第一單元 圓柱和圓錐

1、“點(diǎn)、線、面、體”之間的關(guān)系是：

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形成線；線的運(yùn)動(dòng)形成面；面的旋轉(zhuǎn)形成體。

2、圓柱的特征：

（1）圓柱的兩個(gè)底面是半徑相等的兩個(gè)圓，側(cè)面是曲面。

（2）兩個(gè)底面間的距離叫做圓柱的高。

（3）圓柱有無(wú)數(shù)條高，且高的長(zhǎng)度都相等。

（4）圓柱是由長(zhǎng)方形繞長(zhǎng)或?qū)捫D(zhuǎn)360度得到的立方體，所以沿高線切割后的切面是長(zhǎng)方形。

3、圓錐的特征：

（1）圓錐的底面是一個(gè)圓，和底面相對(duì)的位置有一個(gè)頂點(diǎn)。

（2）圓錐的側(cè)面是一個(gè)曲面。

（3）圓錐只有一條高。

（4）圓錐是由直角三角形繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)360度得到的立方體，所以沿高線切割后的切面是等腰三角形。

4、沿圓柱的高剪開，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長(zhǎng)方形（或正方形）（如果不是沿高剪開，有可能還會(huì)是平行四邊形）。

圓柱的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×高，用字母表示為：S側(cè)＝Ch。

圓柱的側(cè)面積公式的應(yīng)用：

（1）已知底面周長(zhǎng)和高，求側(cè)面積，可運(yùn)用公式：S側(cè)＝ch；

（2）已知底面直徑和高，求側(cè)面積，可運(yùn)用公式：S側(cè)＝πdh；

（3）已知底面半徑和高，求側(cè)面積，可運(yùn)用公式：S側(cè)＝2πrh

圓柱表面積的計(jì)算方法：如果用S側(cè)表示一個(gè)圓柱的側(cè)面積，S底表示底面積，d表示底面直徑，r表示底面半徑，h表示高，那么這個(gè)圓柱的表面積為：S表=S側(cè)+2S底 或S表=πdh+πd2/2 或S表=2πrh+2πr2

圓柱表面積的計(jì)算方法的特殊應(yīng)用：

（1）圓柱的表面積只包括側(cè)面積和一個(gè)底面積的，例如無(wú)蓋水桶等圓柱形物體。

（2）圓柱的表面積只包括側(cè)面積的，例如煙囪、油管等圓柱形物體。

5、圓柱的體積：一個(gè)圓柱所占空間的大小。

6、圓柱體積公式的推導(dǎo)：

復(fù)習(xí)六年級(jí)上冊(cè)圓的面積公式的推導(dǎo)：把圓等分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近平行四邊形或長(zhǎng)方形。拼成的平行四邊形的底相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半，高相當(dāng)于圓的半徑；拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑。所以圓的面積=π×半徑×半徑=π×半徑2

如同，圓的面積公式的推導(dǎo)，也可以沿著圓柱底面的扇形和圓柱的高把圓柱切開，把它分成若干等份，分得越細(xì)越好，再把它拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方體的立體圖形，形狀改變了，但體積沒(méi)變，那么就可以發(fā)現(xiàn)拼成的這個(gè)長(zhǎng)方體的底面積與圓柱的底面積是相等的，長(zhǎng)方體的高也與圓柱的高相等，而長(zhǎng)方體的體積=底面積×高，也就等于圓柱的體積。因此，

圓柱的體積＝底面積×高如果用V表示圓柱的體積，S表示底面積，h表示高，那么V＝Sh 。

例題：填空：圓柱體積公式推導(dǎo)過(guò)程是利用(轉(zhuǎn)化）的數(shù)學(xué)思想，在此過(guò)程中（形狀）變了，（體積）沒(méi)變。拼成圖形的高于圓柱的（高）相等，他們的底面積（相等）所以圓柱的體積公式為（底面積×高）

