一、功的概念

1、功

（1）定義：物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生一段位移，就說(shuō)該力對(duì)物體做了功.

（2）兩個(gè)必要條件：

做功的兩個(gè)必要條件是力和物體在力的方向上的位移，兩者缺一不可，功是過(guò)程量，即做功必定對(duì)應(yīng)一個(gè)過(guò)程（位移），應(yīng)明確是哪個(gè)力在哪個(gè)過(guò)程中的功.

（3）公式：（適用于恒力做功）.

（4）對(duì)公式的理解：

①力F和s、的乘積（其中α是F和s兩矢量的正向夾角）.

②力F和scosα（位移在力的方向上的分量）的乘積.

③Fcosα（力在位移方向上的分量）和s的乘積.

其中α為F、s正方向之間的夾角，s為物體對(duì)地的位移.

（5）功是標(biāo)量，但有正負(fù)之分.

①當(dāng)時(shí)，W>0，力對(duì)物體做正功.

②當(dāng)90°α≤180°時(shí)，W<>，力對(duì)物體做負(fù)功，也可說(shuō)物體克服該力做了功.

③當(dāng)α＝90°時(shí)，W＝0，力對(duì)物體不做功，典型的實(shí)例有向心力不做功，洛侖茲力不做功.

（6）判斷一個(gè)力做正功還是負(fù)功的方法

①根據(jù)力和位移方向的夾角判斷，此法常用于判斷恒力做的功. 由于功，當(dāng)α＝90°，即力和作用點(diǎn)的位移方向垂直時(shí)，力做的功為零.

②根據(jù)力和瞬時(shí)速度方向的夾角判斷，此法常用于判斷質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)變力做的功，當(dāng)力的方向和瞬時(shí)速度方向垂直時(shí)，力不做功.

③根據(jù)物體或系統(tǒng)能量是否變化，彼此是否有能量的轉(zhuǎn)移或轉(zhuǎn)化進(jìn)行判斷，若有能量的變化，或系統(tǒng)內(nèi)各物體間彼此有能量的轉(zhuǎn)移或轉(zhuǎn)化，則必定有力做功.

④以正負(fù)功的物理意義為依據(jù)，從阻礙運(yùn)動(dòng)還是推動(dòng)運(yùn)動(dòng)入手分析，阻礙運(yùn)動(dòng)是阻力，阻力對(duì)物體做負(fù)功；推動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)是動(dòng)力，動(dòng)力做正功；對(duì)物體運(yùn)動(dòng)既不起阻礙作用，也不起推動(dòng)作用，不做功. 此法關(guān)鍵是分析出某力是動(dòng)力還是阻力.

（7）功是能量轉(zhuǎn)化的量度，做功過(guò)程一定伴隨能量轉(zhuǎn)化，并且做多少功就有多少能量發(fā)生轉(zhuǎn)化.

問(wèn)題1、功的概念的理解、正負(fù)功的判斷問(wèn)題：

如圖所示，光滑的斜劈放在水平面上，斜面上用固定的豎直板擋住一個(gè)光滑球。在整個(gè)裝置沿水平面以速度v向左勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，以下說(shuō)法中正確的是（    ）

A. 小球的重力不做功

B. 斜面對(duì)球的彈力做正功

C. 擋板對(duì)球的彈力不做功

D. 擋板對(duì)球的彈力做負(fù)功

答案：ABD

變式1、

如圖所示，小物塊A位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平面上，從地面上看，小物體沿斜面下滑的過(guò)程中，斜面對(duì)小物塊的作用力    （    ）

A. 垂直于接觸面，做功為零

B. 垂直于接觸面，做功不為零

C. 不垂直于接觸面，做功為零

D. 不垂直于接觸面，做功不為零

答案：B

變式2、

如圖所示，質(zhì)量均為m的a、b兩球固定在輕桿的兩端，桿可繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，已知兩物體距O點(diǎn)的距離，今在水平位置由靜止釋放，則在a下降過(guò)程中，桿對(duì)b球的作用力（    ）

A. 方向沿bO，不做功

B. 方向沿bO，做正功

C. 方向與bO成一定夾角，做正功

D. 方向與bO成一定夾角，做負(fù)功

答案：C

2. 功的計(jì)算

（1）由功的公式求某個(gè)力的功.

（2）多個(gè)力的總功求解.

①用平行四邊形定則求出合外力，再根據(jù)計(jì)算功. 注意α應(yīng)是合外力與位移s間的夾角.

②分別求各個(gè)外力的功：…再求各個(gè)外力做的功的代數(shù)和.

（3）變力做功的計(jì)算

①W＝F·能用來(lái)計(jì)算恒力的功，若是變力，求變力的功可以通過(guò)將變力轉(zhuǎn)化為恒力，再用計(jì)算.

