到現(xiàn)在為止，我們考慮的是自由粒子，即不受任何自然力的作用、在空間做恒速直線運(yùn)動(dòng)的粒子（注3.8）。但自然之豐富多彩，正是因?yàn)槭挛锿ㄟ^自然力相互影響。所以我們需要把力納入我們關(guān)于物質(zhì)波動(dòng)性的考慮之中。1926年，柏林大學(xué)的奧地利物理學(xué)家薛定諤率先做到了這一點(diǎn)。他的結(jié)果隱藏在一個(gè)著名的數(shù)學(xué)關(guān)系中，叫做薛定諤方程。

薛定諤發(fā)現(xiàn)，要把力引入新出現(xiàn)的量子理論，最自然的方法并不是引入力對于被描述粒子的推和拉，而是引入與力的推拉作用相當(dāng)?shù)膭菽?。所以讓我們先介紹勢能的概念。

考慮一輛沒有掛上檔的汽車駛上山坡，我們忽略軸承的摩擦和輪胎與路面的摩擦。車在爬上山坡的同時(shí)失去速度，故而失去動(dòng)能。但能量是守恒量。車在山腳（那時(shí)它速度快）和在山上停止并開始向后退的那一刻，能量必定是一樣的。

那么車在山腳時(shí)動(dòng)能形式的能量到哪里去了呢？當(dāng)車沿山坡向上行時(shí)，它對抗重力的吸引而減速，它的動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)橹亓菽?。在車達(dá)到最大高度并開始向后退之前的那一點(diǎn)，它的速度為零，車的全部能量都轉(zhuǎn)變?yōu)橹亓菽?。在這一點(diǎn)上車具有的勢能等于車在開始上坡前所具有的動(dòng)能。

把這種重力能叫做“勢”，是因?yàn)樗哂袑囎龉Α亩謴?fù)其原有動(dòng)能的潛勢。如果車向后退下山，在達(dá)到山腳時(shí)它將具有與上山前同樣的速率（只要沒有摩擦），這時(shí)重力勢能完全實(shí)現(xiàn)了它轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)能的潛勢。

如果在車達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)我們用什么東西阻擋了車輪，勢能就被鎖住了。但能量還在，成為車的物理狀態(tài)的一個(gè)具體方面。只要移除阻擋，這勢能就實(shí)現(xiàn)其潛勢而產(chǎn)生動(dòng)能。勢能是物體在某種力的作用下儲(chǔ)存于物體的一種能量形式。

車的勢能決定于車的位置。用數(shù)學(xué)語言來說，車的勢能是車位置的函數(shù)。在此例中，車的位置就是車從山腳沿著道路運(yùn)動(dòng)的距離x。在山腳處勢能為零，就是說，沒有動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)閯菽?。?dāng)車駛上山，到了越高的位置，速率越小，故動(dòng)能越小。這恰是因?yàn)樵谠礁咛帲亓菽茉酱?；就是說，車越高，重力對車做功使它回到山腳的潛勢越大。因?yàn)榭偰芰渴睾?，車失去的?dòng)能必定轉(zhuǎn)變?yōu)閯菽堋?/p>

如果我們用V表示重力勢能，則V（x）表示這個(gè)勢能函數(shù)。就是說，勢能V在任何給定的位置x上具有唯一確定之值V（x）。

在我們的例子里，勢能是重力勢能，物體是汽車。一般地，勢能可以是四種力中任何一種的勢能，物體可以是任何帶有相應(yīng)的荷的東西（質(zhì)量是與重力對應(yīng)的荷）。

下面是薛定諤方程的完整表示式。但這是薛定諤方程的一維形式（注3.9），只適用于一維運(yùn)動(dòng)的情形（例如車被限于沿著道路向前和向后運(yùn)動(dòng)，不向道路兩側(cè)運(yùn)動(dòng)也不能上下運(yùn)動(dòng)）。雖然如此，這仍是一個(gè)十分有用的方程，多年來物理學(xué)家花了不少功夫研究它：

熟悉微積分的讀者知道，這是微分方程，包含微分運(yùn)算（由第一項(xiàng)的微分算子d2/dx2表示），但不用擔(dān)心。為了往下閱讀本書，你不必懂得如何解此方程。但是需要做一些解釋。

在普通代數(shù)里，方程式是一個(gè)未知量與一個(gè)或多個(gè)已知量的定量關(guān)系，使我們可以利用數(shù)學(xué)規(guī)則計(jì)算未知量。對于微分方程，未知的不是一個(gè)量而是一個(gè)函數(shù)。在薛定諤方程的情形下，未知函數(shù)ψ（x）是物體的波函數(shù)。

簡單來說，薛定諤方程是確定物體波函數(shù)ψ（x）的“處方”。這是一張完整的處方，包含了可能用于確定粒子性質(zhì)的一切，這個(gè)粒子具有質(zhì)量m和能量E，且在某種力的作用之下，相應(yīng)的勢能函數(shù)是V（x）。如果你把這個(gè)微分方程當(dāng)做物理學(xué)家玩的游戲，那么他們贏得游戲的方法是找到波函數(shù)的所有可能的解。注意，確定粒子物理?xiàng)l件的是勢能函數(shù)V（x），例如氫原子中在質(zhì)子電磁力作用下的電子具有某個(gè)勢能函數(shù)等。

