫現(xiàn)源，也就是說本來空無一物的天空中的某點，突然發(fā)出很強的可見光輻射后，又慢慢消退。這個消退的時標從幾周到幾個月不等。Hubble仔細地標記了，每顆新星的位置、亮度隨時間的變化等信息。隨著時間的推移，神奇的事情發(fā)生了！在之前標記的某顆新星衰減到完全看不到后的一個月，天空中相同的位置處又再次閃現(xiàn)了一顆新星！Hubble扎實的天文功底告訴他，相同星云中兩顆臨近新星接連爆發(fā)的概率太小了，這極有可能是當時已經研究得十分成熟的造父變星。這是一類性質極為優(yōu)良的天體，主要體現(xiàn)在這類天體的光變周期與其亮度（單位時間內輻射的總能量）有著極強的相關性。因而通過觀測光變曲線，我們就可以確定出造父變星的亮度。具有這類性質的天體，我們將其稱為標準燭光。而我們實際觀測到的視亮度與絕對亮度之間，與距離的平方成反比。視亮度越暗的標準燭光距離我們越遠。因此標準燭光成為天文測距的利器。除此之外，Hubble還對每一個具有造父變星的星云測量了其多普勒紅移，從而計算出該星云的運行速度。

圖1: 1929年，Hubble繪制的星云的“距離-速度”關系 ¹。

隨著數(shù)據量的積累，時間來到1929年。上世紀天文學最大的發(fā)現(xiàn)之一，浮現(xiàn)在Hubble的算稿紙上（圖1）！這張圖分明地顯示，距離我們越遠的星云，其在離開我們視線方向上的速度越大。就像吹氣球一樣，相對距離越遠的兩點之間，其相互之間的逃離速度也越大。至此，Hubble發(fā)現(xiàn)了宇宙膨脹的現(xiàn)象，并基于此提出來我們稱之為Hubble定律的數(shù)學公式： 

公式1: Hubble定律

其中，v是星體的退行速度，d是距離，H(t) 標志著t時刻宇宙膨脹速率的大小。一般的，我們將當前時刻H函數(shù)的數(shù)值記為H₀，稱為Hubble常數(shù)。在圖1中，H₀就是圖中直線的斜率，通常的我們將Hubble常數(shù)的單位固定為[km/s/Mpc]，其中Mpc是天文測量中常用的距離單位，即百萬秒差距，1Mpc大約為三百三十萬光年。

細心的讀者，也許會發(fā)現(xiàn)，Hubble在1929年所測量的當前宇宙的Hubble常數(shù)為500[km/s/Mpc]。這與我們現(xiàn)在的更為精確的測量結果（大約70[km/s/Mpc]）相距甚遠。筆者的一位引力波研究同行曾半開玩笑式地說過”偉大的發(fā)現(xiàn)不需要細節(jié)“！這個描述在這里可以說是很貼切了。盡管Hubble自己測量的Hubble常數(shù)出現(xiàn)了重大偏差，但是，宇宙膨脹的客觀現(xiàn)實沒有因為這個具體數(shù)字的錯誤而被否認掉。像公式1這樣的線性關系，在以現(xiàn)代數(shù)學為基礎的科學研究中，已經是簡單的不能再簡單的了。但自從1929年至今，在接近一個世紀的時光里，Hubble常數(shù)的具體數(shù)值依然是一個謎，原因是我們對距離測量的誤差始終不能夠有效地降低。而這個謎團背后，不僅僅是一個具體數(shù)字的問題，而是其有可能顛覆我們已有的、對現(xiàn)代宇宙學的認識。而這正是本文想講述的故事。要說清楚事情的來龍去脈，首先要說明天文上的幾種測距方法。

對于近鄰恒星（主要是河內的恒星）距離的測量，天文學家往往采用純幾何的三角視差法（trigonometric parallax）。 基于簡單的歐幾里德時空的三角關系，我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著地球的繞日運動，相同一顆恒星在近日點和遠日點，在天空中出現(xiàn)的位置不同，如圖2所示。  

圖2: 相對于參考星（北斗七星）位置，同一顆恒星在近日點（中左），與遠日點（下右）分別出現(xiàn)在不同的位置。圖中日地軌道的直徑為2倍的日地距離（2倍的天文單位，即2AU）。

加之，我們對于日地距離（Astronomical Unit，簡稱AU）的精確測量，天文學家利用三角視差法所進行的距離測量具有極高的置信度。但該方法只適用于近鄰恒星的距離測量，因為利用傳統(tǒng)的天體測量方法，我們對于這個張角的測量只能精確到幾毫角秒。好消息是，利用歐空局在2013年底發(fā)射的GAIA衛(wèi)星，我們有可能將對于15等以上的亮星的空間定位提高到幾十微角秒，這幾乎是幾百倍甚至上千倍的精度提高！

