22．綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE=AB，連接DE，交BC于點(diǎn)M，以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG，連接AM．試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系．

探究展示：勤奮小組發(fā)現(xiàn)，AM垂直平分DE，并展示了如下的證明方法：

證明：∵BE=AB，∴AE=2AB．

∵AD=2AB，∴AD=AE．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．

即AM是△ADE的DE邊上的中線，

又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依據(jù)2）

∴AM垂直平分DE．

反思交流：

（1）①上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？

②試判斷圖1中的點(diǎn)A是否在線段GF的垂直平分線上，請(qǐng)直接回答，不必證明；

（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上，請(qǐng)你給出證明；

探索發(fā)現(xiàn)：

（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C，點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上，除此之外，請(qǐng)觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點(diǎn)與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn)在哪條邊的垂直平分線上，請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明．

【解答】解：（1）①依據(jù)1：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例（或平行線分線段成比例）．

依據(jù)2：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高互相重合（或等腰三角形的“三線合一”）．

②答：點(diǎn)A在線段GF的垂直平分線上．

理由：∵DG∥AM∥EF，DE∥FG，

    且AM垂直平分DE，

∴AM也垂直平分GF,

即點(diǎn)A在線段GF的垂直平分線上．

（2）證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，

∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°，

∴∠BCE+∠BEC=90°．

∵四邊形CEFG為正方形，

∴CG=CE，∠GCE=90°，

∴∠BCE+∠BCG=90°．

∴∠2BEC=∠BCG．

∴△GHC≌△CBE．

∴HC=BE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC．

∵AD=2AB，BE=AB，

∴BC=2BE=2HC，

∴HC=BH．

∴GH垂直平分BC．

∴點(diǎn)G在BC的垂直平分線上．

（3）答：點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上

（或點(diǎn)F在AD邊的垂直平分線上）．

證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，

過(guò)點(diǎn)E作EN⊥FM于點(diǎn)N．

∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°．

∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，

∴∠CBE=∠ABC=90°，

∴四邊形BENM為矩形．

∴BM=EN，∠BEN=90°．

∴∠1+∠2=90°．

∵四邊形CEFG為正方形，

∴EF=EC，∠CEF=90°．

∴∠2+∠3=90°．

∴∠1=∠3．

∵∠CBE=∠ENF=90°，

∴△ENF≌△EBC．

∴NE=BE．∴BM=BE．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC．

∵AD=2AB，AB=BE．

∴BC=2BM．

∴BM=MC．

∴FM垂直平分BC．

∴點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上．

【點(diǎn)評(píng)】此題是幾何綜合題，以特殊矩形與正方形為背景，圍繞判斷點(diǎn)在線段的垂直平分線上展開(kāi)探究，主要考查了正方形、矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．