本文作者何天成，第58屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）金牌獲得者，華南師大附中2017屆畢業(yè)生，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2017級新生。

作者非常詳細(xì)地闡述了從高聯(lián)一試/二試，到參加CMO，國家集訓(xùn)隊(duì)，走向IMO，各級競賽的心路歷程和學(xué)習(xí)方法，對于參加競賽的同學(xué)具有非常大的指導(dǎo)意義，因?yàn)槠^長，故分為三篇分享給大家，這是第三篇。請看過的同學(xué)溫故知新，沒看過的同學(xué)一定要認(rèn)真做好筆記，滿滿的干貨~

正文如下：

下面這些內(nèi)容主要針對自學(xué)，如果你有一個(gè)會精心安排你的備考計(jì)劃的競賽教練，下面的這些內(nèi)容僅供參考，主要還是要跟著教練的思路走。

關(guān)于培訓(xùn)，在這里我不作推薦，但是個(gè)人覺得最好還是要參加一些培訓(xùn)，了解一下最新的題目和方法。

以下講的這些都是我自己聽過或者做過的書和題目，應(yīng)該大部分都可以在網(wǎng)上找到 pdf 版本，沒有提到的書和題很可能是沒有做過的。不敢枉加評價(jià)。

一般來說，剛剛接觸競賽的新人都需要一套系統(tǒng)全面的入門書籍，比如：《 奧賽經(jīng)典》、《 奧數(shù)教程 》 、《 小叢書 》 等。對于這些書，如果可以的話當(dāng)然是選一套書慢慢啃，但其實(shí)幾乎沒有人能夠有毅力地踏踏實(shí)實(shí)做完一套這樣的“大部頭”...... 所以你可以先了解一下做題的方法，然后做一些題，不一定要做完所有習(xí)題。

在剛開始接觸新的領(lǐng)域的時(shí)候可以直接看例題的答案，但是最好每個(gè)題都要經(jīng)過一段時(shí)間的思考，至少也應(yīng)該知道自己沒有突破的地方在哪 —— 那就是你能學(xué)到的新東西。要學(xué)會舉一反三，這樣很快就能掌握很多方法。 

關(guān)于聯(lián)賽的模擬題，除了學(xué)校教練的題目，我只做過 《 中等數(shù)學(xué) 》 的模擬題（包括增刊和非增刊）。模擬題的難度總歸與真正聯(lián)賽有差距，所以如果有些套題做下來一點(diǎn)思路都沒有，很可能是題目確實(shí)難，不必太在意；但是如果是自己算錯(cuò)的很多，就要找原因了。事實(shí)上，我自己的體會是，增刊模擬題一試平均分與真實(shí)聯(lián)賽的成績差距不會很大?？赡苣M會稍難一些，但是真正考聯(lián)賽的時(shí)候會比較緊張，也有可能會出現(xiàn)低級失誤。

在稍稍進(jìn)步一些之后，實(shí)際上你己經(jīng)可以做出一部分聯(lián)賽二試難度的題目了，但是穩(wěn)定性卻不能保證。這個(gè)時(shí)候，比較重要的是補(bǔ)充短板?？梢钥粗蟮木唧w分支中的書。

關(guān)于備戰(zhàn)二試較難的題目和 CMO 以上級別的考試，我強(qiáng)烈推薦單蹲的 《 數(shù)學(xué)競賽研究教程 》。盡管這本書不厚，但其中很多章節(jié)里的思想很關(guān)鍵。盡管現(xiàn)在新的方法很多，很多很難的題目卻恰恰用的是老的方法。我覺得這本書是值得從頭到尾扎實(shí)地把所有題做一遍的。

《 命題人講座 》 系列是一套補(bǔ)短板的好書，但也有不足 一一 部分書的部分章節(jié)太偏太難，更像是科普而非針對競賽。我自己看過的書大概在之后寫了，其他的書就沒怎么看過了。

一些流行的期刊，比如 《 中等數(shù)學(xué) 》 等，可能會載有一些最新的題目和方法。我推薦大家在看書了解傳統(tǒng)的方法的同時(shí)，最好也要了解最新的題目與新興的方法。