那么我們又該如何對于宇宙學尺度（遠遠大于銀河系自身半徑）上的距離進行測量呢？首先，由于距離更遠我們需要更亮的星；其次，正如講述宇宙膨脹的發(fā)現(xiàn)時所提到的，這類亮星需要有統(tǒng)一的絕對光度，也就是標準燭光。這里我們主要介紹兩類標準燭光，造父變星與Ia型超新星。

造父變星是一種幾倍太陽質量的年輕恒星，其光度的峰值可以達到幾千甚至上萬倍的太陽光度。更重要的是其峰值光度與其光變周期具有很強的相關性。這就使我們可以將距離的測量延伸到銀河系之外，到達比較近鄰的星系中去，如大小麥哲倫云等。

圖3: （左）造父變星的“周（期）-光（度）”關系；（右）Ia型超新星的光變曲線。圖中的點代表不同觀測事例，線代表統(tǒng)一的理論曲線。

Ia型超新星是一種比造父變星更為明亮的天體，其峰值光度可以達到十億甚至上百億的太陽光度。因此，我們可以觀測到可見宇宙邊緣處的Ia型超新星。與新星一樣，超新星也是一類暫現(xiàn)源天體，其特征光變時標大約為15至20天。這里的形容詞“Ia型”是指某類特殊的超新星。其前身星（白矮星）的燃燒方式是通過碳-氧熱核聚變。而維持這種熱核聚變的能量來源則是通過該白矮星不斷吸積周圍的紅巨伴星。當該白矮星的總質量達到1.44倍太陽質量的時候（錢德拉賽卡極限），此時的白矮星內部原子的電子簡并壓不能夠抵抗巨大的、向內的引力，從而將電子擠壓到原子核內部形成極為致密的中子星，最終引發(fā)Ia型超新星爆炸事件。由于其爆炸質量具有一個特征的標度（1.44倍太陽質量），因此我們有理由相信Ia型超新星爆炸具有一個普適的光度。

 有了可信的光度（Luminosity）值，下面我們只需要測量到達單位面積的觀測儀器中的視亮度（apparant brightness），就可以根據下面的公式2，對距離（d）進行估計了。 

公式2: 亮度（Brightness）、光度（Luminosity）與距離（d）的關系。

除了標準燭光之外，宇宙學上我們還可以借助標準尺來進行測距。與之前介紹的三角視差以及標準燭光法所不同，這里用到的觀測量具有相當大的內稟展寬，也就是一把長度相當長，且長短一定的尺子?？臻g透視的直覺告訴我們，看到尺子兩端的視線張角越小，尺子離我們越遠。那么，一個自然的問題是宇宙中什么樣的天體具有如此大的展寬呢？要回答這個問題，首先要從什么是宇宙學尺度談起。直觀地說，宇宙學尺度就是空間尺度大到連像銀河系這樣的星系都只能作為一個沒有展寬的點來處理。所以說，宇宙學尺度是如此之大，傳統(tǒng)天文學上所研究的單個客體，都無法作為宇宙學測距的標準尺。 

圖4: （左）天空中星系的隨機分布；（右）通過圖片疊加的方式，顯示星系在共動距離大約為150 Mpc（150 百萬秒差距）的空間尺度上具有著較強的關聯(lián)性。

感謝統(tǒng)計分析的巨大威力，他告訴我們天空中看上去隨機分布的星系（如圖4左）和宇宙微波背景輻射，實際上在某個特定尺度上具有明顯的相關性（如圖4右）。其背后的物理是被稱為重子聲學震蕩（Baryon Acoustic Oscillation，簡稱BAO）的機制。簡單說來，就是宇宙在早期，由于溫度很高，其呈現(xiàn)出的物質形態(tài)是一種光子-電子的等離子體形態(tài)。在這段時期內，宇宙中的物質主要受到向內的引力擠壓和向外的等離子體光壓兩種力。就像一個碗里用一個軟彈簧所連接的兩個小球。引力使小球向碗底靠攏，而彈簧（類比于光壓）受到擠壓后，又會將其向外彈。兩種力交替主導該系統(tǒng)，從而使小球在平衡點往復震蕩。這種震蕩在宇宙早期往復發(fā)生，直至宇宙的溫度降低到不足以電離氫原子，自由電子和質子復合成為中性的氫原子。此時，宇宙中不再有可以拖拽住光子的帶電粒子，因而光子以光速脫離氫原子向我們飛來。這件事情發(fā)生在宇宙誕生38萬年的時候，該時刻被稱為再復合時期。而圖4右，所示的150 Mpc（150 百萬秒差距）就是該時刻聲學視界大小。這是正是作為標準尺所需要的具有固定內稟長度的量！

