何為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，仁者見(jiàn)仁、智者見(jiàn)智。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)從數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個(gè)維度對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)給出了清晰的界定。小學(xué)階段，目前尚無(wú)定論。

有研究者提出，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，不妨從數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)這“十大核心詞”出發(fā)，通過(guò)“十大核心詞”的落實(shí)，推動(dòng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。亦有學(xué)者在此基礎(chǔ)上將“十大核心詞”提煉為運(yùn)算能力、空間觀念、數(shù)據(jù)分析觀念、推理能力、模型思想，使其更顯“核心”的意味。課程標(biāo)準(zhǔn)制訂組組長(zhǎng)史寧中教授則更加概括化地提出，可以從抽象能力、推理能力、模型思想三個(gè)維度，對(duì)核心素養(yǎng)作出界定。種種嘗試，由十到五，再到三，展現(xiàn)了大家對(duì)核心素養(yǎng)之“核心”價(jià)值的追求，也的確更容易為一線教師所認(rèn)識(shí)與把握。

本文的目的不在于探討數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的真正內(nèi)涵，事實(shí)上筆者也不具備這樣的能力。作為一名教學(xué)實(shí)踐者，筆者更愿意思考的是，無(wú)論是十大核心詞，還是整合后的五大核心詞，抑或三大核心思想（素養(yǎng)），筆者更關(guān)注的是，在具體的教學(xué)實(shí)踐中，我們究竟該以怎樣的教學(xué)路徑使其落地生根，真正在具體的教與學(xué)活動(dòng)中，讓“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”內(nèi)化為學(xué)生自身的素養(yǎng)，真正促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。

在此，筆者傾向于對(duì)核心素養(yǎng)作出這樣的一種描述。所謂核心素養(yǎng)，即是指“人在復(fù)雜情境中解決復(fù)雜問(wèn)題的能力”。盡管，從當(dāng)下已經(jīng)公布的中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的內(nèi)容來(lái)看，這一表述忽視了“必備品格”這一重要維度，但就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，這樣的表述盡管片面，但至少給我們一種重要的啟示，核心素養(yǎng)也好，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也罷，其最終落腳點(diǎn)都離不開問(wèn)題解決。只有在具體的、基于真實(shí)背景的復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，人的素養(yǎng)抑或數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才可能得以彰顯和養(yǎng)成。盡管，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》從知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度四個(gè)方面，對(duì)義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)加以了闡述，問(wèn)題解決只是其中的四個(gè)維度之一，但若細(xì)思之，則不難發(fā)現(xiàn)：有效的問(wèn)題解決，離不開具體的知識(shí)與技能，更離不開相應(yīng)的數(shù)學(xué)思考；而在解決問(wèn)題的過(guò)程中，人的情感、態(tài)度與價(jià)值觀自然會(huì)得到充分的彰顯。從這樣的角度來(lái)看，問(wèn)題解決實(shí)則可以理解為數(shù)學(xué)課程的“牛鼻子”，牽一發(fā)而動(dòng)全身。

更進(jìn)一步，我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得也好，數(shù)學(xué)技能的形成也罷，事實(shí)上都可以“以問(wèn)題解決的方式”展開。一旦我們?cè)噲D將數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)整體納入“問(wèn)題解決”的框架之下，我們便會(huì)發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)視野下為了知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形態(tài)將得到有效控制，而基于問(wèn)題解決，有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)乃至核心素養(yǎng)的目標(biāo)將有可能得到實(shí)現(xiàn)。以下，筆者結(jié)合三個(gè)具體案例，逐一作出解讀與分析。

一、概念學(xué)習(xí)，在問(wèn)題解決中得以落實(shí)

概念學(xué)習(xí)有其遵循的一般規(guī)律，除了概念的同化以外，通常情況下，需要經(jīng)歷對(duì)概念原型的觀察、感知、表象、抽象和概括，最終形成對(duì)概念內(nèi)涵與外延的把握。筆者曾嘗試著以問(wèn)題解決的方式進(jìn)行概念學(xué)習(xí)，既幫助學(xué)生獲得了對(duì)數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確把握，而且在問(wèn)題解決的過(guò)程中，學(xué)生的探索能力、交流能力、質(zhì)疑能力也在這一過(guò)程中得到有效的發(fā)展。