之前說到過兩套所有人都要做的題目：《 走向 IMO 》和 IMO 預(yù)選題。這兩套題目都非常好，在準(zhǔn)備 CMO 和 TST 時(shí)都可以做。 IMO 預(yù)選題大致按照難度排序，并且題目本身大都很優(yōu)美。（當(dāng)然，其中有些題目可能作為競賽題確實(shí)過難了一些......）

題目看似雖少，如果給足時(shí)間做這些題目，實(shí)際上也需要不少時(shí)間。從 IMO官網(wǎng)（ www.imo-official.org ）的problems里可以找到近年的 IMO 預(yù)選題（ IMO shortlist ）與多種語言的 IMO 真題。當(dāng)然，你也可以從官網(wǎng)里找到歷年考試的成績與選手的資料（包括照片哦），在做 IMO 題目的時(shí)候可以以此為參考。

數(shù)學(xué)新星網(wǎng)里有一些不錯(cuò)的文章，新星征解的難度也不錯(cuò)（難度不太均勻，建議以題為單位單獨(dú)做，不要計(jì)時(shí)），對數(shù)學(xué)競賽可能會有幫助。

很多人都會逛 AOPS論壇 (www.artofproblemsolving.com ) ,進(jìn)入 community， contest 就可以找到很多其他國家的題目了，也可以在論壇上與世界各地的數(shù)學(xué)愛好者討論。我自己做過近年美國的USAMO , USATST , USATSTST 試題，確實(shí)也不錯(cuò)。

另外， AOPS 上的方法一般是網(wǎng)友自己做出來的，可能有很多方法與官方答案不同。有很多非常優(yōu)美的方法值得學(xué)習(xí)一一有些題目官方答案很復(fù)雜，但在 AOPS 上卻有短而精辟的解答。

Aigner 與 Ziegler 的《Proofs from THE BOOK 》是一本拓寬視野的好書。平時(shí)沒事可以翻翻，里面的很多證明有推廣價(jià)值。（不過有的章節(jié)需要用到高等數(shù)學(xué)的知識，看不懂就留給以后再看吧）

下面按照代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合的順序給出一些具體的建議。

代數(shù)，主要的題型有多項(xiàng)式，復(fù)數(shù)，數(shù)列，不等式，函數(shù)方程。

關(guān)于代數(shù)，個(gè)人認(rèn)為學(xué)一些數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)對代數(shù)感會有提高——有些題目會用到分析或者代數(shù)的思想，未來的題目也很有可能朝這個(gè)方向發(fā)展，所以有時(shí)間的話推薦大家學(xué)一些。

系統(tǒng)講多項(xiàng)式和復(fù)數(shù)的書其實(shí)不多，《 數(shù)學(xué)競賽研究教程 》里有講到一些。但我對復(fù)數(shù)和多項(xiàng)式的了解主要還是來自于題目。有一些特殊的多項(xiàng)式，比如 Chebyshev 多項(xiàng)式，還是要了解的。多項(xiàng)式另一個(gè)考點(diǎn)是多項(xiàng)式的數(shù)論性質(zhì)，比如 Hensel 引理等，也要了解。

數(shù)列，要熟悉各種各樣的換元法和求通項(xiàng)公式的方法，能求出通項(xiàng)公式的數(shù)列往往可以通過通項(xiàng)公式大幅簡化問題。數(shù)列的另一種考法是與數(shù)論結(jié)合。比如像 Fibonacci 數(shù)列這樣的二階線性遞推數(shù)列有很好的數(shù)論性質(zhì)，要專門研究。

不等式是一個(gè)大坑 ，種類繁多，套路復(fù)雜。拿到一個(gè)不等式，第一件事一定是猜取等，通過取等確定最基礎(chǔ)的方向一般來說，取等都是比較容易猜出的。比如若干取0若干相同；但是也有例外，比如不對稱的不等式和一些算常數(shù)的不等式。遇到不確定取等條件的不等式，最好先觀察有沒有簡化的方法：比如可以通過調(diào)整，讓最小者是0；對局部求導(dǎo)，得到一些要滿足的性質(zhì)等等。