②有兩類(lèi)不同的力：一類(lèi)是與勢(shì)能相關(guān)聯(lián)的力，比如重力、彈簧的彈力，以及電場(chǎng)力等，它們的功與路徑無(wú)關(guān)，只與位移有關(guān)或者說(shuō)只與始末點(diǎn)的位置有關(guān)；另一類(lèi)是滑動(dòng)摩擦力、空氣阻力等，在曲線運(yùn)動(dòng)或往返運(yùn)動(dòng)時(shí)，這類(lèi)力的功等于力和路程（不是位移）的積，其中摩擦力做功的特點(diǎn)很重要：

A. 摩擦力可以做正功，也可以做負(fù)功，也可以不做功.

B. 一對(duì)靜摩擦力做功的代數(shù)和總為零.

C. 一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和總為負(fù)值.

③根據(jù)功和能關(guān)系求變力的功，如根據(jù)勢(shì)能的變化求對(duì)應(yīng)的力做的功，根據(jù)功能定理求變力做的功，等等.

④根據(jù)功率恒定，求變力的功可用W＝Pt.

⑤利用F－s圖求變力的功，F對(duì)s圖象所圍面積即表示力F做的功。

3. 作用力與反作用力的功

作用力與反作用力同時(shí)存在，作用力做功時(shí)，反作用力可能做功，也可能不做功，可能做正功，也可能做負(fù)功，不要以為作用力與反作用力大小相等、方向相反，就一定有作用力、反作用力的功數(shù)值相等，一正一負(fù)。

問(wèn)題2、功的計(jì)算問(wèn)題：

如圖所示，固定的光滑豎直桿上套著一個(gè)滑塊，用輕繩系著滑塊繞過(guò)光滑的定滑輪，以大小恒定的拉力F拉繩，使滑塊從A點(diǎn)起由靜止開(kāi)始上升。若從A點(diǎn)上升至B點(diǎn)和從B點(diǎn)上升至C點(diǎn)的過(guò)程中拉力F做的功分別為W₁、W₂，滑塊經(jīng)B、C兩點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能分別為、，圖中AB=BC，則一定有（    ）

A. 

B. 

C. 

D. 

答案：A

變式3、

質(zhì)量為m的物塊放在光滑的水平面上，繩通過(guò)滑輪以與水平方向成角、大小為F的力拉物塊，如圖所示。將物塊由A點(diǎn)拉至B點(diǎn)，前進(jìn)的距離為S，求外力對(duì)物塊所做的總功為多大？

解一：注意W=FS cosα中的S應(yīng)是力的作用點(diǎn)的位移,當(dāng)物體向右移動(dòng)S時(shí)，力F的作用點(diǎn)既有水平位移S，又有沿繩向的位移S，合位移為S_合，

S_合=2S cosα/2，W=F S_合cosα/2 =FS（1+cosα）

解二：外力對(duì)物體所做的總功等效于水平繩和斜繩上的兩個(gè)力做功的代數(shù)和

∴W=FS+FS cosα =FS（1+cosα）

例：如圖所示，在光滑的水平面上，物塊在恒力F=100N作用下從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，不計(jì)滑輪的大小，不計(jì)繩、滑輪的質(zhì)量及繩與滑輪間的摩擦，，求拉力F所做的功。

解析：在物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過(guò)程中，由于繩不能伸縮，故力F的作用點(diǎn)的位移大小S等于滑輪左側(cè)繩子長(zhǎng)度的減小量，即，又因?yàn)?/span>F與力的作用點(diǎn)的位移S方向相同，夾角為0。故拉力F所做的功W=FS=

答案：100J

二、功率的概念

1. 功率

（1）定義：功跟完成這些功所用的時(shí)間的比叫做功率，是表示物體做功快慢的物理量，標(biāo)量.

（2）公式：①，②

式中v為瞬時(shí)速度，對(duì)于機(jī)車(chē)，式中F為牽引力而非合外力.

（3）單位：在國(guó)際單位制中，功率單位為W，常用的還有kW.

2. 平均功率和瞬時(shí)功率

（1）平均功率：表示力在一段時(shí)間內(nèi)做功的平均快慢，。

（2）瞬時(shí)功率：表示力在某一時(shí)刻做功的快慢，大小為，θ為力的方向和速度方向之間的夾角，若θ＝0，即F與v同向，有P=Fv.

（3）額定功率和實(shí)際功率

①額定功率是指動(dòng)力機(jī)器長(zhǎng)時(shí)間正常工作時(shí)的最大輸出功率，額定功率是動(dòng)力機(jī)器的重要性能指標(biāo)，一個(gè)動(dòng)力機(jī)器的額定功率是一定的.

②實(shí)際功率：指機(jī)器工作時(shí)的實(shí)際輸出功率，即發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的牽引力做功的功率. 實(shí)際功率可以等于或小于額定功率，實(shí)際功率長(zhǎng)時(shí)間大于額定功率時(shí)會(huì)損壞機(jī)器.

問(wèn)題3、實(shí)際問(wèn)題中平均功率的計(jì)算問(wèn)題：

一跳繩運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量m=50kg，1min跳N=180次，假設(shè)每次跳躍中，腳與地面接觸時(shí)間占跳躍一次所需時(shí)間的，試估算該運(yùn)動(dòng)員跳繩時(shí)克服重力做功的平均功率。

解析：每次跳躍人克服重力做的功，由于騰空過(guò)程可視作豎直上拋，上升階段人克服重力做功，而下落過(guò)程重力做功，這一上一下，重力做功為零，人克服重力做功只在上升過(guò)程中，故每次跳躍，人克服重力做功的能量來(lái)源是人與地面作用時(shí)，地面的反作用力瞬間做功，使人獲得初動(dòng)能。

v₀為豎直上拋的初速度，人在空中的時(shí)間為t₁

，T為每次跳躍的周期

.