以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《長(zhǎng)方形的認(rèn)識(shí)》一課為例，鑒于一年級(jí)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)在初步認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體的基礎(chǔ)上，整體感受過(guò)長(zhǎng)方形，加之日常生活中長(zhǎng)方形的普遍存在，因而，筆者沒(méi)有遵循認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形的一般教學(xué)線索，而是直接引導(dǎo)學(xué)生基于原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，自己動(dòng)手來(lái)“制作一個(gè)長(zhǎng)方形”，以期學(xué)生在完成這一邏輯上貌似不可能完成的數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)對(duì)長(zhǎng)方形概念的把握與建構(gòu)。筆者給學(xué)生提供了剪刀，圓形、平行四邊形、直角梯形等形狀的紙片，釘子板和橡皮筋，等長(zhǎng)的小棒等素材。學(xué)生可以選擇不同的材料，以不同的方式，建構(gòu)自己頭腦中認(rèn)為的長(zhǎng)方形。實(shí)踐證明，盡管在解決這一問(wèn)題之前，學(xué)生還沒(méi)有對(duì)長(zhǎng)方形的相關(guān)特征獲得相應(yīng)的認(rèn)識(shí)，比如它有四條邊、對(duì)邊相等，它有四個(gè)直角等，然而，經(jīng)驗(yàn)、表象此時(shí)就開始發(fā)揮其應(yīng)有的作用。在有限的時(shí)間內(nèi)，學(xué)生各取所需、各盡所能，用各種不同的材料，建構(gòu)了他們理解中的長(zhǎng)方形。盡管，解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生所制作出的“長(zhǎng)方形”還略顯粗糙、不規(guī)范，有時(shí)甚至還有錯(cuò)誤存在，然而，這些不規(guī)范與錯(cuò)誤，恰恰為后續(xù)的深度對(duì)話提供了可能?！霸谟冕斪影鍑L(zhǎng)方形的過(guò)程中，你覺(jué)得需要提醒大家注意什么？”“任意根數(shù)的小棒都能圍成長(zhǎng)方形嗎？圍長(zhǎng)方形的過(guò)程中，有什么注意點(diǎn)？”“要想用這個(gè)圖形（直角梯形）剪出長(zhǎng)方形，你有什么竅門？”“對(duì)于這位同學(xué)用圓形折出的長(zhǎng)方形，你有什么需要提醒的？”“這位同學(xué)用這個(gè)圖形（平行四邊形）剪出了一個(gè)長(zhǎng)方形，你有什么辦法來(lái)驗(yàn)證嗎？”對(duì)話與追問(wèn)、碰撞與交流、質(zhì)疑與解惑、實(shí)驗(yàn)與驗(yàn)證，為了說(shuō)明自己制作出來(lái)的的確是一個(gè)長(zhǎng)方形，學(xué)生動(dòng)用了手頭的一切工具，或測(cè)量長(zhǎng)度，或比對(duì)角度，目的只有一個(gè)——那就是制作一個(gè)長(zhǎng)方形。盡管，在比對(duì)過(guò)程中，有不少學(xué)生發(fā)現(xiàn)，自己制作的長(zhǎng)方形離真正的長(zhǎng)方形還有距離，于是又及時(shí)進(jìn)行了修補(bǔ)與更正。正是在這一解決問(wèn)題與分享對(duì)話的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)于長(zhǎng)方形的特征有了深入、深刻的認(rèn)識(shí)與把握。

可以說(shuō)，是問(wèn)題解決牽動(dòng)了數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，是問(wèn)題解決讓概念學(xué)習(xí)獲得了一種獨(dú)特的思維張力，是問(wèn)題解決讓學(xué)生卷入真實(shí)的、復(fù)雜的學(xué)習(xí)情境之中。而這一過(guò)程，恰恰是學(xué)生核心素養(yǎng)得以養(yǎng)成的重要路徑。

二、規(guī)律探索，在問(wèn)題解決中得以建構(gòu)