三元對稱不等式有一個(gè)很厲害的方法，就是配齊次、通分、展開，然后利用 Schur 不等式和 Murihead 定理一點(diǎn)一點(diǎn)消去一些項(xiàng)（當(dāng)然還有直接把一些平方展開可以得到的“自制”不等式），最后把它拆成若干個(gè)非負(fù)的東西之和就可以了。（一般來說，不等式都不會太強(qiáng)，一點(diǎn)一點(diǎn)來總能可以做出來的）當(dāng)然，現(xiàn)在考的三元對稱不等式越來越少了，一般也不會讓你可以這么暴力的解出，比如給一個(gè)很不友善的條件之類的（ 如

a2+b2+c2=1  讓你配不了齊次）遇到這種情況還是老老實(shí)實(shí)用傳統(tǒng)的不等式方法（均值，柯西等）做吧。

切割線法和局部不等式是解決問題的獨(dú)門秘籍。如果遇到簡單放縮無法奏效的情況，可以試著自己構(gòu)造一個(gè)這樣的局部。

如果不等式中變元是分離的，可以考慮用 karamata 不等式和Jensen 不等式，驗(yàn)證一下凸性，說不定就做完了或者大幅簡化問題。

調(diào)整法很笨，但是有的時(shí)候卻能奏效。但是調(diào)整法要注意：如果要使用無限次的平均調(diào)整，一定要說明調(diào)整是作用在緊集上的，從而最小值點(diǎn)存在。另外，不是所有題都可以輕易地調(diào)整出來。如果調(diào)整法計(jì)算量不小的話，試試其他方法吧。

函數(shù)方程，是一個(gè)中國考察得比較少的方向，但是在 IMO 預(yù)選題代數(shù)里往往占據(jù)半壁江山。個(gè)人覺得函數(shù)方程是代數(shù)里很難提高的部分，不同題目的處理方法也不太有共通性。雖說本質(zhì)上就是不斷代入，但也有一些技巧，比如尋找函數(shù)方程的單調(diào)、單射滿射等性質(zhì)；考察函數(shù)的值域，或者取函數(shù)的等于目標(biāo)函數(shù)的點(diǎn)的集合，刻畫集合的性質(zhì)以證明是全集：適當(dāng)給出變元間的關(guān)系使得等號兩邊部分項(xiàng)相等而消去；把較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)帶入，結(jié)合之前的結(jié)論變形消元等等。

代數(shù)歷來是中國的傳統(tǒng)強(qiáng)項(xiàng)與國內(nèi)競賽中的一大考察重點(diǎn)。不過相對而言，代數(shù)對基本功要求較高，通過訓(xùn)練會有較大提高。

幾何與其他方向不同，有多種本質(zhì)不同的處理手段，最關(guān)鍵的是掌握多種手段解題 —— 純幾何（包括幾何變換），三角，復(fù)數(shù)，重心坐標(biāo)系，解析幾何。

這里我不討論比較“奇怪”的幾何題，比如幾何不等式或者立體幾何。當(dāng)然主要原因是考得不多，我自己也沒有學(xué)過......

純幾何法，簡單來說就是幾何的傳統(tǒng)方法。一般標(biāo)準(zhǔn)答案一定會至少給出一個(gè)這樣的純幾何法，所以普適性最強(qiáng)。

關(guān)于純幾何，最權(quán)威的書或許是 《 近代歐氏幾何學(xué) 》。這本書里記錄了很多很有趣的性質(zhì)，但是對具體處理幾何題似乎幫助不大......不過有向角和有向線段的書寫在這本書里有，可以練習(xí)一下；另外，這本書里面講了很多關(guān)于反演的性質(zhì)，如果你不熟悉反演變換，把這本書里面的性質(zhì)證一遍會熟悉很多。

反演是處理幾何題的常用手段，一般來說，在拿到題目之后都要檢測一下能不能通過反演大幅簡化問題。這是一個(gè)處理很多幾何問題的捷徑，必須要學(xué)會，也不算很難。

調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)很多，也有很多很“套路”的題目可以用調(diào)和和配極做。關(guān)于這個(gè)，我印象里《 中等數(shù)學(xué) 》有一篇關(guān)于調(diào)和的文章講的比較詳細(xì)。