圓柱體積公式的應(yīng)用：

（1）計(jì)算圓柱體積時(shí)，如果題中給出了底面積和高，可用公式：V＝Sh。

（2）已知圓柱的底面半徑和高，求體積，可用公式：V＝πr2h；

（3）已知圓柱的底面直徑和高，求體積，可用公式：V＝π(d/2)2h；

（4）已知圓柱的底面周長(zhǎng)和高，求體積，可用公式：V＝π(C/2π)2h；

圓柱形容器的容積＝底面積×高，用字母表示是V＝Sh。

6、圓柱形容器公式的應(yīng)用與圓柱體積公式的應(yīng)用計(jì)算方法相同。

7、圓錐的體積：一個(gè)圓錐所占空間的大小。

圓錐的體積＝1/3×底面積×高 如果用V表示圓錐的體積，S表示底面積，h表示高，

則字母公式為：1/3Sh

圓錐體積公式的應(yīng)用：

（1）求圓錐體積時(shí)，如果題中給出底面積和高這兩個(gè)條件，可以直接運(yùn)用“v= 1/3Sh”這一公式。

（2）求圓錐體積時(shí)，如果題中給出底面半徑和高這兩個(gè)條件，可以運(yùn)用1/3πr2h

（3）求圓錐體積時(shí)，如果題中給出底面直徑和高這兩個(gè)條件，可以運(yùn)用1/3π（d/2）2h

（4）求圓錐體積時(shí)，如果題中給出底面周長(zhǎng)和高這兩個(gè)條件，可以運(yùn)用1/3π（c/2r）2h

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第二單元 比例

1、表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。

如： 3：4=9：12 。

2、比例有四個(gè)項(xiàng)，分別是兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)和兩個(gè)外項(xiàng)。

在3：4=9：12中，其中3與12叫做比例的外項(xiàng)，4與9叫做比例的內(nèi)項(xiàng)。比例的四個(gè)數(shù)均不能為0。

3、比例的基本性質(zhì)：在一個(gè)比例中，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。

4、比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。

圖上距離÷實(shí)際距=離比例尺

圖上距離=實(shí)際距離×比例尺

實(shí)際距離=圖上距離÷比例尺

5、比例尺的分類：

比例尺根據(jù)實(shí)際距離是縮小還是擴(kuò)大，分為縮小比例尺（比例尺<1）和放大比例尺（比例尺>1）。

根據(jù)表現(xiàn)形式的不同，比例尺還可分為線段比例尺和數(shù)值比例尺。

6、圖形的放縮：一幅圖放大或縮小，只有按照相同的比來(lái)畫，畫的圖才像。

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第三單元 圖形的運(yùn)動(dòng)

本冊(cè)的圖形變換知識(shí)在原來(lái)基礎(chǔ)上進(jìn)一步加深，要求能在方格紙上畫出平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱后的圖形,具體：

第一種旋轉(zhuǎn)：要說(shuō)明繞哪個(gè)點(diǎn)，順時(shí)針還是逆時(shí)針，旋轉(zhuǎn)多少度（90度、180度、270度）。

例如：將圖形B繞點(diǎn)O 順時(shí)針/逆時(shí)針 旋轉(zhuǎn) 90°得到圖形C；

繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的方向：

順時(shí)針：即順著鐘表時(shí)針走的方向，從上往右走，再往下，最后向上。

逆時(shí)針：和順時(shí)針的方向相反，從上往左走，再往下，最后向上。

第二種平移：要說(shuō)明向什么方向（上、下、左、右）平移幾個(gè)。

例如：將圖形A 向上/下/左/右 平移 4 格得到圖形B；

第三種作對(duì)稱圖形：要說(shuō)明是關(guān)于哪條直線作哪個(gè)圖形的對(duì)稱圖形。

例如：以直線 MN 為對(duì)稱軸，作圖形C的軸對(duì)稱圖形D。

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第四單元 正比例和反比例

1、生活中存在著大量互相依存的變量，一種量變化，另一種量也隨著變化。

2、正比例：

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。

如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用字母k表示它們的比值（一定），正比例關(guān)系可以表示為：y/x=k（一定）。

判斷兩種量是否成正比例：有些相關(guān)聯(lián)的量，雖然也是一種量隨著另一種量的變化而變化，但它們相對(duì)應(yīng)的數(shù)的比值不一定，就不成正比例，如被減數(shù)與差，正方形的面積與邊長(zhǎng)等。

正比例的圖像是一條直線。

3、反比例的意義：

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。

如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的乘積，反比例的關(guān)系式可以表示為：x·y=k（一定）。

判斷兩個(gè)量是不是成反比例：要先想這兩個(gè)量是不是相關(guān)聯(lián)的量；再看這兩個(gè)量的積是否一定；最后作出結(jié)論。

反比例的圖像是一條光滑曲線。

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數(shù)學(xué)好玩

1、神奇的莫比烏斯帶

2、用“數(shù)對(duì)”確定位置：

先橫向觀察，在第幾位就在小括號(hào)里先寫幾，再點(diǎn)上逗號(hào)；然后再縱向觀察，在第幾位，就在小括號(hào)里面寫上幾。

例如：小青的位置在第三組，第二個(gè)座位，用數(shù)對(duì)表示為（3，2）。

2、根據(jù)數(shù)對(duì)說(shuō)出相應(yīng)的實(shí)際位置：

例如：某個(gè)同學(xué)在（5，6）這個(gè)位置，他的實(shí)際位置是，班上（從左往右數(shù)）第五組第六個(gè)座位。