探索規(guī)律是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的一大特色，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，是學(xué)生了解外部世界、發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)藏的規(guī)律、建立數(shù)學(xué)模型、運(yùn)用規(guī)律模型解決問(wèn)題的重要載體。教材在編排這一內(nèi)容時(shí)，特別注重探索規(guī)律的“探索”意味，強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、操作、歸納等過(guò)程，體驗(yàn)探索規(guī)律的方式方法。在此基礎(chǔ)上，再適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題。教學(xué)時(shí)，教師也常常將這一內(nèi)容分成兩部分展開——先探索規(guī)律，再運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題。

筆者在實(shí)踐過(guò)程中，始終強(qiáng)調(diào)這樣一種觀點(diǎn)：如果沒(méi)有任務(wù)或問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，所謂的探索規(guī)律則是“為探索而探索”，學(xué)生并不了解探索規(guī)律的目的和價(jià)值何在，他們只是在教師的引導(dǎo)之下，亦步亦趨地觀察、比較、操作、歸納，繼而發(fā)現(xiàn)教師所提供的“規(guī)律性材料”背后的規(guī)律。也就是說(shuō)，學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)并不掌握在學(xué)生手中，積極思考、主動(dòng)觀察、自主建模等更難以成為可能。因而，筆者在教學(xué)這一類內(nèi)容時(shí)，則將探索規(guī)律這一任務(wù)“鑲嵌”到解決問(wèn)題的過(guò)程中，以解決問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)性任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，主動(dòng)去觀察已有的素材，主動(dòng)地從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、建構(gòu)模型，在此基礎(chǔ)上，再運(yùn)用規(guī)律獲得問(wèn)題的解決。

比如四年級(jí)上冊(cè)《簡(jiǎn)單的周期》一課，教材呈現(xiàn)的是如圖1所示的主題圖(彩旗中，深色為紅旗，淺色為黃旗；彩燈從左至右依次為紅燈、紫燈、綠燈，并有規(guī)律地排列；盆花從左至右依次為藍(lán)花、黃花、紅花，并有規(guī)律地排列），和思考任務(wù)“圖中盆花、彩燈和彩旗的排列有什么共同特點(diǎn)”，旨在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，探尋這三種事物排列的規(guī)律，進(jìn)而認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單的周期現(xiàn)象。

圖1

筆者在教學(xué)時(shí)，打破了這一格局，直接出示主題圖后，提出了這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：“如果把盆花繼續(xù)排下去，第20盆花可能會(huì)是什么顏色？”并引導(dǎo)學(xué)生，嘗試著用不同的方法來(lái)解決這一問(wèn)題。實(shí)踐證明，經(jīng)歷充分的獨(dú)立思考與嘗試后，學(xué)生往往可以從如下幾個(gè)不同角度來(lái)解決這一問(wèn)題：有的通過(guò)畫圖，把三種顏色的盆花符號(hào)化為三種不同的圖形，然后一直畫到第20盆并得出結(jié)果；有的以文字來(lái)表達(dá)，將三種盆花分別以藍(lán)、黃、紅三個(gè)字來(lái)表征，同樣“畫”完20盆花后并得出結(jié)果；更多的學(xué)生則借助除法運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題：20÷3=6（組）……2（盆），所以第20盆花應(yīng)該是黃花。這里的關(guān)鍵問(wèn)題在于，學(xué)生是如何解決這一問(wèn)題的？在解決這一問(wèn)題的過(guò)程中，他們究竟經(jīng)歷了怎樣的思考過(guò)程？這才是我們要重點(diǎn)關(guān)照的。而所謂解決問(wèn)題，則是醉翁之意不在酒——解決問(wèn)題只是一個(gè)“驅(qū)動(dòng)性任務(wù)”，任務(wù)驅(qū)動(dòng)背后的數(shù)學(xué)思考，才是這一學(xué)習(xí)任務(wù)的關(guān)鍵所在。事實(shí)上，只要教師追問(wèn)恰當(dāng)，學(xué)生的思維很快便會(huì)暴露在大家面前。“圖中只畫了9盆花，憑什么你在畫圖時(shí)，把第10盆畫成藍(lán)花，第11盆畫成黃花？”“算式中的3是哪來(lái)的？”“余數(shù)中的2可以理解為第7組的第2盆，可是第7組我們并不能看見(jiàn)，你是怎么判斷它的顏色的？”幾個(gè)問(wèn)題的追問(wèn)，逼迫著學(xué)生的思維向探索規(guī)律上聚焦。更真實(shí)的情形是，在面臨追問(wèn)之前，學(xué)生已經(jīng)主動(dòng)經(jīng)歷了探索規(guī)律的過(guò)程。因?yàn)椋虢鉀Q這一問(wèn)題，學(xué)生就必須去從已有的素材中去發(fā)現(xiàn)規(guī)律。只有發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，學(xué)生才能夠按規(guī)律“繼續(xù)畫下去”，直到找到第20盆的顏色；只有發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，并且是周期性規(guī)律，學(xué)生才可能列出除法算式來(lái)解決這一問(wèn)題。事實(shí)上，如果盆花呈現(xiàn)的規(guī)律如下：ABBCCCDDDD……那么，即便是有規(guī)律的，學(xué)生也很難列出除法算式來(lái)解決這一問(wèn)題。

