張守榮（甘肅省通渭縣通和初級中學(xué)）

摘要：幾何直觀是數(shù)學(xué)十大核心概念之一，對于幾何直觀的教學(xué)在數(shù)學(xué)中起到十分重要的作用．而折紙由于取材方便，又能有效地考查實踐操作、歸納探索、邏輯推理、空間想象等各種能力．因此，折紙可以當(dāng)作幾何直觀中的直觀，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)起到重要的作用．文章通過幾個折紙案例加深學(xué)生對幾何直觀的理解．

關(guān)鍵詞：幾何直觀；折紙案例；動手操作

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題．借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果．幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要的作用．折紙教學(xué)作為大家熟悉的帶有娛樂性質(zhì)的教學(xué)，已經(jīng)發(fā)展成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個分支，折紙藝術(shù)既可以讓學(xué)生在折疊中探究數(shù)學(xué)知識的形成過程，又可培養(yǎng)學(xué)生動手操作、觀察分析、空間想象等能力．折紙由于取材方便，又能有效地考查實踐操作、歸納探索、邏輯推理、空間想象等各種能力．因此，折紙可以當(dāng)作幾何直觀的直觀，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)起到重要作用，現(xiàn)僅從折紙的角度來談?wù)剮缀沃庇^對學(xué)生思維的培養(yǎng)．

一、案例分析

1.折紙證明定理，開拓學(xué)生視野

案例1：三角形中位線定理.

三角形中位線定理是三角形的一個重要定理，各種版本的教材都是通過直接證明或者以例題的形式來呈現(xiàn)，而三角形中位線可以通過折紙的方法直接折出，因此可以引導(dǎo)學(xué)生通過折紙的方式嘗試證明．

所以EF∥BC，且EF=GH=GK+KH.

又由折疊可知GK=BG，KH=CH．

所以BC=2EF．

這樣就證明了三角形中位線定理．

【設(shè)計說明】該定理用折疊的方法證明不僅操作方便，易于學(xué)生找到三角形中位線，還使學(xué)生學(xué)會了如何把一個一般的三角形折成矩形，進一步積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，還可以通過這個折法驗證三角形內(nèi)角和定理，有一舉兩得的功效．

2.折出民間藝術(shù)，啟迪學(xué)生智慧

案例2：如何折正五邊形.

折紙不僅在民間藝術(shù)創(chuàng)作中有廣泛運用，還可運用到美術(shù)創(chuàng)作和美術(shù)教學(xué)中，在數(shù)學(xué)教學(xué)中也有他獨到的作用．因此，在近年中考中都是熱門考點，涌現(xiàn)出一批與折紙有關(guān)的優(yōu)秀中考題，充分體現(xiàn)了折紙在數(shù)學(xué)中的地位和作用．實際上在折紙活動中最常見的情形是折疊前后圖形的形狀和大小一樣，而最基本的結(jié)論又為折痕所形成的邊角關(guān)系，而這些關(guān)系又可幫助學(xué)生建立折紙操作與數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系．

案例3：如圖5，將矩形紙片ABCD的四個角向內(nèi)折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，若EH=3厘米，EF=4厘米，則邊AD的長是多少？

師生操作：先把矩形紙片對折兩次折出其中心O，再過點E將點O折到邊BC上，折痕為FL，點B的對應(yīng)點為點L.再將AE與EL重合對折，折痕為EH，易知H，L，F(xiàn)在一條直線上.將點D沿GH折疊，使點D落在FH上，記為點K.將點C沿GF折疊，使點C落在FH上，這時點C與點K重合（如圖6）．

4.改編“折紙”試題，體現(xiàn)折紙價值

由于矩形紙片取材方便，折疊起來也方便，因此矩形紙片作為折疊類試題的首選，在各地中考關(guān)于折疊題材的試題有很多都是以矩形為原型的．例如，(2013年河南卷第15題)如圖7，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC邊上一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點B＇處，當(dāng)△CEB＇為直角三角形時，BE的長為 .又如，(2013年山西卷第17題)如圖8，在矩形紙片ABCD中，AB=12，BC=5，點E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點A落在對角線BD上的點A＇處，則AE的長為 .它們有一個共同的特點為都通過矩形的一個頂點折疊，且折疊后的圖形所經(jīng)過的點比較特殊，都是通過折疊后一個頂點恰好落在一條對角線上，然后求折過的邊長為多少？這樣就容易讓學(xué)生在平時做題訓(xùn)練中機械地模仿，于是可對此題做以下改編.

點問題，給學(xué)生似曾相識的感覺．第（1）小題通過對以上兩道中考題說法改變后，就多出現(xiàn)了一種情況，考查了學(xué)生的分類思想，能更好地考查學(xué)生思維的廣闊性，受到第（1）小題和這兩道中考題的影響，可以對點B＇恰好在邊AC上“大做文章”，而△CEB＇的周長最小時，點B＇恰好在邊AC上進行研究，因此就產(chǎn)生第（2）小題.對第（1）小題的延續(xù)性的討論，在考查中考熱點問題和難點問題——最值問題的同時，也考查了“三角形兩邊之和大于第三邊”這一基本幾何定理，從而更好地考查了學(xué)生的思維能力，以及對基礎(chǔ)知識的掌握情況，且和第（1）小題遙相呼應(yīng)、相得益彰．當(dāng)點E在BC邊移動時，自然要考慮點E為BC的中點和點B＇恰好在AD邊這兩種特殊的情況，在這兩種情況下四邊形AEC B＇均為梯形，而在考慮它們?yōu)樘菪螘r自然先要考慮有沒有可能為平行四邊形，從而形成第（3）小題，第（3）小題和第（1）小題結(jié)合起來考查學(xué)生思維的縝密性和嚴(yán)謹(jǐn)性，以及分析問題和解決問題的能力．函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想歷來都是數(shù)學(xué)試題必考查的內(nèi)容，第（4）小題在求出點B＇分別在橫坐標(biāo)最大和縱坐標(biāo)最大時的點的坐標(biāo)的過程中必須要知道點B＇的運動軌跡，第（4）小題反映的是函數(shù)思想，需要通過數(shù)形轉(zhuǎn)換求出點的坐標(biāo)，因此第（4）小題使得該題的考查功能得到升華．

此題融折紙問題、最值問題、動點問題，函數(shù)思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握能力、思維的縝密性和嚴(yán)謹(jǐn)性、廣闊性，以及分析問題和解決問題的能力．

綜合考慮來完成，較好地考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況，也考查了學(xué)生的動手操作能力和空間想象能力．

二、結(jié)束語

綜上所述，采用圖形、符號和語言文字相結(jié)合的方式是折紙的魅力所在，折紙中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉(zhuǎn)化思想，它貫穿幾何教學(xué)的始終，在幾何教學(xué)中占有很重要的地位．折紙活動雖然取材方便，但是實際操作起來比較費時，通過折紙花費大量時間得到的結(jié)論，往往從表面上看有時不通過折紙就可利用已有的數(shù)學(xué)知識直接證出來，導(dǎo)致折紙在實際教學(xué)過程中并不受廣大數(shù)學(xué)教師的歡迎.但折紙活動對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)往往是隱性的，一些已有折紙作品凝聚著古人智慧的結(jié)晶，通過折紙活動可以開拓學(xué)生視野．因此，折紙活動不僅對數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)起到積極的作用，還可以提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、提高學(xué)困生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，對培養(yǎng)學(xué)生的團隊精神、探究精神和創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、綜合能力、分析和解決問題的能力也會起到積極的作用．

參考文獻(xiàn)：

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