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唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)： “白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題． 早在古羅馬時(shí)代，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專(zhuān)程去拜訪(fǎng)他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題． 將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開(kāi)會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？ 從此，這個(gè)被稱(chēng)為“將軍飲馬”的問(wèn)題廣泛流傳． 這個(gè)問(wèn)題的解決并不難，據(jù)說(shuō)海倫略加思索就解決了它． _____________________________________ （2018年黃岡中考數(shù)學(xué)第13題） 如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長(zhǎng)為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為 cm（杯壁厚度不計(jì)）． 【答案】20． 【分析】解：如圖：將杯子側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′， 連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B=√(A′D2＋BD2)＝20（cm）． （2018年貴港中考數(shù)學(xué)第11題） 如圖，在菱形ABCD中，AC=6√2，BD=6，E是BC邊的中點(diǎn)，P，M分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是（ ?。?/span> A．6 B．3√3 C．2√6 D．4.5 【答案】C． 【分析】解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，過(guò)點(diǎn)E′作E′M⊥AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P、M即為使PE+PM取得最小值， 其PE+PM=PE′+PM=E′M， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴點(diǎn)E′在CD上， ∵AC=6√2，BD=6， ∴AB=3√3， 由S菱形ABCD=1/2AC·BD=AB·E′M得1/2×6×6=3√3·E′M， 解得：E′M=2√6， 即PE+PM的最小值是2√6． （2018年濱州中考數(shù)學(xué)第11題） 如圖，∠AOB=60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的定點(diǎn)且OP=√3，若點(diǎn)M、N分別是射線(xiàn)OA、OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是（ ?。?/span> A．3√6/2 B．3√3/2 C．6 D．3 【答案】D． 【分析】解：作P點(diǎn)分別關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接CD分別交OA、OB于M、N，如圖， 則MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC， ∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°， ∴此時(shí)△PMN周長(zhǎng)最小， 作OH⊥CD于H，則CH=DH， ∵∠OCH=30°， ∴OH=1/2OC=√3/2， CH=√3OH=3/2， ∴CD=2CH=3．
（2018年泰安中考數(shù)學(xué)第12題） 如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，則AB的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C． 【分析】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°， ∵AO=BO，∴AB=2PO， 若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值， 連接OM，交⊙M于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P位于P′位置時(shí)，OP′取得最小值， 過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q， 則OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3， ∴AB=2OP′=6．
（2018年天津中考數(shù)學(xué)第11題） 如圖，在正方形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線(xiàn)BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線(xiàn)段的長(zhǎng)等于AP+EP最小值的是（ ?。?/span>
A．AB B．DE C．BD D．AF 【答案】D． 【分析】解：如圖，連接CP， 由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP， ∴AP=CP， ∴AP+PE=CP+PE， ∴當(dāng)點(diǎn)E，P，C在同一直線(xiàn)上時(shí)，AP+PE的最小值為CE長(zhǎng)， 此時(shí)，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，可得△ABF≌△CDE， ∴AF=CE， ∴AP+EP最小值等于線(xiàn)段AF的長(zhǎng)．
（2018年新疆中考數(shù)學(xué)第9題） 如圖，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，則MP+PN的最小值是（ ?。?/span>
A．1/2 B．1 C．√2 D．2 【答案】B． 【分析】解：如圖，作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，連接M′N(xiāo)交AC于P，此時(shí)MP+NP有最小值，最小值為M′N(xiāo)的長(zhǎng)． ∵菱形ABCD關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，M是AB邊上的中點(diǎn)，∴M′是AD的中點(diǎn)， 又∵N是BC邊上的中點(diǎn)，∴AM′∥BN，AM′=BN， ∴四邊形ABNM′是平行四邊形，∴M′N(xiāo)=AB=1， ∴MP+NP=M′N(xiāo)=1，即MP+NP的最小值為1．
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