幾何的定理和構(gòu)型要熟悉。比如偽內(nèi)切圓，三角形五心的關(guān)系， Miquel 點(diǎn)，帕斯卡定理、笛沙格定理等等。很多幾何題是基于這些構(gòu)型的，如果不熟悉的話非常吃虧。

純幾何大概能講的就這么多，最后要記住：如果做不出來，請畫一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圖，找相似、共線、共圓，大智若愚，往往做不出題的原因是你對這個(gè)圖形的結(jié)構(gòu)了解的還不夠深，只需猜到一些結(jié)論或許很快就能得到突破。

三角，是簡單幾何構(gòu)圖中計(jì)算起來最快的方法，也是覆蓋面最廣的方法，所以聯(lián)賽幾何經(jīng)?？梢杂萌亲?。三角法的技術(shù)含量其實(shí)不算很高，大概就是把角寫出來（這里可能要用角元梅、賽），然后用正弦、余弦定理表示邊，最后算出對應(yīng)的性質(zhì)。需要注意的是：和差化積、積化和差等三角變形公式必須非常熟悉。并且在處理具體問題的時(shí)候，一般來說乘比加的形式更漂亮，因?yàn)楦菀紫粢恍〇|西 ， 所以在表示邊的時(shí)候盡可能少用余弦定理，余弦定理一般是最后帶入算。

另外，三角法有時(shí)要配合同一法。有時(shí)候一個(gè)角看似不好求，實(shí)際上就是已有角的線性表示，帶入之后一下就做出來了。所以在三角法陷入僵局的時(shí)候可以考慮帶入特殊角。

復(fù)數(shù)法。復(fù)數(shù)法其實(shí)適用范圍并不廣泛，但是有的題目用復(fù)數(shù)會遠(yuǎn)簡單 —— 復(fù)數(shù)是做幾何題的獨(dú)門兵器。復(fù)數(shù)法一般來說只能適用于圓比較少的情況：因?yàn)榻o定 3 點(diǎn)求圓心坐標(biāo)很困難。一般來說，原點(diǎn)取一個(gè)圓的圓心，并把這個(gè)圓取成單位圓，這樣可以認(rèn)為圓上的點(diǎn)有

相似三角形用復(fù)數(shù)比較容易表示，但解兩條直線的交點(diǎn)比較困難。在計(jì)算的過程中，盡量把所有點(diǎn)都用單位圓上的復(fù)數(shù)表示，這樣取共扼只需要把里面所有單位圓上的復(fù)數(shù)z分別換成1 / z 即可。

在用復(fù)數(shù)法解題之前要先判斷一下計(jì)算的復(fù)雜度。一般來說，表示起來復(fù)雜的點(diǎn)不能太多，否則計(jì)算量會指數(shù)級增加。

重心坐標(biāo)系我不會，但似乎也有其用武之地，有興趣的同學(xué)可以自己了解。

解析幾何法。這是一種很暴力的方法，適用范圍最差，計(jì)算量最大。我?guī)缀鯖]見過有人可以用解析幾何做出 CMO 以上難度的題，就算有，用三角也可以比較快的做出來。當(dāng)然，有的題目用曲線系等“高級”解析幾何方法可以迅速做出，可以參考單墫《 解析幾何的技巧 》。

處理一道幾何題，一般要先畫一個(gè)比較標(biāo)準(zhǔn)的圖，然后觀察是否有好的性質(zhì)，估測各種計(jì)算法的復(fù)雜度，然后選擇一種方法做下去。特別要注意的是，在 CMO 與之后的考試中，如果點(diǎn)線之問的位置關(guān)系不確定。最好使用有向角與有向線段或者分情況討論（盡管一般是本質(zhì)相同的）；特別的，在每個(gè)交點(diǎn)取出之前，一定要先詢問自己“是否有交點(diǎn)”，避免因?yàn)檫@樣的平凡情況被扣分。

