錢德春（江蘇省泰州市教育局教研室）

摘要：試題命制通過對教材例、習題問題的合理組合，條件與結論的交換（強化或弱化），以及問題的適當延伸，方法的遷移等形式，考查學生信息提取與分解能力、問題探究與方法遷移能力、素養(yǎng)提升與后續(xù)發(fā)展能力，從而引導教師教學，凸顯教材地位，挖掘教材內涵，關注教材所蘊涵的思想方法，并形成學生的數學學習力．

關鍵詞：信息提??；拓展延伸；思維品質；數學本質

大多數初中數學試題都源于教材，通過對教材例、習題的問題組合、交換（或強化）條件和結論、問題延伸等手段，以考查學生對信息提取與分解能力，問題探究與方法遷移能力，素養(yǎng)提升與后續(xù)發(fā)展能力．其明顯而深遠的指向意義就是，教學要凸顯教材地位，關注教材所蘊涵的思想方法，并挖掘教材要表達又無法言說的意義，并形成學生的數學學習動力．文章以2014年江蘇省泰州市卷的幾道中考試題追本溯源，談試題命制對教學的啟示．

一、組合問題，指向信息提取與問題分解

1.試題再現(xiàn)

件進行適當變式：一是將條件“∠APB=120°”改為“過點A，D，E作⊙O，使∠AOD=120°”，使顯性條件隱性化；二是將結論中的“判斷三角形是否相似”生成為“求y與x的函數關系式”，使問題得以延伸．

3.教學啟示

（1）培養(yǎng)信息提取與分解能力．

大多數學生可以單獨解決問題1或問題2. 為什么在將兩個問題組合后，不少學生就束手無策呢？原因在于學生從復雜問題中提取與分解信息的能力不夠．教材中有許多看似基礎的問題，通過適當組合就可能變?yōu)橐坏谰C合問題. 事實上，不少綜合題就是由教材基礎問題組合而成的．教學中要有意識地通過對教材問題的組合與分解，培養(yǎng)學生從復雜問題中分解、提取基本信息的能力，并引導學生在問題的變式與拓展中，學會把握問題的本質．如上述的問題2，可以做如下變式.

（2）強化策略篩選與優(yōu)化能力．

圖形是數學信息的載體，更是催生數學解題智慧的搖籃．例1的結論中“求y與x的函數關系式”的實質就是求線段間的關系，而這類問題常用策略有三角形全等或相似、勾股定理、三角函數、等積變形等．此題的條件中角的關系較多，可以嘗試從三角形相似入手，尋找含有相關線段的一對三角形，如果沒有三角形，則想辦法法連接某些線段構成三角形，通過角的關系證明相似，從而得到線段的比例關系．要引導學生分析由條件能得到哪些結論？所求的結論需要什么條件？結論與條件之間需要架設什么橋梁？還有沒有其他方法？你認為什么方法最易理解？……教學中要有意識地滲透這些策略，并及時幫助學生梳理知識與思想，歸納方法與策略，學會篩選與優(yōu)化，在問題解決中積累活動經驗．

二、交換條件和結論，直擊數學思想與思維品質

垂足為點M，那么GE，HF相等嗎？證明你的結論．

教材原題是通過構造全等三角形來解決，問題的呈現(xiàn)體現(xiàn)了從特殊到一般的思想，問題的解決滲透了化歸的思想．此題通過交換教材原題的條件、結論，并對部分條件適當強化（∠DAE =30°，M為AE的中點），改編為一道填空題，旨在考查學生操作探究與逆向思維能力．不少學生由條件“PQ=AE”聯(lián)想教材中的問題得到“PQ⊥AE”，進而直接得出AP=2，結果失去一解，這是由于對教材問題過度機械強化使學生形成了思維定勢．

3.教學啟示

（1）靜態(tài)問題動態(tài)化探究．

改編后的試題看似為靜態(tài)問題，實為動態(tài)探究問題．例2中求AP長的實質是確定點P的位置，而點P確定之前可以理解為動態(tài)的.不妨將過點M的直線繞點M旋轉，這時會發(fā)現(xiàn)滿足“PQ=AE”的點有兩種情形，再通過計算得AP=2或AP=1．可見，問題解決的過程是一個動態(tài)操作、嘗試猜想、聯(lián)想決策、運算驗證的過程，也是將靜態(tài)問題動態(tài)化探究的過程．教材中這樣的素材較多，應該引起教師在教學中給予足夠的重視．