需要說(shuō)明的是，學(xué)生在解決這一問(wèn)題的過(guò)程中，必然要經(jīng)歷探索規(guī)律的過(guò)程，只是，他們的思維有時(shí)是隱性的、不自覺(jué)的，教師的追問(wèn)恰恰給了學(xué)生一次思維聚焦和重審的機(jī)會(huì)，從而將他們之前所經(jīng)歷的探索規(guī)律的思維過(guò)程外化出來(lái)，并在這一過(guò)程中，還原探索規(guī)律的真實(shí)歷程，體驗(yàn)規(guī)律的意義與價(jià)值，感受規(guī)律探尋對(duì)于解決問(wèn)題的獨(dú)特作用。

反觀上述的學(xué)習(xí)過(guò)程，當(dāng)探索規(guī)律的“被動(dòng)學(xué)習(xí)”因問(wèn)題解決而主動(dòng)化后，學(xué)生必然會(huì)自覺(jué)地根據(jù)問(wèn)題的需要，主動(dòng)地對(duì)已有素材進(jìn)行觀察、分析、比較、歸納，進(jìn)而或抽象、或符號(hào)化、或模型化，這一過(guò)程，發(fā)展的恰恰是學(xué)生的各項(xiàng)核心素養(yǎng)。問(wèn)題解決，讓學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展成為可能。

三、規(guī)則確立，在問(wèn)題解決中得以實(shí)現(xiàn)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有很多規(guī)則性的數(shù)學(xué)內(nèi)容。既是規(guī)則，那么通常都有約定俗成的意味，所以，直接告知，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生在適當(dāng)?shù)膯?wèn)題引導(dǎo)下，理解規(guī)則的意義和合理性，就成了不少教師無(wú)奈的選擇。在筆者看來(lái)，規(guī)則教學(xué)，事實(shí)上還有新的可能性存在，關(guān)鍵是，教師要善于創(chuàng)設(shè)適宜的問(wèn)題情境，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，讓他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的過(guò)程中，自主建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)則，并在這一過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考與核心素養(yǎng)。

以“用方向與距離確定位置”為例，筆者瀏覽了蘇教版、人教版、北師大版三個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，盡管就這一內(nèi)容而言，它們?cè)诰幣派下杂胁町悾傮w上還是以告知的方式呈現(xiàn)。有些版本甚至直接在例題中出示“東偏南30°方向”，引導(dǎo)學(xué)生去理解這一表示方向的新規(guī)則。筆者以為，從掌握這一數(shù)學(xué)知識(shí)或技能來(lái)說(shuō)，這些方法都無(wú)可厚非。但是，如果站在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的立場(chǎng)上，這樣的處理未免就缺失了一些探索的味道和研究的價(jià)值。筆者始終堅(jiān)信，再抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容、再陌生的數(shù)學(xué)方式，只要有恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問(wèn)題作引子，學(xué)生總能夠在解決問(wèn)題的過(guò)程中自主建構(gòu)相應(yīng)的規(guī)則。盡管，有時(shí)候他們建立的規(guī)則還不夠完整，還只是一種雛形，但這樣一種基于數(shù)學(xué)問(wèn)題的由無(wú)到有、由粗到精的過(guò)程，恰恰是學(xué)生數(shù)學(xué)思維、核心素養(yǎng)獲得發(fā)展的基石。

