寫在前面

例1：

如圖，DE為△ABC的中位線，點(diǎn)F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，則EF的長(zhǎng)為________．

分析：

根據(jù)DE是中位線，可知DE長(zhǎng)是第三邊BC長(zhǎng)的一半，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．由∠AFB＝90°，則Rt△ABF中，可知DF作為斜邊中線，長(zhǎng)度等于斜邊AB長(zhǎng)的一半，將DE的長(zhǎng)減去DF的長(zhǎng)，即可得到EF的長(zhǎng)．

解答：

例2：

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高．

(1)求證：四邊形ADEF是平行四邊形；
(2)求證：∠DHF＝∠DEF．

分析：

(1)根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，可得DE∥AC，EF∥AB，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．

(2)D，F(xiàn)分別作為Rt△ABH，Rt△ACH斜邊AB，AC上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得DH＝AD，F(xiàn)H＝AF，∠BAH＝∠AHD，∠CAH＝∠AHF，即∠BAC＝∠DHF，由平行四邊形對(duì)角相等可得∠DEF＝∠BAC，等量代換即可得證．

解答：

證明：

(1)∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，
∴DE、EF是△ABC的中位線，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴四邊形ADEF是平行四邊形．

(2)∵AH是邊BC上的高，D，F(xiàn)分別是AB，CA中點(diǎn)
∴Rt△ABH中，DH＝AD，Rt△ACH中，F(xiàn)H＝AF，
∴∠BAH＝∠AHD，∠CAH＝∠AHF，
∴∠DHF＝∠BAC，
∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴∠DEF＝∠BAC，
∴∠DHF＝∠DEF．

本題也可連接DF，證明△DEF≌△FHD

例1：

在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于D，E是AB中點(diǎn)，AC＝15，BC＝27，求DE的長(zhǎng)．

分析：

本題中，點(diǎn)E已經(jīng)是AB的中點(diǎn)，由CD平分∠ACB，AD⊥CD，想到可以構(gòu)造等腰三角形，利用三線合一，使點(diǎn)D成為另一個(gè)中點(diǎn)，從而讓ED變成“看得見”的中位線．

解答：

例2：

如圖△ABC中，∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．

(1)求證：GH∥BC；

(2)若AB＝9，AC＝14，BC＝18，求GH．

(3)若將條件“∠B，∠C的平分線”改為“∠B的平分線及∠C的外角平分線”(如圖2所示)，或改為“∠B，∠C的外角平分線”(如圖3所示)，其余條件不變，求證：結(jié)論GH∥BC仍成立．

分析：

與上例類似，有角平分線，有垂直，延長(zhǎng)構(gòu)造等腰三角形，利用三線合一．

解答：

(1)證明：

分別延長(zhǎng)AG，AH交BC于M，N，

在△ABM中

∵BG平分∠ABM，BG⊥AM，

∴∠ABG＝∠MBG，∠BGA＝∠BGM＝90°

∴∠BAM＝∠BMA．

∴BA＝BM，G是AM的中點(diǎn)．

同理CA＝CN，H是AN的中點(diǎn)，

∴GH是△AMN的中位線，HG∥MN，HG∥BC．

(2)

由(1)知，△ABG≌△MBG，△ACH≌△NCH，

∴AB＝BM＝9，AC＝CN＝14．

∴MN＝BM＋CN－BC

        ＝AB＋AC－BC＝9＋14－18＝5

(3)無(wú)字證明如下，相信同學(xué)們都能看懂．

例1：

分析：

根據(jù)要證明的結(jié)論，我們可以發(fā)現(xiàn)這與三角形三邊關(guān)系有關(guān)，因此，要構(gòu)造一個(gè)以CD長(zhǎng)的一半，AB長(zhǎng)的一半，EF長(zhǎng)為三邊的三角形，自然想到中位線，取BC邊的中點(diǎn)即可．

解答：

變式：

已知在四邊形ABCD中，AC＝BD，E、F分別是AB、DC的中點(diǎn)．求證：OM＝ON．

分析：

要證OM＝ON，可以從等角對(duì)等邊入手，證∠OMN＝∠ONM，考慮到對(duì)角線AC＝BD，能不能再來(lái)一次等邊對(duì)等角呢？構(gòu)造AC，BD的一半即可，則需要構(gòu)造中位線，自然想到BC的中點(diǎn)．

解答：

例1：

如圖，四邊形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)．求證：AB＋CD＞2EF．

分析：

根據(jù)要證明的結(jié)論，，似乎又與三角形三邊關(guān)系有關(guān)，將不等式兩邊同除以2，則只需構(gòu)造以EF，AB長(zhǎng)的一半，DC長(zhǎng)的一半為邊的三角形，想到連接對(duì)角線取中點(diǎn)．

解答：

變式：

如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，E、F分別是DC、AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)E的延長(zhǎng)線分別與AD、BC的延長(zhǎng)線交于H、G點(diǎn)．求證：∠AHF＝∠BGF． 

分析：

與例1的變式類似，要借助其他兩個(gè)相等的角轉(zhuǎn)化，考慮到對(duì)邊相等，則構(gòu)造AD，BC的一半即可，則需要構(gòu)造中位線，自然想到對(duì)角線AC的中點(diǎn)．

解答：