圖1.1

1、如圖1.1，△ABC中AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，∠BAC=48°，CE、CF三等分∠ACB，分別

交AD于點E、F，連接BE并延長交AC于點G，連接FG，則∠AGF= ．

解：∵∠A=48°，AC=AB， ∴∠ABC=∠ACB= 2 1 （180°-∠BAC）=66°，

設(shè)BG與CF交點為O，連接BF，

∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=DC，

∴FB=FC， ∴∠FBC=∠FCB， 同理∠EBC=∠ECB，

∴∠FBE=∠FCE， ∵CE，CF三等分∠GCD，

∴∠FBE=∠FCE=∠FCG，

∵∠FOB=∠GOC， ∴△FOB∽△GOC，

∴ GC/CO=FC/ BC，

∵∠FOG=∠BOC ∴△FOG∽△BOC

∴∠FGO=∠BCO=2/3∠ACB=2/3 ×66°=44°

∴∠AGF=∠BGA-∠FGO =∠GBC+∠GCB-∠FGO =22°+66°-44°=44°

圖2.1

2、已知，如圖2.1，O為平面直角坐標(biāo)系的原點。半徑為1的⊙B經(jīng)過點O，且與x、y軸分別交于點A、C，點A的坐標(biāo)為（-√3，0），AC的延長線與⊙B的切線OD交于點D。

（1）求OC的長和∠CAO的度數(shù)；

（2）求過點D的反比例函數(shù)的表達式。

解：（1）∵∠AOC=90°，∴AC是⊙B的直徑，∴AC=2

又∵點A的坐標(biāo)為（-√3，0），OA=√3，

∴OC= √(AC2-OA2)=1

∴sin∠CAO=1/2 ∴∠CAO=30°

(2)連接OB，過點D作DE⊥X軸于點E，

∵OD為⊙B的切線， ∴OB⊥OC，∴∠BOD=90°，

∵AB=OB ∴∠AOB=∠OAB=30° ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°

在△AOD中，∠ODA=180°-120°-30°=30°=∠OAD，∴OD=OA= √3

在Rt△DOE中，∠ODE=180°-120°=60° ∴OE=ODcos60°=1/2OD=√3/2

ED= ODsin60°=3/2 ∴點D的坐標(biāo)為（√3/2，3/2）

設(shè)過D點的反比例函數(shù)的表達式為：y=k/x

∵k=√3/2×3/2=3√3/4，∴y=3√3/4x

圖3.1

3、如圖3.1，□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，分別過D，C作DE∥OC，CE∥OD．

（1）圖中有若干對相似三角形，請至少寫出三對相似（不全等的）三角形，并選擇其中一對加以證明；

（2）求證：DM=1/2OB

解：（1）相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE∽△EDM，△DNE∽△CNA等．

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴△ABM∽△NDM，

∵CE∥OD， ∴△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE， ∴△ABM∽△NDM∽△NCE，

∵DE∥OC， ∴△EDM∽△AOM，△DNE∽△CNA， ∴△AOM∽△ACE∽△EDM；

∴相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE∽△EDM，△DNE∽△CNA；

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OB=OD，OA=OC，

又∵CE∥OD， ∴AM=ME， ∴OM=1/2CE，

∵CE∥OD，DE∥OC， ∴四邊形DOCE為平行四邊形，

∴CE=OD， ∴OM=1/2OD=1/2OB．

圖4.1

4、如圖4.1，已知二次函數(shù)y=(x-m)2-4m2 (m>0)的圖象與x軸交于A、B兩點。

（1）寫出A、B兩點的坐標(biāo)（坐標(biāo)用m表示）；

（2）若頂點P在以為直徑圓上，求解析式；

解：（1）∵y=（x-m）2-4m2，

∴當(dāng)y=0時，（x-m）2-4m2=0，

解得x?=-m，x?=3m， ∵m＞0，

∴A、B兩點的坐標(biāo)分別是（-m，0），（3m，0）

（2）∵A（-m，0），B（3m，0），m＞0，

∴AB=3m-（-m）=4m，圓的半徑為1/2AB=2m，

∴OM=AM-OA=2m-m=m， ∴拋物線的頂點P的坐標(biāo)為：（m，-2m），

又∵二次函數(shù)y=（x-m）2-4m2（m＞0）的頂點P的坐標(biāo)為：（m，-4m2），

∴-2m=-4m2， 解得m?=1/2 ，m?=0（舍去），

∴二次函數(shù)的解析式為y=（x-1/2）2-1，即y=x2-x-3/4

圖5.1

5、如圖5.1，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N，點P在AB的延長線上，且∠CAB=2∠BCP．

（1）求證：直線CP是⊙O的切線．

（2）若BC=2 √5，sin∠BCP= √5/5，求點B到AC的距離．

（3）在第（2）的條件下，求△ACP的周長．

解：（1）∵∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，

在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°

∴2∠BCP+2∠BCA=180°， ∴∠BCP+∠BCA=90°，

∴直線CP是⊙O的切線．

圖5.2

（2）如圖5.2，作BD⊥AC于點D，

∵PC⊥AC ∴BD∥PC ∴∠PCB=∠DBC

∵BC=2√5 ，sin∠BCP= √5/5，

∴sin∠BCP=sin∠DBC=DC/BC=DC/2√5=√5/5

解得：DC=2，∴由勾股定理得：BD=4，

∴點B到AC的距離為4．

（3）如圖5.2，連接AN，

在Rt△ACN中，AC=CN/cos∠ACN=CN/sincos∠BCP =5，

又∵CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3．

∵BD∥CP，∴BD/CP=AD/AC，∴CP=20/3．

在Rt△ACP中，AP=√(AC2+CP2)=25/3

AC+CP+AP=5+20/3+25/3 =20，

∴△ACP的周長為20．

圖6.1

6、如圖6.1，甲、乙兩個可以自由轉(zhuǎn)動的均勻的轉(zhuǎn)盤，甲轉(zhuǎn)盤被分成3個面積相等的扇形，乙轉(zhuǎn)盤被分成4個面積相等的扇形，每一個扇形都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字，同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，設(shè)甲轉(zhuǎn)盤中指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字為m，乙轉(zhuǎn)盤中指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字為n（若指針指在邊界線上時，重轉(zhuǎn)一次，直到指針都指向一個區(qū)域為止）．

（1）請你用畫樹狀圖或列表格的方法求出|m+n|＞1的概率；

（2）直接寫出點（m，n）落在函數(shù)y=-1/x 圖象上的概率．

解：（1）畫樹狀圖如下：

或表格如下：

由樹狀圖（表格）可知，所有等可能的結(jié)果有12種，其中|m+n|＞1的情況有5種，

所以|m+n|＞1的概率為P1=5/12；

（2）點（m，n）在函數(shù)y=-1/x上的概率為P2=3/12=1/4 。