（2）常態(tài)問題逆向性思考．

此題的思路是怎樣的呢？不妨這樣思考，求AP的長,就是確定點P在AD上的位置，教材上的題目是由“PQ⊥AE”得“PQ=AE”；反之，滿足“PQ=AE”時一定有PQ⊥AE嗎？除了垂直外，還有一種位置與垂直的情形成軸對稱，這就是逆向思維問題．教學中，強調對教材題的變式、拓展和引伸，就是培養(yǎng)學生良好的思維習慣與品質.波利亞曾說過，假如你想要從解題中得到最大的收獲，你就應當在所做的題目中去找出它的特征，那些特征在你以后去求解其他問題時，能起到指引的作用．教學不能止于解決當前問題，要啟發(fā)學生進行深入的探究，發(fā)揮問題應有的教學價值．例如，說出原問題的逆命題，對條件強化（弱化），提出更一般或開放的結論等，并討論其正確性，以培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的思維品質與反思的習慣．

三、拓展延伸，凸顯活動經驗與數學本質

此題改編自蘇科版《教科書》九年級上冊第一章“圖形與證明（二）”第3節(jié)的習題第1題，命題時將圖形位置做了調整；第（2）小題是添加條件變成幾何計算題．

問題：略.

為相關基本圖形（如圖14）；30°角轉化為含30°角的直角三角形、等邊三角形，平行四邊形面積轉化為等積三角形面積等．這些方法與策略的獲得不是靠給予，不依賴記憶，而是學生活動經驗的逐步積累．

（2）滲透數學思想，凸顯數學本質．

題目載體的改變和條件的弱化都不是目的，在變化中抓住不變的核心特征才是問題解決的關鍵．此題中∠ABC的大小、BD的長度都睡不好確定的，隨著點C位置的變化，□ADEF的形狀也在變化，但□ADEF的面積保持不變．可以從特殊情形入手，變中求不變，動中求靜，以靜制動，把動態(tài)問題轉化為靜態(tài)問題解決，從而找到問題解決的突破口．在變化的圖形中求不變的量，凸顯了數學的內在本質．變中不變的數學思想正是該題的價值所在．數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識，是數學學習的最高境界．教師在對教材的例、習題教學時不能只停留在問題本身，要引導學生在問題探究中感受其蘊涵的數學本質與思想，體會問題的意境與內涵．

四、方法遷移，關注數學素養(yǎng)與持續(xù)發(fā)展

1.試題再現(xiàn)

2.追本溯源

此題第（2）小題的命制思路源于蘇科版《教科書》九年級上冊，一是第119頁的例1“證明圓外角大于圓內角”，二是第128頁“直線與圓位置關系的判定方法”．

3.教學啟示

此題給我們的啟示在于：教學中如何將教材核心知識融入到學生的數學素養(yǎng)提升和可持續(xù)發(fā)展能力的培養(yǎng)中．

（1）數學的核心知識是教學的重點．

從知識上說，例4突出考查了教材核心知識．《義務教育數學課程標準（2011年版）》降低了與圓有關的證明要求，對圓與圓的位置關系知識做了刪減，但圓周角定理、垂徑定理、直線與圓位置關系的判斷、性質仍然是核心知識與必考內容．從方法上來說，線段的平方問題應該在三角形相似或者勾股定理上尋求突破，聯(lián)系到FG是圓的弦，嘗試考慮作弦心距構造直角三角形用勾股定理解決，這是極其常見的思路．命題者以本為本，圍繞基本方法進行了試題的編制．無論是在新授教學還是復習教學中，切不能眼高手低、急功近利，要重視基礎與核心知識、通解與通法的教學，注重暴露與展示知識的發(fā)生與發(fā)展過程．

（2）數學素養(yǎng)的提升是教師的責任．

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出，教師要為學生提供探索復雜問題，多角度理解數學的機會，豐富學生的數學視野，提高學生的數學素養(yǎng)．數感即關于數與數量、數

五、結束語

教材的簡明性、嚴謹性等特點導致不可能窮盡其所要承載的價值，教材的目的在于把我們引向更為廣闊的世界．許多數學問題是題在書外，根在書內，是教材內容的延伸．而這些所謂“遠離教材”的問題卻充分體現(xiàn)了教材的旨趣．作為教師，要體會到教材的編寫意圖和指向意義，對教學資源進行深入研究俞拓展，通過對教材內容適當的延伸與整合，豐富教學資源的內涵，實現(xiàn)其應有的教學價值．

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定．義務教育數學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[2]楊裕前，董林偉．義務教育課程標準實驗教科書·數學[M]．南京：江蘇科學技術出版社，2013．

[3]凌云志，周維欽．圖解智慧的再感悟[J].中學數學雜志，2013（2）：47-49．

[4]波利亞．數學的發(fā)現(xiàn)[M].劉景麟,曹之江，鄒清蓮，譯.呼和浩特：內蒙古人民出版社，1979．

[5]苑建廣．信息轉化：問題解決的核心策略[M]．中國數學教育（初中版），2012（3）：8-11．

[6]唐芬．半角模型的縱橫遷移[J]．中學數學教學參考（中旬），2014（5）：42-44．