離散二維傅里葉變換

一常用性質(zhì)：

       可分離性、周期性和共軛對稱性、平移性、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、卷積與相關(guān)定理；

（1）可分離性：

   二維離散傅里葉變換DFT可分離性的基本思想是DFT可分離為兩次一維DFT。因此可以用通過計(jì)算兩次一維的FFT來得到二維快速傅里葉FFT算法。根據(jù)快速傅里葉變換的計(jì)算要求，需要圖像的行數(shù)、列數(shù)均滿足2的n次方，如果不滿足，在計(jì)算FFT之前先要對圖像補(bǔ)零以滿足2的n次。

   一個(gè)M行N列的二維圖像f(x,y)，先按行隊(duì)列變量y做一次長度為N的一維離散傅里葉變換，再將計(jì)算結(jié)果按列向?qū)ψ兞縳做一次長度為M傅里葉變換就可以得到該圖像的傅里葉變換結(jié)果，如式所示：

將上式分解開來就是如下的兩部分，先得到F(x,v),再由F(x,v)得到F(u,v)：

計(jì)算過程如下：

每一行由N個(gè)點(diǎn)，對每一行的一維N點(diǎn)序列進(jìn)行離散傅里葉變換得到F(x,u),再對得到F(x,u)按列向?qū)γ恳涣凶鯩點(diǎn)的離散傅里葉變換，就可以得到二維圖像f(x,y)的離散傅里葉變換F(u,v).

同樣，做傅里葉逆變換時(shí)，先對列向做一維傅里葉逆變換，再對行做一維逆傅里葉變換，如下式所示：

（2）周期性和共軛對稱性

由傅里葉變換的基本性質(zhì)可以知道，離散信號的頻譜具有周期性。離散傅里葉變換DFT和它的里變換都以傅里葉變換的點(diǎn)數(shù)N為周期的。

對于一維傅里葉變換有：

對于二維傅里葉變換有：

類似有：即從DFT角度來看，反變換得到的圖像陣列也是二維循環(huán)的。

共軛對稱性

對于一維信號有：F(u)=F*(-u),如圖所示的一維信號的幅度譜：點(diǎn)數(shù)為M的傅里葉變換一個(gè)周期為M，關(guān)于原點(diǎn)對稱。原點(diǎn)即為0頻率點(diǎn)，從圖中可以看出在0頻率的值最大，即信號f(x)的直流分量(均值)，遠(yuǎn)離原點(diǎn)處的即為高頻成份，高頻成份的幅值較小，說明信號的大部分能量集中在低頻部分。

對于二維信號有：F(u,v)=F*(-u,-v)對于二維圖像，其結(jié)果如圖c所示。左上角(0,0)處為二維圖像得0頻率點(diǎn)，該點(diǎn)得值對應(yīng)圖像的平均灰度值，圖中四個(gè)角對應(yīng)低頻成分，中間區(qū)域?yàn)楦哳l成份，低頻區(qū)域的幅度值打羽高頻區(qū)域的幅度值，也同樣表示該信號的主要能量集中在低頻區(qū)域。

根據(jù)周期性和共軛對稱性，在對圖像進(jìn)行頻譜分析處理時(shí)只需要關(guān)注一個(gè)周期就可以了，同時(shí)利用圖像的傅里葉變換和傅里葉變換的共軛可以直接計(jì)算圖像的幅度譜，因此使得圖像的頻譜計(jì)算和顯示得以簡化。

（3)平移性：

傅里葉變換對有如下平移性質(zhì)：

式子表明，

在頻域中原點(diǎn)平移到(u0 ,v0)時(shí)，其對應(yīng)的空間域 f(x,y)要乘上一個(gè)正的指數(shù)項(xiàng)：

在空域中圖像原點(diǎn)平移到(x0,y0)時(shí)，其對應(yīng)的F(u,v)要乘上一個(gè)負(fù)的指數(shù)項(xiàng)：

在數(shù)字圖像處理中，常常需要將F(u,v)的原點(diǎn)移到N*N頻域的中心，以便能清楚地分析傅里葉譜的情況，平移前空域、頻域原點(diǎn)均在左上方。要做到這點(diǎn)，只需令上面平移公式中的：u0=v0=N/2；

所以

上式表明：如果需要將圖像傅里葉譜的原點(diǎn)從左上角(0,0)移到中心點(diǎn)(N/2,N/2),只要f(x,y)乘上因子進(jìn)行傅里葉變換即可實(shí)現(xiàn)。

平移性還體現(xiàn)了：當(dāng)空域中f(x,y)產(chǎn)生移動(dòng)時(shí)，在頻域中只發(fā)生相移，并不影響他的傅里葉變換的幅度，因?yàn)椋?/span>

反之，當(dāng)頻域中F(u,v)產(chǎn)生移動(dòng)時(shí)，相應(yīng)f(x,y)在空域中也只發(fā)生相移，不產(chǎn)生幅值變化。根據(jù)平移性質(zhì)，為了更清楚查看二維圖像的頻譜，使直流成分出項(xiàng)在圖像中央，在把畫面分成四分的基礎(chǔ)上，進(jìn)行如圖所示的換位(移位)也是可以的，這樣，頻域原點(diǎn)就回平移到中心。如下所示：