中國國內(nèi)的考試對幾何的要求不算高，并且很多幾何題可以用“算”的方法解出，所以高手做幾何題往往更偏重計(jì)算法。（有一定原因是中國選手代數(shù)基本功較好）計(jì)算法的優(yōu)勢在于熟練之后所需時(shí)間比較穩(wěn)定，不容易卡殼。不過， IMO 中較難的幾何題中有不少通過計(jì)算法很難解出，中國隊(duì)就普遍做的不好。所以我更推薦大家在學(xué)習(xí)幾何的時(shí)候計(jì)算、純幾何方法都要熟練，運(yùn)用“綜合法”解題，這樣才更容易穩(wěn)定發(fā)揮。

數(shù)論題目主要分成 3 類：傳統(tǒng)型數(shù)論、估計(jì)型數(shù)論、結(jié)合型數(shù)論。

傳統(tǒng)類的數(shù)論主要用同余，階與原根， Pell 方程，二次剩余來處理。我自己看的是潘承彪和潘承洞的《 初等數(shù)論 》 的前面一部分章節(jié)，其實(shí)己經(jīng)足夠了。稍高級的技巧，比如關(guān)于素?cái)?shù)分布、連分?jǐn)?shù)的結(jié)論，其實(shí)也可以學(xué)學(xué)，在有些題目里會有幫助。

傳統(tǒng)類的數(shù)論中國人比較擅長。這一類的數(shù)論套路有限，多做一些題就可以了。另外，命題人講座里的《 初等數(shù)論 》 也不錯(cuò)，題目難度適中。不過這一類題目出現(xiàn)的頻率與難度目前在逐漸下降。

LTE引理很有用，算是一個(gè)“黑科技”，一定要熟練掌握。關(guān)于n!里素?cái)?shù)的指數(shù)以及組合數(shù)里的數(shù)論性質(zhì)也要熟。

估計(jì)型數(shù)論是最近出現(xiàn)的比較新穎的題目，一般是對一些量算兩次，比如：Bertrand-Chebyshev定理和有關(guān)素?cái)?shù)分布的結(jié)論的證明。在我的印象里，估計(jì)方法在處理 square-free 的時(shí)候很好用，但很多估計(jì)類題目其實(shí)并不算明顯——很多題目使用估計(jì)的想法出其不意，要是沒有往這方面想，就很難做出了。同時(shí)需要記住一些關(guān)于素?cái)?shù)的結(jié)論，比如素?cái)?shù)倒數(shù)和發(fā)散等等。

結(jié)合型數(shù)論，其實(shí)近年考的也不少，主要是與組合或者代數(shù)結(jié)合。( IMO 2016 T3 連幾何都結(jié)合了起來，很有趣） 

與代數(shù)結(jié)合的數(shù)論有整值數(shù)列，數(shù)論函數(shù)方程，整系數(shù)、整值多項(xiàng)式等。這一類題目有自己獨(dú)特的處理方法，要專門尋找并練習(xí)。

與組合結(jié)合的數(shù)論題不少。這一類題目實(shí)際是“披著數(shù)論皮的組合”，在處理中常使用抽屜原理、構(gòu)造法等方法來解決。中國剩余定理往往在其中扮演了重要角色。

另外，還有一種整體思考類型的數(shù)論題目，最典型的題目是：“在 2n -1 個(gè)整數(shù)中總可以取出其中 n 個(gè)數(shù)，其和為 n 的倍數(shù)” ( Erdos- Ginzburg - Ziv 定理）。第一次見到這種方法肯定會覺得不可思議，但這種方法其實(shí)是證明存在性的一種較常見的手段。

綜合型數(shù)論近年來在數(shù)論題目中出現(xiàn)的比例越來越高。事實(shí)上，跨分支出題是近年來的命題趨勢。所以要提升自己的知識的綜合運(yùn)用能力。

組合，大概就是前面三個(gè)分支的補(bǔ)集吧。做過 IMO 預(yù)選題的同學(xué)都知道組合的厲害 —— 組合是四個(gè)分支中平均難度最高的分支，方法紛繁復(fù)雜，不易分專題訓(xùn)練：有人笑稱一些組合題是“小學(xué)奧數(shù)”，其實(shí)有一定道理 ——很多組合題并不需要很多前置知識，答案也只有寥寥數(shù)行，卻有很高的本質(zhì)難度。所以組合題的訓(xùn)練是四個(gè)分支中最困難的，做組合題很依賴大腦中的“靈光一現(xiàn)”。當(dāng)然，也正因?yàn)樽鼋M合題的方法較多，如果嘗試某種方法久而未果，最好嘗試新的方法，很可能會有收獲。