所求功率為

變式4、質(zhì)量為m的物體靜止在光滑水平面上，從t=0時(shí)刻開(kāi)始受到水平力的作用。力的大小F與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示，力的方向保持不變，則

A. 時(shí)刻的瞬時(shí)功率為

B. 時(shí)刻的瞬時(shí)功率為

C. 在到這段時(shí)間內(nèi)，水平力的平均功率為

D. 在到這段時(shí)間內(nèi)，水平力的平均功率為

答案：BD

三、機(jī)車(chē)的兩種啟動(dòng)模式

1. 汽車(chē)以恒定功率啟動(dòng)

汽車(chē)要以恒定功率行駛，必定做加速度逐漸減小的變加速運(yùn)動(dòng)。加速度為零時(shí)，汽車(chē)的速度達(dá)到最大，此時(shí)有

故汽車(chē)行駛的最大速度，其動(dòng)態(tài)變化過(guò)程為：

機(jī)車(chē)達(dá)最大速度時(shí)，這一啟動(dòng)過(guò)程的關(guān)系如圖所示，其中。

2. 汽車(chē)以恒定加速度啟動(dòng)

要維持汽車(chē)的加速度恒定，則牽引力應(yīng)為恒力，由P=Fv可得，汽車(chē)的輸出功率必將越來(lái)越大，而輸出功率的增大是有限的，其極限為最大功率即額定功率，達(dá)到額定功率后只能再以恒定的功率（額定功率）行駛，做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，直至達(dá)到最大速度，以后做勻速運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)態(tài)變化過(guò)程為

這一過(guò)程的關(guān)系如圖所示。

其中為勻加速運(yùn)動(dòng)能達(dá)到的最大速度。

勻加速階段的最長(zhǎng)時(shí)間為，最大速度，終極速度。變加速運(yùn)動(dòng)階段通常采用動(dòng)能定理計(jì)算：

問(wèn)題4、機(jī)車(chē)不同模式啟動(dòng)的動(dòng)態(tài)分析問(wèn)題：

一汽車(chē)額定功率為100kW，質(zhì)量為，設(shè)阻力恒為車(chē)重的0.1倍。

（1）若汽車(chē)保持恒定功率運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)的最大速度；

（2）若汽車(chē)以0.5m/s²的加速度勻加速運(yùn)動(dòng)，求其勻加速運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間。

解析：（1）當(dāng)a=0，即時(shí)速度最大為。以后車(chē)即保持v_m不變的勻速運(yùn)動(dòng)。

（2）勻加速啟動(dòng)時(shí)，汽車(chē)牽引力恒定，它的實(shí)際功率還小于額定功率，隨著，直至達(dá)到額定功率后，，汽車(chē)改做a減小的變加速運(yùn)動(dòng)，直至a=0達(dá)到最大速度v_m后又勻速運(yùn)動(dòng)。

勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)由得汽車(chē)牽引力

達(dá)到額定功率時(shí)的速度

此即勻加速運(yùn)動(dòng)的末速度，所以勻加速運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間

變式5、圖示為修建高層建筑常用的塔式起重機(jī)。在起重機(jī)將質(zhì)量m=5×10³ kg的重物豎直吊起的過(guò)程中，重物由靜止開(kāi)始向上作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a=0.2 m/s²，當(dāng)起重機(jī)輸出功率達(dá)到其允許的最大值時(shí)，保持該功率直到重物做v_m=1.02 m/s的勻速運(yùn)動(dòng)。取g=10 m/s²，不計(jì)額外功。求：

（1）起重機(jī)允許輸出的最大功率。

（2）重物做勻加速運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間和起重機(jī)在第2秒末的輸出功率。

解析：（1）設(shè)起重機(jī)允許輸出的最大功率為P₀，重物達(dá)到最大速度時(shí)，拉力F₀等于重力。

P₀＝F₀v_m    ①

P₀＝mg       ②

代入數(shù)據(jù)，有：P₀＝5.1×10⁴W      ③

（2）勻加速運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，起重機(jī)達(dá)到允許輸出的最大功率，設(shè)此時(shí)重物受到的拉力為F，速度為v₁，勻加速運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷時(shí)間為t₁，有：

P₀＝Fv₁          ④

F－mg＝ma          ⑤

v₁＝at₁           ⑥

由③④⑤⑥，代入數(shù)據(jù)，得：t₁＝5 s      ⑦

T＝2 s時(shí)，重物處于勻加速運(yùn)動(dòng)階段，設(shè)此時(shí)速度為v₂，輸出功率為P，則

v₂＝aT      ⑧

P＝Fv-₂       ⑨

由⑤⑧⑨，代入數(shù)據(jù)，得：P＝2.04×10⁴W。