三角形的重心公式證明

重心是三角形三邊中線的交點，三線交一點可用燕尾定理來證明。

三角形的重心

已知：△ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交于O，CO延長線交AB于F。求證：F為AB中點。

證明：根據(jù)燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再應(yīng)用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。

重心的幾條性質(zhì)：

1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4.在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術(shù)平均，即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空間直角坐標系——橫坐標：(X1+X2+X3)/3縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3豎坐標：(Z1+Z2+Z3)/3

5.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點。

如果用塞瓦定理證，則極易證三條中線交于一點。

如圖，在△ABC中，AD、BE、CF是中線

則AF=FB，BD=DC，CE=EA

∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1

∴AD、BE、CF交于一點

即三角形的三條中線交于一點

其實考試中不會單獨的出現(xiàn)關(guān)于三角形的重心問題，而是綜合圖形知識要領(lǐng)，這就需要大家準確的分析了。

直角三角形的判定公式

在即將到來的期末考試中，關(guān)于直角三角形的判定試題一定會出現(xiàn)。

直角三角形的判定

判定1：有一個角為90°的三角形是直角三角形。

判定2：若a的平方+b的平方=c的平方，則以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊的直角三角形(勾股定理的逆定理)。

判定3：若一個三角形30°內(nèi)角所對的邊是某一邊的一半，那么這個三角形是以這條長邊為斜邊的直角三角形。

判定4：兩個銳角互余的三角形是直角三角形。

判定5：證明直角三角形全等時可以利用HL，兩個三角形的斜邊長對應(yīng)相等，以及一個直角邊對應(yīng)相等，則兩直角三角形全等。[定理：斜邊和一條直角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。簡稱為HL]

判定6：若兩直線相交且它們的斜率之積互為負倒數(shù)，則這兩直線垂直。

判定7：在一個三角形中若它一邊上的中線等于這條中線所在邊的一半，那么這個三角形為直角三角形。

在考試中大家如果遇見了關(guān)于直角三角形的判定問題時，請靈活的使用上述的知識要領(lǐng)。

正比例函數(shù)的公式應(yīng)用

正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式，在線性規(guī)劃問題中體現(xiàn)的力量也是無窮的。

正比例函數(shù)公式應(yīng)用

首先通過5個問題，得出5個函數(shù)，觀察這5個函數(shù)，可納出正比例函數(shù)概念。要能判斷一個函數(shù)是否為正比例函數(shù)。然后畫出4個正比例函數(shù)圖象，觀察歸納出正比例函數(shù)的性質(zhì)。

根據(jù)上面的5個實際問題，我們得到5個函數(shù)。下面觀察這5個函數(shù)的共同點，以便歸納出正比例函數(shù)概念。

①h=2t;②m=7.8n;③s=0.5t;④T=t/3;⑤y=200x。

這5個函數(shù)有什么共同的特點?

1：都有自變量。

2：都是函數(shù)。

3：都有常量。

這5個函數(shù)的右邊都是常量和自變量的什么形式?

這5個函數(shù)都是常量與自變量的乘積形式，都可表達為y=kx(k不等于0)的形式。

下面是4個函數(shù)，請判斷哪些是正比例函數(shù)?

①y=3;②y=2x;③y=1/x;④y=x^2。

解答：

②是正比例函數(shù)。因為它符合正比例函數(shù)的的定義。①，③，④則不是正比例函數(shù)。①：它為常數(shù)函數(shù)，無自變量。③：它為反比例函數(shù)。④：它為二次函數(shù)。

我們做題時重點就是正比例函數(shù)概念及正比例函數(shù)的性質(zhì)理解。

正割函數(shù)

三角函數(shù)的各個分類都是有關(guān)系的，正割與余弦互為倒數(shù)，余割與正弦互為倒數(shù)。

性質(zhì)

sec在三角函數(shù)中表示正割

直角三角形斜邊與某個銳角的鄰邊的比,叫做該銳角的正割，用sec(角)表示。

即：secθ=1/cosθ

在y=secθ中，以x的任一使secθ有意義的值與它對應(yīng)的y值作為(x，y).在直角坐標系中作出的圖形叫正割函數(shù)的圖像，也叫正割曲線.

y=secθ的性質(zhì)：

(1)定義域,θ不能取90度,270度,-90度,-270度等值;即θ≠kπ+π/2或θ≠kπ-π/2(k∈Z)

(2)值域,|secθ|≥1.即secθ≥1或secθ≤-1;

(3)y=secθ是偶函數(shù)，即sec(-θ)=secθ.圖像對稱于y軸;

(4)y=secθ是周期函數(shù).周期為2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π.

不管是公式的性質(zhì)也好，還是圖像的相知也罷，同學們?nèi)绻患訌娪洃?，那就是沒用的知識。

其實三角函數(shù)都一樣，在直角坐標系中作出的圖形叫正割函數(shù)的圖像，也叫正割曲線。

正割函數(shù)

設(shè)△ABC，∠C=90°(初中是銳角三角函數(shù))AC=b，BC=a，AB=c，正割函數(shù)：sec∠A=c/b(斜邊：鄰邊)，y=secx。

在y=secx中，以x的任一使secx有意義的值與它對應(yīng)的y值作為(x，y)。

其實總結(jié)而言就是直角三角形斜邊與某個銳角的鄰邊的比就是該銳角的正割。

圓及有關(guān)概念公式定理

我們學習的圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線，所以是無數(shù)條對稱軸。

圓及有關(guān)概念

1到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓(circle).這個定點叫做圓的圓心。

2連接圓心和圓上的任意一點的線段叫做半徑(radius)。

3通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑(diameter)。

4連接圓上任意兩點的線段叫做弦(chord).最長的弦是直徑。

5圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧(arc).大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，優(yōu)弧是用三個字母表示。小于半圓的弧稱為劣弧，劣弧用兩個字母表示。半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧。優(yōu)弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧

6由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形(sector)。

7由弦和它所對的一段弧圍成的圖形叫做弓形。

8頂點在圓心上的角叫做圓心角(centralangle)。

9頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。

10圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率。它是一個超越數(shù)，通常用π表示，π=3.1415926535……。在實際應(yīng)用中，一般取π≈3.14。

11圓周角等于弧所對的圓心角的一半。

字母表示

圓—⊙;半徑—r或R(在環(huán)形圓中外環(huán)半徑表示的字母);弧—⌒;直徑—d;

扇形弧長—L;周長—C;面積—S。

圓的表示方法要求很嚴格，需要用到相應(yīng)的知識要求。

圓的基礎(chǔ)性質(zhì)公式定理

圓是軸對稱圖形，同時圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。

圓的基礎(chǔ)性質(zhì)

⑴垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。

逆定理：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。

⑵有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理

①在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。

②一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。

圓心角計算公式:θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)

即圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù);圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半。

③如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那么其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。

⑶有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理

①一個三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等;

②內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。

③R=2S△÷L(R：內(nèi)切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長)

④兩相切圓的連心線過切點(連心線：兩個圓心相連的直線)

⑤圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。

(4)如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段(直線也可)垂直平分公共弦。

(5)弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。

(6)圓內(nèi)角的度數(shù)等于這個角所對的弧的度數(shù)之和的一半。

(7)圓外角的度數(shù)等于這個角所截兩段弧的度數(shù)之差的一半。

(8)周長相等，圓面積比長方形、正方形、三角形的面積大。

圓的知識要領(lǐng)不僅?？脊剑质且矔苯映鲆恍╆P(guān)于定理的試題。