（4）旋轉(zhuǎn)性質(zhì)

如果 f(x,y)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，那么 f(x,y)旋轉(zhuǎn)后的圖像的傅立葉變換也旋轉(zhuǎn)了相同的角度。平面直角坐標(biāo)改寫成極坐標(biāo)形式：

替換則有：

如果f(x,y)被旋轉(zhuǎn)W,則F(u,v)被旋轉(zhuǎn)同一角度。即有傅里葉變換對：

如下所示：

同時(shí)，我們可以得出結(jié)論，對圖像進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換和傅立葉變換的順序是可交換的。即先旋轉(zhuǎn)再傅里葉變換或者先傅里葉變換再旋轉(zhuǎn)，得到的結(jié)果相同。F{R{f(x,y)}} = R{F{f(x,y)}}。

（5）卷積與相關(guān)定理

卷積定理包括空間域卷積和頻率域卷積，卷積是空間域?yàn)V波和頻率域?yàn)V波之間的紐帶：兩個(gè)空域信號的卷積等價(jià)于其頻域信號的 乘積f(x,y)*h(x,y) → F(u,v)H(u,v) 或者 F{f(x,y)*h(x,y)} = F(u,v)H(u,v)；

兩個(gè)信號頻域上的卷積等價(jià)于空間域的相乘f(x,y) g(x,y) →F(u,v)*H(u,v)；

該性質(zhì)的好處是將需要經(jīng)過翻折、平移、相乘、求和等步驟實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜的卷積運(yùn)算簡化為簡單的乘法運(yùn)算，這也是快速傅里葉變換（FFT）的出現(xiàn)使得該性質(zhì)得到更廣泛應(yīng)用，同時(shí)，該性質(zhì)對于理解信號的頻率域處理方法特別重要，使得信號的空間域處理可以轉(zhuǎn)換到頻率域進(jìn)行處理實(shí)現(xiàn)。

根據(jù)空間域卷積定理，在空間域?qū)?yīng)的是原始信號與濾波器的沖擊響應(yīng)的卷積，卷積定義式為信號翻折平移求和的過程，步驟復(fù)雜，運(yùn)算量大，但如果轉(zhuǎn)換到頻率域進(jìn)行處理，則對在將二者的頻譜直接相乘就可以得到濾波結(jié)果，然后對濾波結(jié)果進(jìn)行傅里葉逆變換就可以得到濾波后的空間域域圖像。如下圖所示，對信號進(jìn)行低通和高通濾波處理的過程和效果。

相關(guān)定理：

空域中 f(x,y)與 與 g(x,y) 的相關(guān)等價(jià)于頻域中 F(u,v) 的共軛與 G(u,v)  相乘f(x,y) g(x,y) → F*(u,v)G(u,v)

同時(shí)有：f*(x,y)g(x,y) → F(u,v) G(u,v)

相關(guān)定理與卷積定理類似，也是把積分求和過程轉(zhuǎn)化為了頻域相乘，因此，也使得相關(guān)分析的計(jì)算簡化。

相關(guān)的重要應(yīng)用在于匹配：確定是否有感興趣的物體區(qū)域。f(x,y)是原始圖像，g(x,y)作為感興趣的物體或區(qū)域（模板），如果匹配，兩個(gè)函數(shù)的相關(guān)值會(huì)在 f 中找到相應(yīng) g 點(diǎn)的位置上達(dá)到最大值。如下圖所示。圖像 f(x,y) 與模板 g(x,y)，通過計(jì)算相關(guān)函數(shù)，在匹配點(diǎn)處達(dá)到最大值，如圖中紅色圓圈標(biāo)注的區(qū)域。

延拓圖像 f(x,y)，延拓圖像 g(x,y)，相關(guān)函數(shù)圖像，通過相關(guān)圖像最大值的水平灰度剖面圖。

傅里葉變換的實(shí)例與應(yīng)用

首先我們認(rèn)識幾點(diǎn)有關(guān)傅里葉變換的特點(diǎn)：

l 傅里葉變換是從將圖像從空間域變換到頻率域，具有明確的物理意義。圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度，在噪聲點(diǎn)和圖像邊緣處的頻率為高頻。

l 在頻率域中，將信號表示為一系列正弦信號或者復(fù)指數(shù)函數(shù)的疊加，正弦信號的頻率、幅值和相位可以描述正弦信號中的所有信息，由此可以得到信號的幅度譜和相位譜。在圖像領(lǐng)域就是將圖像灰度作為正弦變量。

l 傅里葉變換全局性的，是一個(gè)積分求和的過程，對時(shí)間、地點(diǎn)位置無法進(jìn)行準(zhǔn)確定義，也就是說傅里葉變換得到的頻譜圖中的點(diǎn)無法與空間域中的某個(gè)空間位置對應(yīng)，因此，從傅里葉變換圖中并不能直接對應(yīng)某個(gè)位置的特點(diǎn)。

l 傅里葉變換是一系列不同頻率三角函數(shù)的和，每個(gè)頻率分量的系數(shù)不同，這些系數(shù)代表了各頻率成分的強(qiáng)弱或者所占比重，通過分析這些系數(shù)就可以分析圖像的特性。