關(guān)于組合，我大概能想到的專題有圖論，集合，組合幾何，組合恒等式，母函數(shù)以及其他雜題。

圖論，個(gè)人覺得 Bondy ，和murty的 《 Graph Theory with Applications 》 是不錯(cuò)的教材，這里面己經(jīng)有足夠應(yīng)付競賽的性質(zhì)和定理了：命題人里的 《 圖論 》 也不錯(cuò)。當(dāng)然，只看這樣的書并不能熟悉真正的題目，我強(qiáng)烈推薦大家找本俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克（ RMO ）的書來，找到里面所有的圖論題來做。

關(guān)于集合的問題出現(xiàn)的很多，但是方法其實(shí)與其他組合題差不多，有一些可以用圖論里的方法。如 Hall 定理：另外一些題目可以用歸納法或者極端原理。集合里也有一些值得注意的定理，比如 Sperner 定理，有很多不同的證明，最好都要了解（因?yàn)橛泻芏囝}目可以用類似定理某種證明的方法做出） 。

組合幾何，命題人講座的那本還不錯(cuò)，但我也只是翻過。組合幾何類型也很多，包括棋盤問題和格點(diǎn)問題，主要還是需要做大量的題目來熟悉競賽題在考什么。

組合恒等式其實(shí)更多的時(shí)候主要采用代數(shù)或者數(shù)論的方法解決，只有少數(shù)組合恒等式可以用“組合”來解決。推薦《研究教程 》 里組合恒等式和母函數(shù)的章節(jié)。

母函數(shù)，有一本很不錯(cuò)的講母函數(shù)的書，是 Graham ，Knuth，Patashnik 寫的 《 Concrete Mathematics 》 。其中講特殊數(shù)列，母函數(shù)和母函數(shù)的應(yīng)用的部分非常詳細(xì)，但缺點(diǎn)是比較長。當(dāng)然如果沒有這么多時(shí)問，單蹲的 《 母函數(shù) 》 也不錯(cuò)。

其他題就歸結(jié)為雜題了，雜題類型很多，沒有什么固定的方法，只能多做題尋找其中的規(guī)律。

特別的，我要提一下代數(shù)方法（比如線性代數(shù)法，組合零點(diǎn)定理等）以及概率方法。這些“新穎”的方法容易被忽視，但卻有其用武之地，有興趣的同學(xué)可以自己研究一下。 ( tips ：在 AOPS 上找 IMO 2012 T3 和 IMO 2014 T6 ，有驚喜）

關(guān)于組合題，我強(qiáng)烈推薦 RMO 的題目。 RMO 里的組合題都非常好，不算很難，但是用到了很多方法。RMO 的題目一般偏重幾何和組合，代數(shù)和數(shù)論會相對簡單一些。除了 RMO ，莫斯科數(shù)學(xué)競賽，圣彼得堡數(shù)學(xué)競賽，全蘇奧林匹克競賽等競賽題目風(fēng)格類似，也非常優(yōu)秀。

如果大家認(rèn)真地看完了之前寫的一切，可能會有些迷茫，也可能有點(diǎn)暈。不過沒事，其中的很多東西可能暫時(shí)不會用到，可以之后再看。

由于筆者水平有限，文章的邏輯有些混亂。內(nèi)容也只是“填鴨式”地把我能想到的東西都寫了出來：但其中，每一行字都是筆者的經(jīng)驗(yàn)之談。很多簡短的話語中飽含了血的教訓(xùn)！希望大家能盡可能地理解我想表達(dá)的意思，在競賽路上找到屬于自己的天空。

最后，感謝一路陪伴的同學(xué)、老師一是你們的存在讓我的競賽之路如此豐富多彩；特別感謝 2017 年中國國家隊(duì)教練組老師們的辛勤付出，老師們辛苦了！