韋達定理及其逆定理

韋達定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數學教學和中考中有著廣泛的應用。

韋達定理的應用有一個重要前提，就是一元二次方程必須有解，即根的判別式△=b2-4ac≥0

筆者將其應用歸納為：

①不解方程求方程的兩根和與兩根積；

②求對稱代數式的值；

③構造一元二次方程；

④求方程中待定系數的值；

⑤在平面幾何中的應用；

⑥在二次函數中的應用。

下面通過近年全國各地中考的實例探討其應用。

一、不解方程求方程的兩根和與兩根積：已知一元二次方程，可以直接根據韋達定理求得兩根和與兩根積。

二、求對稱代數式的值：應用韋達定理及代數式變換，可以求出一元二次方程兩根的對稱式的值。所謂對稱式，即若將代數式中的任意兩個字母交換，代數式不變（f(x,y)=f(y,x)，則稱這個代數式為完全對稱式，如x2+y2，1/x+1/y等。擴展后，可以視x-y中x與-y對稱。

三、構造一元二次方程：如果我們知道問題中某兩個字母的和與積，則可以利用韋達定理構造以這兩個字母為根的一元二次方程。擴展后字母可為代數式。

四、求方程中待定系數的值：已知方程兩根滿足某種關系，則可以利用韋達定理確定方程中待定字母系數的值。

五、在平面幾何中的應用：在平面幾何中，①兩圓外切，兩圓圓心距離等于兩圓半徑之和；②勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方的應用，可以與一元二次方程根與系數的關系相結合命題。

六、在二次函數中的應用：一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)可以看作二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)當y＝0時的情形，因此若干二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與ｘ軸交點的綜合問題都可以用韋達定理解題。