古希臘數(shù)學自從阿基米德和阿波羅尼奧斯之后，由于亞歷山大城進入羅馬人統(tǒng)治時期，雖然古希臘的文化傳統(tǒng)未被破壞，學者還可繼續(xù)研究，然而已沒有前期那種磅礴的氣勢，古希臘數(shù)學進入了它的沒落期。雖然還有幾位優(yōu)秀的數(shù)學家出現(xiàn)，但是整體上已經(jīng)開始衰弱，并且逐漸處于停滯狀態(tài)。今天科普君要講的就是其中的一位代數(shù)學之父--據(jù)說韋達也有這個稱號--丟番圖。

丟番圖

對于丟番圖的生平事跡，人們知道的很少。據(jù)推斷和計算而知，丟番圖是約公元246-300年古希臘亞歷山大后期的重要學者和數(shù)學家。在一本《希臘詩文選》中記載到亞歷山大時期的丟番圖對代數(shù)學的發(fā)展起到了極其重要的作用，對后來的數(shù)論學者有很深的影響。丟番圖被認為是代數(shù)學的創(chuàng)始人之一，對算術(shù)理論有深入研究，他完全脫離了幾何形式，在希臘數(shù)學中獨樹一幟。

代數(shù)

丟番圖最著名的應(yīng)該就是他的墓碑了，作為一位代數(shù)學的創(chuàng)始人，他的墓碑也并沒有讓人省心。他的墓碑上的內(nèi)容是這樣的：墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實地記錄了所經(jīng)歷的道路。上帝給予他的童年占六分之一，又過了十二分之一，兩頰長胡，再過七分之一，點燃起結(jié)婚的蠟燭。五年之后天賜貴子，可憐遲來的兒子，享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓。悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補，又過了四年，他也走完了人生的旅途。終于告別數(shù)學，離開了人世。你算出丟番圖的年紀了嗎？

丟番圖的主要著作是《算術(shù)》，在所有亞歷山大后期的數(shù)學著作中，古典希臘幾何傳統(tǒng)最離經(jīng)叛道的一本要屬丟番圖的《算術(shù)》，這部具有東方的色彩的著作，用純分析的角度處理數(shù)論問題，可以看作是希臘算術(shù)與代數(shù)成就的最高標志。

算術(shù)

《算術(shù)》是講數(shù)的理論的，但大部分內(nèi)容可以劃入代數(shù)的范圍。它的特點是完全脫離了幾何的形式，與歐幾里得時代的經(jīng)典大異其趣。另一個特點是創(chuàng)用了一套縮寫符號，如未知量、未知量的各次冪等都用特殊符號來表示。在丟番圖以前，所有的問題都是用文字來敘述。丟番圖創(chuàng)用的這些記號，雖然還只具縮寫性質(zhì)，卻不失為代數(shù)符號的濫觴。有人稱丟番圖類型的代數(shù)為"簡寫代數(shù)"。是真正符號代數(shù)出現(xiàn)之前的一個重要階段，這在代數(shù)發(fā)展史上是一個巨大的進步。

《算術(shù)》傳到歐洲比較晚。16世紀，胥蘭德翻譯出版了拉丁文 《算術(shù)》?！端阈g(shù)》中最著名的一個不定方程是第2卷的問題8。丟番圖的表述是：將一個已知的平方數(shù)分為兩個平方數(shù)。這問題之所以有名，主要是因為17世紀法國數(shù)學家費馬在閱讀巴歇校訂的拉丁文本《算術(shù)》時對該問題所做的邊注，引出了后來舉世矚目的"費馬大定理"?！端阈g(shù)》這本書也使得費馬走向了近代數(shù)論之路，這也說明了丟番圖的《算術(shù)》這部著作對后世的深刻影響。

費馬大定理（表述：對于任意n≥3，方程x^n+y^n=z^n無整數(shù)解）

當然《算術(shù)》也表現(xiàn)出希臘代數(shù)的一些弱點，丟番圖解答代數(shù)問題是依靠高度的技巧，方法上缺乏一般性，基本上是一題一法。所以有人說：研究了丟番圖的一百道題后，還不知道怎樣去解第一百零一道題。

希臘數(shù)學自畢達哥拉斯學派后，興趣中心在幾何，他們認為只有經(jīng)過幾何論證的命題才是可靠的。為了邏輯的嚴密性，代數(shù)也披上了幾何的外衣。一切代數(shù)問題，甚至簡單的一次方程的求解，也都納入了幾何的模式之中。直到丟番圖，才把代數(shù)解放出來，擺脫了幾何的羈絆。他認為代數(shù)方法比幾何的演繹陳述更適宜于解決問題，而在解題的過程中顯示出的高度的巧思和獨創(chuàng)性，在希臘數(shù)學中獨樹一幟。

丟番圖《算術(shù)》特別以不定方程的求解而著稱。所謂"不定方程"，是指未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)的代數(shù)方程（組），它是數(shù)論的一個分支。這類問題在丟番圖以前已有人接觸過，如阿基米德"牛群問題"，就涉及含8個未知數(shù)的7個方程的求解。但丟番圖是第一個對不定方程問題作廣泛、深入研究的數(shù)學家，以致今天我們常常把求整系數(shù)不定方程的整數(shù)解的問題叫"丟番圖問題"或"丟番圖分析"，而將不定方程稱之為"丟番圖方程"。

丟番圖方程是數(shù)論中最古老的一個分支，其內(nèi)容極其豐富，與代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、組合數(shù)學等有密切的聯(lián)系。它的分類基本上是由方程的形式?jīng)Q定的，例如，可分為一次方程、二次方程、三次方程、高次方程、指數(shù)方程和一些特殊類型的方程，以及和許多學科交叉滲透產(chǎn)生的新的類型。