那么，如何在看上去十分雜亂的星系空間分布（如圖4左所示）中，發(fā)現(xiàn)這把量天尺呢？我們只需要：第一，以某個星系為中心，以150 Mpc為半徑畫一個圈；第二，把這張圖在照片上裁剪下來；第三，再選另外一個星系為中心，重復前兩步；第四，把所有的圖片疊加到一起，這個圓環(huán)就會隨著照片數(shù)目的增加，慢慢浮現(xiàn)在你的眼前。

前面介紹了三種不同的測距方法，其中：三角視差法是純幾何的方法，可靠性最高，但是所能測量的距離也最短；標準燭光法，是利用的宇宙晚期的恒星演化過程中出現(xiàn)的一些物理規(guī)律來測量距離的，其可靠性依賴于我們對這些規(guī)律的理解深度；而標準尺法，則是利用宇宙早期的重子聲學震蕩機制來測距，其測量的距離最遠。但相比于前兩種方法，它需要我們假定產生于宇宙誕生38萬年時刻的光子，在此后138億年的旅程中的演化方式。當前，天文學家普遍接受的演化方式是一個被稱作LCDM的協(xié)和宇宙學模型。這個模型主要由被稱作L的宇宙學常數(shù)，和被稱作CDM的暗物質組成。

從上面的分析，我們不難看出，無論是標準燭光還是標準尺法，都依賴模型假定。前者是恒星演化規(guī)律，后者是宇宙大尺度結構演化規(guī)律。但是由于所能測量的距離跨度的不同，我們不難看出，標準尺法的測距范圍無法與最可靠的三角視差法重疊。但造父變星的三角視差測距，與造父變星的周-光關系測距可以有一定的重疊區(qū)域。造父變星的周-光關系測距，與Ia型超新星的光變曲線測距也可以有一定的重疊區(qū)域。在這兩個重疊區(qū)域，我們就可以用高精度的方法（近距離的測距）去校準低精度的方法（遠距離的測距）。這逐層的距離校準方法，被天文學家稱為距離階梯。 

圖5: 距離階梯的逐層校準，摘自A. Riess et al., arxiv:1604.01424 ².

這個階梯的具體搭建方式如下：第一，先找出銀河系內部的造父變星，同時用三角視差法和周-光關系法測距，由于三角視差法精度更高，更為可信，因此用其來校準河內造父變星的周-光關系；第二，將距離延伸到河外，找到同時具有造父變星和Ia型超新星的近鄰星系，用已校準好的周-光關系來校準Ia型超新星的光變曲線；第三，將距離繼續(xù)延伸到宇宙學尺度，找尋遙遠星系中的Ia型超新星，用在第二級階梯中已校準完畢的光變曲線去測距。至此，宇宙階梯搭建完畢。

從上世紀初的Edwin Hubble到如今，一代又一代的天文學家不斷地嘗試采用新的方法去測量Hubble常數(shù)，以期得到一個更為精確的結果，從而了解更多宇宙膨脹的機制。這其中最為意外的結果莫過于，1998年兩個獨立的觀測團隊通過測量高紅移的Ia型超新星的距離，發(fā)現(xiàn)宇宙的晚期加速膨脹現(xiàn)象。 

圖6: 采用距離階梯方法校準后的Ia型超新星對于Hubble常數(shù)的測量（藍點），與用宇宙微波背景輻射和重子聲學震蕩方法所測量的Hubble常數(shù)（紅點），雖各自都已達到接近1%的精度。但其二者的差異是十分巨大的，難以用統(tǒng)計誤差來解釋。摘自Freedman，arxiv：1706.02739 ³。