筆者在教學(xué)時(shí)，進(jìn)行了新的探索。直接呈現(xiàn)模擬問(wèn)題情境：

在茫茫大海上，有一艘船機(jī)械故障無(wú)法正常航行，正等待救援。工作人員借助雷達(dá)發(fā)現(xiàn)，這艘船在離燈塔不遠(yuǎn)的位置，并很快根據(jù)它們的位置關(guān)系，畫出了平面圖（如圖2，圖上1 cm表示實(shí)際1 km）。如果你是救援指揮人員，你將如何向救援船只描述或確定機(jī)械故障船所在的位置？

圖2

學(xué)生結(jié)合手中的研究任務(wù)單，4人一小組展開探索與研究。事實(shí)上，由于之前學(xué)生已經(jīng)有了測(cè)量距離的經(jīng)驗(yàn)，以及“用數(shù)對(duì)確定位置”的學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，他們往往能夠結(jié)合不同的經(jīng)驗(yàn)，給出不同的解決問(wèn)題路徑。極少部分學(xué)生會(huì)受“用數(shù)對(duì)確定位置”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)遷移，通過(guò)繪制網(wǎng)格圖，試圖用數(shù)對(duì)來(lái)確定船的位置。當(dāng)然，在隨后的交流過(guò)程中，這一方法往往會(huì)遭到質(zhì)疑，從而被擱置。更多的學(xué)生會(huì)主動(dòng)想到通過(guò)測(cè)量距離來(lái)初步確定船離燈塔的位置。但進(jìn)一步思考，他們又會(huì)產(chǎn)生新的困惑——離燈塔3千米的地方不止一處，僅有3千米顯然無(wú)法準(zhǔn)確找到遇險(xiǎn)船只的位置。這個(gè)困惑繼續(xù)逼迫學(xué)生的思維向前推進(jìn)，“方向”這一維度，自然就進(jìn)入學(xué)生的視野。于是，量角器便登上學(xué)習(xí)的舞臺(tái)。只是，同樣是使用量角器，不同的學(xué)生得出的結(jié)論是不一樣的：有些學(xué)生通過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)“船在燈塔的東北方向30度距離3千米的地方”；也有學(xué)生通過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)“船在燈塔的東北方向60度距離3千米的地方”；更有甚者，直接借助軍事上的方法，給出“船在燈塔的1點(diǎn)鐘方向距離3千米的地方”。于是，新的問(wèn)題產(chǎn)生了：“同樣一艘船，為何會(huì)出現(xiàn)不同的表述方法？”“面對(duì)這一具體的問(wèn)題，我們究竟該選擇哪一種方法比較合適？”新的問(wèn)題帶來(lái)新的思考，學(xué)生的思維進(jìn)一步向縱深聚焦。大家很快發(fā)現(xiàn)，之所以出現(xiàn)不一樣的角度，是因?yàn)楦髯詤⒄盏某跏挤较虿煌?。選擇30度的，是以正北為基準(zhǔn)，船向東偏離了30度；而選擇60度的，是以正東為基準(zhǔn)，船向北偏離了60度。于是，問(wèn)題進(jìn)一步聚焦為：究竟該選擇以哪一個(gè)方向?yàn)榛鶞?zhǔn)比較合適。最終討論的結(jié)果或許會(huì)各執(zhí)一詞——事實(shí)上，不同版本的數(shù)學(xué)教材在這一問(wèn)題上也存在分歧，有些規(guī)定只能以正北或正南為基準(zhǔn)，有些則東南西北均可作基準(zhǔn)——但最終，學(xué)生經(jīng)由最初的嘗試、隨后的交流、矛盾的沖突、深入的追問(wèn)，逐漸建構(gòu)起一種全新的確定位置的方式，即可以借助類似于“在燈塔的北偏東30度距離3千米處”這樣的方式來(lái)確定大區(qū)域中物體的位置。至此，一個(gè)原本規(guī)定性的數(shù)學(xué)規(guī)則，在具體問(wèn)題的召喚下，經(jīng)由學(xué)生的主動(dòng)探索、自主建構(gòu)、求同存異、質(zhì)疑問(wèn)難，由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)了、創(chuàng)造了。

解決問(wèn)題的過(guò)程貌似艱辛，但它卻錘煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（原載《教育研究與評(píng)論》（小學(xué)教育教學(xué)版）2016年第11期）