那么波函數(shù)ψ（x）表示什么呢？薛定諤方程結(jié)合了量子力學(xué)的所有原理和約束，表示出為確定一個(gè)粒子的物理?xiàng)l件我們需要知道的一切。因此，通過解薛定諤方程得到的波函數(shù)ψ（x），包含了對粒子物理狀態(tài)可能知道的一切。所以，波函數(shù)ψ（x）是試圖探測粒子性質(zhì)的人們所能得到的一切物理信息的經(jīng)濟(jì)的編碼。

雖然ψ（x）本身沒有物理意義，一旦已知ψ（x），粒子的任何物理信息都可由之確定。如果你要知道在空間某點(diǎn)發(fā)現(xiàn)粒子的概率，你只需對ψ（x）做一特定計(jì)算：將該點(diǎn)上的ψ（x）平方。如果你要知道物體的動(dòng)能，你做不同的計(jì)算（需要微分運(yùn)算）。你也可以從ψ（x）計(jì)算粒子運(yùn)動(dòng)的速率和方向（在不確定性容許的范圍內(nèi)）。

現(xiàn)在，如果粒子是自由的（不受任何力），則無勢能，即V（x）=0。在此情形下，薛定諤方程的解ψ（x）就是德布羅意猜想的那個(gè)波，波長為▌=h/p。所以正如我們希望的那樣，薛定諤方程把德布羅意假設(shè)推廣到了非自由粒子的情形。

因?yàn)檫@個(gè)理論叫做量子力學(xué)（雖然如前面指出的，也許叫做波動(dòng)力學(xué)更好），我們該討論量子化概念是如何進(jìn)入這個(gè)理論的。

當(dāng)我們用薛定諤方程中的勢能函數(shù)V（x）考慮力的作用時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，對于給定的V（x），薛定諤方程的解只對總能量E的某些“容許值”存在。這是薛定諤方程解ψ（x）的一般性質(zhì)，對任何勢能函數(shù)V（x）都成立（注3.10）。E的特定容許值決定于函數(shù)V（x）的具體形式。

這樣，薛定諤理論與觀察到的量子行為相容。例如一個(gè)給定的原子，只能發(fā)射某些顏色（能量）的光，這些能量對應(yīng)于原子在其兩種可容許能量之間量子態(tài)的變化。發(fā)射出的光量子或即光子的能量，正好就是變化前后狀態(tài)的能量之差（又是能量守恒！）。因?yàn)檫@些狀態(tài)只被容許具有某些能量，發(fā)射的光也只限于某些相應(yīng)的能量（顏色）。

順便提一下，因?yàn)槊恳环N原子有其唯一的勢能函數(shù)V（x），發(fā)射（或吸收）的光的顏色是原子的特征。因?yàn)檫@個(gè)緣故，天體物理學(xué)家能夠通過分析恒星到達(dá)地球的光來確定其組成。

最后，薛定諤方程由三項(xiàng)組成：等號左邊有兩項(xiàng)，右邊有一項(xiàng)。第一項(xiàng)是一種數(shù)學(xué)表達(dá)，告訴我們在知道了ψ（x）后如何計(jì)算粒子在任意點(diǎn)x處所具有的動(dòng)能。第二項(xiàng)是勢能乘以x點(diǎn)上的波函數(shù)值。第三項(xiàng)（等號右邊）是總能量乘上波函數(shù)ψ（x）。

所以，如果你看薛定諤方程中波函數(shù)所乘的因子，你會(huì)發(fā)現(xiàn)等號左邊是x點(diǎn)處的動(dòng)能和勢能，而右邊是總能量。由此看來，薛定諤方程就是如下事實(shí)的波動(dòng)力學(xué)陳述：在任意點(diǎn)上的動(dòng)能與勢能之和等于總能量，就是說，薛定諤方程是量子力學(xué)形式的能量守恒定律。從能量守恒的這一量子力學(xué)表達(dá)，產(chǎn)生了規(guī)定粒子可能具有的量子力學(xué)波函數(shù)的一組完整的約束。這又一次說明了能量守恒定律的重要性（注3.11）。

量子力學(xué)的根本重要性的一個(gè)見證，是從它的發(fā)展中孕育出了物理學(xué)的諸多全新的領(lǐng)域，包括原子和分子物理學(xué)、固體物理學(xué)（半導(dǎo)體物理和微電子器件）和粒子物理學(xué)。物理學(xué)中的專門化現(xiàn)象就是隨著這些領(lǐng)域的發(fā)展興起的，如今在物理學(xué)的好幾個(gè)領(lǐng)域里做出廣泛貢獻(xiàn)的科學(xué)家很少見了（但并不絕跡，意大利裔美國物理學(xué)家費(fèi)米就是突出的例子）。

自此以下，我們的討論必定要反映這種專門化的趨勢，所以我們只好下一次再來游覽其他豐富多彩的領(lǐng)域。但我們不會(huì)因此感到遺憾，因?yàn)樵谖覀冞x擇的路徑上風(fēng)景無限，肯定讓我們不虛此行。我們的下一個(gè)目的地是量子場論。量子場論是基本量子理論的進(jìn)一步發(fā)展，往往被認(rèn)為是我們對于自然基本運(yùn)行機(jī)制的認(rèn)識上與量子理論本身一樣重大的飛躍。

書名：物質(zhì)深處：粒子物理學(xué)的攝人之美