一波未平，一波又起。擔任哈勃太空望遠鏡（Hubble Space Telescope，簡稱HST）重大項目（Key Project）負責人十多年之久的、美國芝加哥大學天文系教授Freedman，2017年在《科學》期刊上綜述了，過去十多年不同的研究團隊，利用不同的方法對于Hubble常數(shù)的測量結果。圖6的藍點表示用距離階梯方法校準后的Ia型超新星對于Hubble常數(shù)的測量；紅點表示用宇宙微波背景輻射和重子聲學震蕩方法所測量的Hubble常數(shù)。不難看出，在本世紀初的時候，由于二者的數(shù)據誤差都較大所以可以統(tǒng)計地認為二者結果一致。然而在最近幾年，隨著歐空局發(fā)射的觀測宇宙微波背景輻射的Planck衛(wèi)星數(shù)據的釋放，以及利用更為準確的距離階梯的校正方法，標準尺以及標準燭光法各自對于Hubble常數(shù)的測量精度都向著1%的目標精度邁進。但二者的測量結果之間卻顯示出巨大的差異，以至于難以用數(shù)據的統(tǒng)計誤差去解釋。

Freedman拿這兩組數(shù)據作對比是十分有講究的。因為它們分別代表了我們利用宇宙早期和晚期不同時期的數(shù)據對于Hubble常數(shù)進行的、端到端（End-to-End）的估計。如果這兩組結果都沒有問題，那么一定意味著我們對于協(xié)和宇宙學模型的認知出現(xiàn)了重大問題！舉一個不太恰當?shù)睦?，這正如：我們根據一個孩子剛出生幾個月的身高，加上我們所掌握的兒童生長曲線去預測這個孩子成年后的身高應為正常人的身高。但十八年后，發(fā)現(xiàn)這個孩子卻長成了個巨人。

為了判斷上面分析中所做的論述，目前我們亟需要更多的新玩家（獨立的測量手段），對Hubble常數(shù)進行高精度的測量。在諸多備選方案當中，目前看上去最有希望的一個是來自于強引力透鏡系統(tǒng)的時間延遲測量方案，另一個是來自于引力波的標準汽笛（Standard Sires）方案。

對于前者，所謂強引力透鏡現(xiàn)象，就是指由于引力效應造成的光線偏折效應強大到可以由單個源產生多個像（如萬花筒一樣）。這種效應往往發(fā)生在背景星系與質量巨大的透鏡體在視線方向上幾乎共線的情況之下。相同源發(fā)出的光經過不同傳播路徑到達觀測者，使得后者看到多像。由于光沿不同路徑到達地球，其路程（光程）長短不一，這就使得：如果背景源發(fā)生短時標的光度變化，那么多個像之間的光變曲線應當形狀一致，但相互之間稍有時間差。這個時差越大，標志著不同光路的光程差越大。而后者與透鏡體的性質與Hubble常數(shù)相關。利用強引力透鏡系統(tǒng)的多像的位置信息，我們可以很好地把透鏡體的性質重構出來。這樣，這個時差就只跟Hubble常數(shù)相關了。利用這種多像之間的時間延遲現(xiàn)象，我們可以估計Hubble常數(shù)的數(shù)值。最近的，H0LiCOW項目團隊⁴，利用3個這樣的類星體強引力透鏡系統(tǒng)，成功地將對于Hubble常數(shù)的測量誤差提高到了4%左右。但是，相比于前兩種方案，目前該方法的精度還不夠給出決定性的判斷。

對于標準汽笛，最成功的案例來自于前不久發(fā)現(xiàn)的雙中子星并合事例GW170817 ⁵. 通過引力波的波形原則上我們可以很好地估計出波源距離我們的距離，而通過對于引力波源所在的宿主星系的光度以及光譜的測量我們可以確定紅移以及速度信息。進而，利用Hubble定律（公式1）我們便可以測量Hubble常數(shù)了。但由于當前測量精度不足的原因，目前的測量精度還遠在10%以上，同樣地難以給出確定性的判據。但該方法相比于其他方案的優(yōu)勢在于其距離的確定來自于完全獨立于電磁信號的引力波窗口，其物理性質極為清晰，是未來極具有希望的方法。

本文簡要地回顧了，在過去近一個世紀的時間里，人類對于Hubble常數(shù)的測量歷程?？梢载撠熑蔚卣f，目前我們已經來到了一個測量該量的一個關鍵時間節(jié)點。未來的五到十年間，我們有可能將對Hubble常數(shù)的測量推進到1%的精度以內。這對于人類了解宇宙演化規(guī)律具有十分重要的意義。

【參考文獻】

1. Hubble, Edwin (1929) PNAS. 15 (3): 168–173. 

2. Riess et al. The Astrophysical Journal 826(1) · April 2016

3. Freedman, Nat.Astron. 1 (2017) 0121 

   4. Bonvin et al. Mon.Not.Roy.Astron.Soc. 465 (2017) no.4, 4914-4930

   5. LIGO-VIRGO COLLABORATION et al. Nature 551 (2017) no.7678, 85-88

本文經 中科院理論物理研究所